前言之一

前言

清华大学目前数学分析课程共分三个学期, 每学期分三堂课分别由三位老师讲授. 这份讲义是其中一堂课的关于数学分析一和二的课堂笔记, 该课程是丘成桐数学英才班的实验课, 与传统数学分析教学相比, 我们尝试在不动根本的前提下在内容与设计上探索新的可能. 目前已公认数学分析为数学系学生最重要的基础课之一, 各类书目文献汗牛充栋, 其中不乏有颇具口碑同时又经得住时间考验的优秀教材. 这些教材在内容安排上大都以下面的内容为范本: 数列极限, 函数连续性, 一元函数导数, 一元函数 Riemann 积分, 多元函数连续性, 多元函数微分, 多元函数 Riemann 积分理论. 在这样的构架上, 不同教材的作者会搭建各具特色的补充, 比如有的在函数列级数的理论上详细展开, 也有的在含参数积分上进行引申, 有的更注重概念的进阶于是增加了拓扑空间的概念或者干脆引入 Lebesgue 积分. 不同的作者有不同的视角, 我们的课程也尽力表达个人的见解. 正如对积分论作出了不可磨灭贡献的法国数学家 Henri-Léon Lebesgue 所说的:¹ 对数学对象有多少种不同的理解就有多少种不同的教授方式.

课程内容

在课程知识点的选择上, 有如下四个内容需要略加解释:

1.	距离空间与赋范线性空间. 我们选择在课程伊始便引入距离空间与赋范线性空间. 收敛是贯穿分析始终的概念, 而大多数的收敛可以统一地用距离空间的语言叙述. 尽早引入这些概念使得课程后续的诸多命题陈述变得自然明了. 实际教学也表明讲授实数收敛理论的难度与距离空间收敛理论的难度无论对教师还是学生是无差别的, 同学们对此接受程度很高. 之后到多元函数的连续性、函数列一致收敛乃至 $L^p$ 空间上收敛性的过渡变得水到渠成.
2.	Riemann 积分的定义. 我们采取用简单函数逼近的方式来定义一元函数的 Riemann 积分. 作为推论, 传统的 Riemann 和与 Darboux 上下和的定义方式可以用这种语言清楚地表达. 这种积分的处理方式应用范围更广, 它容许对在完备赋范线性空间中取值的映射定义积分. 这也是对引入抽象测度空间上的积分做铺垫.
3.	子流形理论. 隐函数定理的应用见著于数学的各个分支, 其重要程度无论如何强调都不过分, 然而它向来都是多元微分学中较难讲解和理解的课题, 甚至即使只要求 “背过” 定理的陈述也不是轻而易举的事情 (至少笔者记不住) . 然而, 几何的陈述通常带来直观的视觉记忆: 隐函数定理说如果一族函数满足非退化条件, 那么它们的公共零点集是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子流形. 当然, 引入子流形概念不仅仅是方便形象地陈述和记忆隐函数定理, 在学习曲线与曲面的积分理论时, 子流形的概念完全无法避免. 尤为重要的是, 在子流形上也可以做微分, 这种在弯曲空间上的微分学可以更清晰地揭示微分 $df$ 的含义, 众多经典的理论例如 Lagrange 乘子法也变得一目了然. 子流形理论是 ${\mathbb{R}}^n$ 上微分学最根本最有启发性的内容, 低年级数学系同学通过这里的学习也能认识到引入正确概念是近代数学的重要秉性.
4.	抽象测度理论 传统上, 多变量函数积分的学习把一维 Riemann 积分理论作为原型, 通过把区间替换为长方体, 高维的 Riemann 和就可以用来定义 Riemann 积分. 然而, 我们用简单函数逼近的办法来定义一维 Riemann 积分, 类比到高维情况, 如果 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 的面积 (测度) 有定义, 就可以对其示性函数 $1_A$ 定义积分. 所以, 一旦明确了哪些子集可以定义面积, 我们就能对它们的示性函数的线性组合 (即简单函数) 进行积分, 然后就对一切可以被简单函数逼近的函数进行积分 (在第一学期我们特意讲授了 Stieltjes 积分作为这个想法的另一明证) . 从计算的角度我们也可以做一番事后诸葛亮的讨论. 为了计算积分, 我们需要 (且只需要) 两个基本工具: 第一, Fubini 定理, 它把高维积分 (乘积空间上) 转化为低维的来计算; 第二, 换元积分公式, 它把不规则区域上的积分转化为乘积型区域上的积分, 从而可运用 Fubini 定理. 不夸张地说, 相当一部分的积分计算只是运用这两个分析工具的代数运算. 只要在抽象积分的框架里建立这两个公式, 抽象意义下定义的积分与 Riemann 积分在计算上完全一致. 抽象积分理论优势更明显: 它囊括大部分可能的积分与求和, 比如说级数的求和与概率空间上的积分等; 它拥有 Lebesgue 控制收敛等有效工具, 所以在讨论级数的收敛、积分与求导数可交换或者 Fourier 级数时非常地方便. 还有一点常常被忽略: 在技术层次上, 抽象积分要比 Riemann 积分更容易学习. Riemann 积分伟大之处在于能够对由长方体构成的 Jordan 代数／可测集进行刻画, 然而其技术细节比抽象积分要困难, 因为在抽象的场合人们不需要关心集合具体的几何从而更自由. 另外, 不少同学和同事认为这部分内容与实分析课程过度重合, 我们认为在抽象层次上讨论积分实际上可以尽量避免使用真正的实变技术, 这对实分析影响甚微.

课程作业与习题

作业是课堂所教授内容的补充与支撑, 与课堂内容同等重要. 在题目选择方面, 首要考虑的它们在数学和科学中的重要性, 其次是它们与其他数学方向的关联, 再其次是问题背后想法和机制的优美程度以及困难性. 每学期我们有十二次作业, 每次六十道以上的习题, 平均对每位同学至少是六到八小时的工作量. 我们不提倡偏题难题, 不为解题而解题. 大家也都顽固地坚持老派的信条, 坚信数学至少相当的一部分内容是技术性的, 必须经过反复练习才能领会贯通. 所以, 这门课程坚持足够的作业量和一定质量的习题, 在做习题的过程中同学自然就可以引导思考启发原创.

作业题目通常有三种形式:

1.	课堂内容的补充. 比如说, 课上证明连续函数的某个判断准则, 习题就要求对在赋范线性空间取值的情形进行证明. 这种题目通常是直接推广, 适当的练习有利于更好的理解课堂内容和熟悉新的概念与术语. 再比如说, 某些复杂的计算, 课程上跳过的细节可以有相应的题目进行补充. 还有某些技术性结果其论证本身并没有启发性 (单位分解的构造) , 恰当设计习题可以由同学验证细节以保证课程的完整. 在作业中, 我们也鼓励同学查阅教科书、网络或者相互讨论, 因为解决这些问题的目标不是得到答案而是掌握基本的知识, 这些手段也更接近于学科研究的前沿.
2.	传统教科书上某些习题. 现有教科书中有很多有意思的问题, 我们从中广泛取材, 尤其是一些比较有技巧的问题, 比如说 L’Hôpital 法则 (多练无益) 或者定积分的计算等, 这是基本训练, 数学上不应该回避技巧的提升.
3.	经典结果和定理的证明. 这是明显具有法国风格的习题, 具有明显的特点: 通常将某个著名的结果适当拆分成若干步, 问题从而包含很多小问, 每一小问题的难度适当. 这样的问题也可以来自研究论文. 所以, 同学们在解答过程中步步为营, 逐渐接近目标, 最终证明一个很大的结果, 非常鼓舞士气. 比如说, 某一套习题证明所谓的 Borel 引理, 这个引理说任意给定数列我们都可以构造光滑函数 $f$ 使得 $f$ 在 $0$ 处的各阶导数恰为此序列, 这个引理在拟微分算子理论中很有用处, 但是不值得在课堂上大费周章地讲解, 用这种方式出题很合适; 再比如说, 八字班的期末考试题目的背景如下: 1922 年, 19 岁还在莫斯科大学读本科的 Kolmogorov 在论文 Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout 中构造一个 $L^1$ 函数, 这个函数的 Fourier 级数的部分和几乎处处是发散的. 期末考试重现这个著名反例的构造, 一共有 20 个小问题.

其他

以上无论是课程知识点还是习题的选择, 着眼点从来都不是对已有的教材或者教学系统优点的综合或者缺点的躲避. 我们更看重这些内容在将来分析学的学习 (实分析、复分析、调和分析、偏微分方程以及物理学等) 以及研究中的重要和基本程度. 从历史渊源来看, 数学分析被单独从分析学中剥离出成为独立的课程应该是很近的事情. 我们希望能尽量还原历史上那些有启发性的例子, 把课程放到相对动态的大背景里, 以便同学们能意识到当下的学习与后来的课程、数学的历史和以及现行的研究不是割裂的. 在教学上内容的跳跃也是课程的一个显著特 (缺) 点, 我们相信同学能体会到跳跃学习是更应该尝试的和鼓励的, 这个和研究更接近. 事实上, 我们所接触的大多国内优秀同学都直接或者间接地默认数学学习一定顺序, 须得按部就班, 层层递进, 才能扎实地进步. 这种想法本身没有错, 但是数学的发展绝对不是线性的, 知识也不存在先天的顺序. 一个普遍被提及的例证就是从 Newton 引入积分 (反流数术) 到 Cauchy 的极限理论被广泛接受中间至少有半个世纪的光景, 那个优秀的数学家层出不穷, 利用还没有被严格化的积分理论作出了很多享誉后世的工作. 数学学习不应该被课程设置 (甚至被其名称) 切割. 比如说, 所谓的曲线或者曲面的几何学、数学物理方程都可以称为 (多元) 微积分学习的好例题, 很多微积分知识就是为了解决这样的问题应运而生的. 微积分课程就应该学习和研究这样的例子, 不能简单地将它们归结为是微分几何或者微分方程的内容而忽略. 仅仅为了教学而刻意构造的各种例题长远来看有目光短浅之嫌. 这种做法通常还会从心理上折射出胆怯的影子, 以至于有同学误以为课程的顺序和难度有关联, “后面” 的课程比 “前面” 的课程困难. 唯有正视, 方能前行. 我们可以参阅一些相对古老的经典教科书／讲义, 这些教科书大多是历史上真正有名望并做出过不朽工作的数学家写的:

•	André-Marie Ampère 和 G. Vincens 在 École Polytechnique 的分析学与力学讲义, 1823–1824 年左右出版, 从函数的微分学开始定义, 微分方程和曲面几何一应俱全, 从书 (手写) 的长度推测, 这应该是那时一学期的课堂笔记.
•	Charles Hermite 在 École Polytechnique 的分析学讲义的第一卷开篇不久就仔细地研究了曲面的几何, 反而 Riemann 积分没有太多严格讨论, 之后花了大量的篇幅进行计算并应用于几何的研究.
•	Camille Jordan 的分析学教程是 1893 年发表的, 当时在欧洲很有影响力, 很多现代教材大都直接或者间接的从这份讲义上取过经. 翻开目录, 我们就会看到关于平面代数曲线, 复分析, 椭圆函数, 偏微分方程等方面的内容.
•	Fritz John 和 Richard Courant 的 Introduction to Calculus and Analysis, 这两位是 Courant 研究所代表人物, 在偏微分方程和应用数学上很有成就, 他们的课本包含了基本的复分析以及微积分在几何和物理上的各种应用, 知识之间没有停顿, 每个例题都值得玩味.

近年来较流行的数学分析教材中, 菲赫金哥尔茨或者卓里奇这些俄国作者仍然注重应用, 其余如 Rudin 或者国内的种种著名的课本, 在细节和清晰程度上下足了功夫, 可读性很强, 数学分析课程作为一门基础课的诞生与成长与这些优秀的课本密不可分. 然而, 很多现代数学课本越来越讲究深入浅出, 对读者感受的呵护有时凌驾于数学, 殊不知读书与写文章往往穷而后工, 走过弯路才更能领会定理的要义. 所以, 在课堂上我们只建议学生选择自己觉得合适的参考书而已, 我们能坚持的是以课堂为主, 教材只是辅助的, 强调每个人都要记笔记, 这是建立学术自信而不盲从任何参考书 (包括这份讲义) 的正路. 然而, 得失之间其实很难说清楚, 特别当把学习在更宏大的尺度下衡量的时候. 无论怎样, 可能只有上过课程的同学才能议论这一年的课程是否偏离了它的初衷: 在宏观上把握分析整体图像, 理解几个提纲挈领的想法; 在微观上获得基本的计算能力, 了解分析中为数不多的核心例子以及它们的历史渊源.

2020 年 6 月于静斋

课程所使用的参考书目

我们在讲义和习题的编写中参考 ($\approx$ 抄) 了很多文献, 很多例子和掌故也是道听途说, 来自师长、同学或者同事. 以下是主要参考书目, 部分课题和习题选自这些教材:

•	Richard Courant; Fritz John, Introduction to calculus and analysis. Vol. I. Reprint of the 1965 edition. Springer-Verlag, New York, 1989. xxiv+661 pp.
•	Richard Courant; Fritz John, Introduction to calculus and analysis. Vol. II. Reprint of the 1974 edition. Springer-Verlag, New York, 1989. xxvi+954 pp.
•	Edmond Ramis; Claude Deschamps; Jacques Odoux, Cours de mathématiques spéciales. 3. Topologie et éléments d’analyse. Masson, Paris, 1982. viii+362 pp. 法国预科学校的经典教材, 我们 Riemann 积分的处理完全跟随这里的节奏.
•	Edmond Ramis; Claude Deschamps; Jacques Odoux, Cours de mathématiques spéciales. 4. Séries et équations différentielles. Masson, Paris, 1988. viii+328 pp. 关于高维 Riemann 积分的习题课材料来自最后一部分.
•	Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1953. ix+227 pp. 关于 Stieltjes 积分部分的讲义来自这里.
•	Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis. I. Translated from the 2002 fourth Russian edition by Roger Cooke. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004. xviii+574 pp.
•	Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis. II. Translated from the 2002 fourth Russian edition by Roger Cooke. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004. xvi+681 pp.
•	陈天权, 数学分析讲义, 第一册, 北京大学出版社, 2009 年 8 月.
•	陈天权, 数学分析讲义, 第二册, 北京大学出版社, 2010 年 3 月.
•	常庚哲, 史济怀, 数学分析教程, 上册, 高等教育出版社, 2003 年 5 月.

声明

•	这是清华大学丘成桐数学英才班教学改革与尝试的一小步.
•	感谢清华大学数学系八字班参与本课程的同学, 他们是第一批试验品.
•	感谢清华大学数学系九字班参与本课程的同学, 讲义前半部分可读性较高, 这要归功于同学们课前课后指出了大量的错误.
•	感谢李梦妮、刘明昶、林汛、林天润、薛宇皓诸位博士生助教, 他们批改了几万页的作业.
•	感谢荆文甲和罗天文两位老师, 他们为这门课程花了大量心血.
•	这不是课本, 内容与课堂黑板笔记完全同步 (字体远比板书漂亮) .
•	我们对讲义中数学的原创性没有贡献.
•	讲义包含很多笔误, 请慎重使用. 讲义的后半部分笔误明显增多, 一方面是笔者的粗心与懒惰之过, 一方面因为同学们在系统地学习后声称也学会了如何自动纠正笔误 (所以没有必要改了) , 我们姑且信之.
•	如果在阅读之后能多多提出笔误的修改意见, 我们在清华备有拿铁和茗茶聊表心意. 2

寄语. 但卑意欲少年为学者, 每一书皆作数过尽之. 书富如入海, 百货皆有, 人之精力, 不能兼收尽取, 但得其所欲求者尔. 故愿学者每次作一意求之. 如欲求古今兴亡治乱、圣贤作用、但作此意求之, 勿生余念. 又别作一次, 求事迹故实典章文物之类, 亦如之. 他皆仿此. 此虽迂钝, 而他日学成, 八面受敌, 与涉猎者不可同日而语也.

———— 苏轼, 又答王庠书

脚注

1.	Il y a plusieurs manières de comprendre les mathématiques donc il y a plusieurs manières de les enseigner.
2.	上传者注: 也希望您可以直接在此在线讲义上订正.