前言之二

较之二〇年六月的版本, 讲义增加了数学分析第三学期的讲义 ¹, 主要研究 Schwartz 的分布理论以及关于缓增分布的 Fourier 变换. 分布理论是一门重要的分析语言, 尽管这套对函数的描述方式是上个世纪 40 年代才被引入的, 但是掌握分布理论所需要的基础知识却并不多: 线性代数和多元微积分就足够了! 本课程所研究的具体问题, 大多来自于物理学, 譬如引力理论、电磁学、热传导理论等, 在解决这些问题过程中, 貌似抽象的分布语言只是提供了叙述上的便捷, 实实在在的仍然是微积分各种技术和想法. 这是我们选择数学分析第三学期的内容的初衷: 借此学习前两个学期中漏掉的内容与技巧并巩固那些贯穿始终的思想.

课程所用到的主要参考书是我之前在 École Polytechnique 读书时所用的教材: Théories des distributions (由 G. Lebeau 和 J.-Y.Chemin 编写) 以及 J.-M. Bony 教授所撰写的课本

•	Cours d’analyse: Théorie des distributions et analyse de Fourier.

以 Laurent Schwartz 命名的数学中心占据了 École Polytechnique 建筑群中不起眼的一角, 我还依稀记得一次 Bony 教授在那里叼着烟斗提起这些教学的材料从 Schwartz 本人开始辗转经过多位数学家教授最终成为 Polytechnique 分析的标准教材. 我们在课上还经常借鉴另一本法语的教材:

•	Éléments de distributions et d’équations aux dérivées partielles - Cours et problèmes résolus. Claude Zuily

比如对 Weyl 的特征值渐近公式的证明就是采取这本书的处理方法 ². 另外, 这本教材有一系列精心挑选的习题, 这对于讲课或者听课的人都是难得的财富.

学期结束, 从教学效果上来说课程还是有很大欠缺, 特别是最后两周的课程内容可能略显多余 (介绍了波前集的概念, 并对于线性变系数微分算子证明了微局部的椭圆正则性定理和微局部正则性的传播定理) . 如果可以再次教授这门课程, 我想更好的选择可能是更为经典的话题, 比如说继续介绍波动方程有关的理论, 或者研究调和函数作为课上对 Dirichlet 问题一部分内容的补充, 或者利用 Littlewood–Paley 理论来刻画已有的几种函数空间. 当然, 这都是将来的事情了.

2020 年 12 月于静斋

脚注

1.	^ 也增加了更多的打印错误
2.	^ 我曾在 Patrick Gérard 教授的指导下以特征值的 Weyl 定律为主题做过一次课后的深入学习 (étude d’approfondissement), 按照 C. Zuily 在书中的讲法, 他也受到了 Gérard 教授的影响.