84. 奇性传播定理

给定区域 $\Omega$ 上的 $m$-次微分算子 $P$ 和分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 假设 $Pu=f$ 是光滑的, 那么, $$WF(u)\subset Z\left({\sigma }_m(P)\right),$$其中, $Z\left({\sigma }_m(P)\right)$ 是 $P$ 的主象征的零点集. 我们现在要进一步刻画 $WF(u)$ 的几何结构, 这就是所谓的奇性传播定理.

我们先引入一些定义:

定义 84.1. 给定区域 $\Omega$ 上的 $m$-次微分算子 $P$, 我们把$$\mathrm{Char}(P):=Z\left({\sigma }_m(P)\right)\subset T^{\ast }\Omega =\Omega \times {\mathbb{R}}^n$$称作是 $P$ 的特征簇 (characteristic variety) .

给定 $(x_0,{\xi }_0)\in \mathrm{Char}(P)$, 如果 $p_m(x,\xi )={\sigma }_m(P)$ 在 $(x_0,{\xi }_0)$ 的一个邻域上是实值的并且 ${\nabla }_{x,\xi }{p}_m(x_0,{\xi }_0)$ 与 $({\xi }_0,0)$ 是线性无关的, 我们就称 $\mathrm{Char}(P)$ 在 $(x_0,{\xi }_0)$ 处是简单的, 也称 $P$ 在 $(x_0,{\xi }_0)$ 处具有简单特征.

如果 $P$ 在每个 $\mathrm{Char}(P)$ 上的点处都是简单的, 我们就称 $P$ 具有简单的特征簇.

注记. 假设微分算子 $P$ 具有简单的特征簇, 那么, 对每个 $(x_0,{\xi }_0)\in \mathrm{Char}(P)$, $p_m(x,\xi )$ 在 $(x_0,{\xi }_0)$ 处的微分不是 $0$, 这说明 $\mathrm{Char}(P)\subset T^{\ast }\Omega$ 是光滑子流形 (余维数为 $1$) .

注记. 之前, 我们按照如下的方式定义了主特征: 如果$$P=\sum _{|\alpha |⩽m}{p}_{\alpha }(x){\partial }^{\alpha },$$那么, $$p_m(x,\xi )={\sigma }_m(P)(x,\xi )\sum _{|\alpha |=m}{p}_{\alpha }(x)(-i\xi {)}^{\alpha }.$$从此之后, 因为有上述关于 $p_m(x,\xi )$ 是实值的要求, 我们令$$p_m(x,\xi )={\sigma }_m(P)(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}{p}_{\alpha }(x)(\xi {)}^{\alpha }.$$这对之前的证明没有影响.

定义 84.2. 给定区域 $\Omega$ 上的 $m$-次微分算子 $P$, 我们假设它的象征 $p_m(x,\xi )$ 是实数值的函数, 那么如下定义的 $T^{\ast }\Omega$ 上的向量场$${\mathbf{H}}_P=\left(\frac{\partial p_m}{\partial {\xi }_1},\cdots ,\frac{\partial p_m}{\partial {\xi }_n},-\frac{\partial p_m}{\partial x_1},\cdots ,-\frac{\partial p_m}{\partial {\xi }_n}\right)$$被称作是 $P$ 所定义的 Hamilton 向量场. 形式上, 我们经常把这个向量场写成$${\mathbf{H}}_P=\left(\frac{\partial p_m}{\partial \xi },-\frac{\partial p_m}{\partial x}\right).$$我们通常把 $H(x,\xi )=p_m(x,\xi )$ 称作是 $T^{\ast }\Omega$ 上的一个 Hamilton 作用量.

假设$$\gamma :(-a,b)\to T^{\ast }\Omega$$是过 $(x_0,{\xi }_0)\in T^{\ast }\Omega$ 的 ${\mathbf{H}}_p$ 的一条积分曲线, 其中 $a,b>0$. 这指的是$$\gamma (t)=(x_1(t),x_2(t),\cdots ,x_n(t),{\xi }_1(t),{\xi }_2(t),\cdots ,{\xi }_n(t))$$并且$$\{\begin{array}{ll}{x}_1^{\prime }(t)& =\frac{\partial p_m}{\partial {\xi }_1}(x_1(t),\cdots ,x_n(t),{\xi }_1(t),\cdots ,{\xi }_n(t)),\\ x_2^{\prime }(t)& =\frac{\partial p_m}{\partial {\xi }_2}(x_1(t),\cdots ,x_n(t),{\xi }_1(t),\cdots ,{\xi }_n(t)),\\ & \cdots \cdots \\ x_n^{\prime }(t)& =\frac{\partial p_m}{\partial {\xi }_n}(x_1(t),\cdots ,x_n(t),{\xi }_1(t),\cdots ,{\xi }_n(t)),\\ {\xi }_1^{\prime }(t)& =-\frac{\partial p_m}{\partial x_1}(x_1(t),\cdots ,x_n(t),{\xi }_1(t),\cdots ,{\xi }_n(t)),\\ {\xi }_2^{\prime }(t)& =-\frac{\partial p_m}{\partial x_2}(x_1(t),\cdots ,x_n(t),{\xi }_1(t),\cdots ,{\xi }_n(t)),\\ & \cdots \cdots \\ {\xi }_n^{\prime }(t)& =-\frac{\partial p_m}{\partial x_b}(x_1(t),\cdots ,x_n(t),{\xi }_1(t),\cdots ,{\xi }_n(t)),\\ \gamma (0)& =(x_0,{\xi }_0).\end{array}$$

在上面这个图中, 我们把每个点 $x\in \Omega$ 处的 $\{x\}\times {\mathbb{R}}^n$ 记作是 $T_x^{\ast }\Omega$. 我们经常把这个方程组简写成$$\{\begin{array}{ll}{x}^{\prime }(t)& =\frac{\partial p_m}{\partial \xi }(x(t),\xi (t)),\\ {\xi }^{\prime }(t)& =-\frac{\partial p_m}{\partial x}(x(t),\xi (t)),\\ \gamma (0)& =(x_0,{\xi }_0).\end{array}$$关于 Hamilton 向量场, 我们有如下熟知的性质:

引理 84.3. Hamilton 作用量 $p_m(x,\xi )$ 沿着 ${\mathbf{H}}_P$ 的积分曲线是常数, 即对任意的 ${\mathbf{H}}_p$ 的积分曲线$$\gamma :(-a,b)\to T^{\ast }\Omega ,$$我们有$$\frac{d}{dt}\left(p_m(x(t),\xi (t))\right)=0.$$

证明. 我们只要利用 $\gamma$ 的方程进行计算即可: $$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}\left(p_m(x(t),\xi (t))\right)& =\frac{\partial p_m}{\partial x}(x(t),\xi (t))x^{\prime }(t)+\frac{\partial p_m}{\partial \xi }(x(t),\xi (t)){\xi }^{\prime }(t)\\ & =\frac{\partial p_m}{\partial x}(x(t),\xi (t))\frac{\partial p_m}{\partial \xi }(x(t),\xi (t))+\frac{\partial p_m}{\partial \xi }(x(t),\xi (t))\left(-\frac{\partial p_m}{\partial x}(x(t),\xi (t))\right)\\ & =0.\end{array}$$命题成立.

$\square$

假设 $\gamma$ 是 ${\mathbf{H}}_P$ 的一条积分曲线, 如果 $\gamma \cap \mathrm{Char}(P)\ne \varnothing$, 根据上面的引理, 那么, $p_m$ 在 $\gamma$ 的每个点上的取值都是 $0$, 所以, $\gamma \subset \mathrm{Char}(P)$.

定义 84.4. 我们把落在 $\mathrm{Char}(P)$ 中的 ${\mathbf{H}}_P$ 的极大的一条积分曲线称作是微分算子 $P$ 的一条双特征曲线 (bicharacteristics) .

有了双特征曲线的概念, 我们就可以陈述奇性传播定理了:

定理 84.5 (奇性传播定理). 给定区域 $\Omega$ 上的 $m$-次微分算子 $P$, 我们假设 $P$ 具有简单的特征簇. 如果 $\gamma$ 是 $P$ 的一条双特征曲线并且$$\gamma \cap WF\left(Pu\right)=\varnothing ,$$其中 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 是分布, 那么如下两种情形必居 (且只居) 其一:

•	$\gamma \subset WF(u)$;
•	$\gamma \cap WF(u)=\varnothing .$

推论 84.6 (奇性传播定理). 算子 $P$ 是区域 $\Omega$ 上的 $m$-次微分算子并且具有简单的特征簇, $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 是分布. 如果 $Pu$ 是光滑的, 那么 $WF(u)$ 是双特征曲线的无交并.

为了证明这个定理, 我们先做一番准备. 我们定义相函数$$\varphi (s,x,\xi ):\mathbb{R}\times T^{\ast }\Omega \to \mathbb{R}.$$这是一个对于 $\xi$ 是 $1$ 次齐次的函数, 它由如下的常微分方程所定义: $$\{\begin{array}{ll}& |\xi {|}^{m-1}\frac{\partial \varphi }{\partial s}(s,x,\xi )=-p_m\left(x,{\nabla }_x\varphi (s,x,\xi )\right),\\ & \varphi (0,x,\xi )=x\cdot \xi .\end{array}$$其中, $m$ 为 $P$ 的次数. 特别地, 由于 $\varphi$ 对于 $\xi$ 的次数为 $1$, 所以, $\varphi$ 可以被下面的方程刻画: $$\{\begin{array}{ll}& \frac{\partial \varphi }{\partial s}(s,x,\xi )=-p_m\left(x,{\nabla }_x\varphi (s,x,\xi )\right),\\ & \varphi (0,x,\xi )=x\cdot \xi ,\end{array}$$其中, $\xi \in {\mathbf{S}}^{n-1}$. 这是因为$$p_m\left(x,{\nabla }_x\varphi (s,x,\xi )\right)=p_m\left(x,{\nabla }_x\varphi \left(s,x,\frac{\xi }{|\xi |}\right)|\xi |\right)=|\xi {|}^m{p}_m\left(x,{\nabla }_x\varphi \left(s,x,\frac{\xi }{|\xi |}\right)\right).$$

利用相函数 $\varphi (s,x,\xi )$, 我们可以刻画双特征曲线:

引理 84.7. 假设 $\gamma (t)=(x(t),\xi (t))$ 是 $P$ 的一条双特征曲线, 那么, 对任意的 $t\in \mathbb{R}$, 我们有$$\xi (t)=\left({\nabla }_x\varphi \right)(t,x(t),{\xi }_0),$$其中, $\gamma (0)=(x_0,{\xi }_0)$.

我们定义$$\zeta (t)=\left({\nabla }_x\varphi \right)(t,x(t),{\xi }_0).$$很明显, $$\zeta (0)={\nabla }_x(x\cdot {\xi }_0)={\xi }_0=\xi (0).$$我们将证明, 对任意的 $t$, 我们都有$$\xi (t)=\zeta (t).$$

证明. 假设 $|\xi |=1$, 我们考虑 $\zeta (t)$ 所满足的微分方程: $$\begin{array}{rl}{\zeta }^{\prime }(t)& =\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t\partial x}(t,x(t),{\xi }_0)+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}(t,x(t),{\xi }_0)x^{\prime }(t).\end{array}$$利用方程, 我们有$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t\partial x}(t,x(t),{\xi }_0)=-\frac{\partial p_m}{\partial x}\left(x,\frac{\partial \varphi }{\partial x}(t,x(t),{\xi }_0)\right)-\frac{\partial p_m}{\partial \xi }\left(x,\frac{\partial \varphi }{\partial x}(t,x(t),{\xi }_0)\right)\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}\left(t,x(t),{\xi }_0\right).$$所以, $$\begin{array}{rl}{\zeta }^{\prime }(t)& =-\frac{\partial p_m}{\partial x}\left(x(t),\zeta (t)\right)+\underset{\text{矩阵乘法}}{\underbrace{\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}\left(t,x(t),{\xi }_0\right)\cdot \left[x^{\prime }(t)-\frac{\partial p_m}{\partial \xi }\left(x(t),\zeta (t)\right)\right]}}\end{array}$$另外, 根据定义, 我们还有$$\{\begin{array}{ll}{x}^{\prime }(t)& =\frac{\partial p_m}{\partial \xi }\left(x(t),\xi (t)\right),\\ {\xi }^{\prime }(t)& =-\frac{\partial p_m}{\partial x}\left(x(t),\xi (t)\right).\end{array}.$$所以, $$\begin{array}{rl}{\zeta }^{\prime }(t)-{\xi }^{\prime }(t)& =-\left[\frac{\partial p_m}{\partial x}\left(x(t),\zeta (t)\right)-\frac{\partial p_m}{\partial x}\left(x(t),\xi (t)\right)\right]\\ & -\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}\left(t,x(t),{\xi }_0\right)\cdot \left[\frac{\partial p_m}{\partial \xi }\left(x(t),\zeta (t)\right)-\frac{\partial p_m}{\partial \xi }\left(x(t),\xi (t)\right)\right].\end{array}$$根据 Lagrange 中值定理 (我们用到了 $p_m$ 是光滑函数并且其导数在 $\gamma$ 附近是有界的) , 我们就有$$\begin{array}{rl}|{\zeta }^{\prime }(t)-{\xi }^{\prime }(t)|& ⩽C|\zeta (t)-\xi (t)|.\end{array}$$由于$$|\zeta (t)-\xi (t)|{|}_{t=0}=0,$$上面的微分不等式表明$$\zeta (t)\equiv \xi (t).$$命题得证.

$\square$

利用微分方程的解对初始值的光滑依赖性以及紧性, 我们有如下的推论:

推论 84.8. 我们考虑一段双特征曲线$$\gamma :[0,t_0]\to T^{\ast }\Omega .$$对任意给定 ${\alpha }_0>0$, 存在 $r_0>0$ 和 $\beta >0$, 使得对任意的 $t\in [0,t_0]$, 对任意的 $(x,\xi )\in B_{r_0}(x(t))\times \Gamma (\xi (t),\beta )$, 我们都有$$\frac{\partial \varphi }{\partial x}(t,x,\xi )\in \Gamma (\xi (t),{\alpha }_0).$$

证明. 对任意的 $t\in [0,t_0]$, 根据引理 84.7, 上述关系对于 $(x(t),\xi (t))\in B_{r_0}(x(t))\times \Gamma (\xi (t),\beta )$ 成立, 利用连续性, 就对 $B_{r_0}(x(t))\times \Gamma (\xi (t),\beta )$ 中所有的点都成立. 由于所有可能的 $t$ 所给出的 $\left\{B_{r_0}\right(x(t))\times \Gamma (\xi (t),\beta \left)\right\}$ 是 $\gamma$ 的开覆盖, 利用紧性, 我们就得到了结论.

$\square$

奇性传播定理的证明: 条件

我们首先把条件$$\gamma \cap WF\left(Pu\right)=\varnothing ,$$用分析的语言写清楚.

对任意的 $t⩽t_0$, $\gamma (t)=(x(t),\xi (t))\notin WF(Pu)$, 从而, 存在 ${\psi }_0(x)\in C_0^{\infty }(\Omega )$, $\alpha (t)>0$, 使得 ${\psi }_0$ 在 $x(t)$ 附近恒为 $1$ 并且对任意的 $N>0$, 存在 $C_N$, 对任意的 $\xi \in \Gamma (\xi (t),2\alpha (t))$, 我们有$$\left|\widehat{{\psi }_0\cdot Pu}(\xi )\right|⩽\frac{C_N}{(1+|\xi |{)}^N}.$$所以, 对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }(B_{r(t)}(x(t)))$ (半径 $r(t)$ 很小) , 其中 ${\psi }_0{|}_{B_{r(t)}(x(t))}\ne 0$, 对任意的 $\xi \in \Gamma (\xi (t),\alpha (t))$, 我们有$$\begin{array}{rl}\left|\widehat{\phi \cdot Pu}(\xi )\right|& =\left|\mathcal{F}\left(\phi \cdot {\psi }_{0}Pu\right)(\xi )\right|\\ & ⩽\frac{C_N^{\prime }}{(1+|\xi |{)}^N}\underset{|\mu |⩽M(N)}{\sup }\Vert {\partial }^{\mu }\phi {\Vert }_{L^{\infty }}.\end{array}$$最后的一步, 我们用了引理 82.3, 其中, $M(N)$ 是依赖于 $N$ 的常数. 当 $t$ 遍历 $[0,t_0]$ 时 (我们可以假设 $t_0=1$) , 我们知道 $B_{r(t)}(x(t))\times \Gamma (\xi (t),\alpha (t))$ 覆盖了 $\gamma ([0,1])$, 所以, 我们可以选出有限个 $t_1,\cdots ,t_l$, 使得$$\gamma \subset \bigcup _{j⩽l}{B}_{r(t_j)}(x(t_j))\times \Gamma (\xi (t_j),\alpha (t_j)):=\Gamma (\gamma ).$$所以, 存在 $r_0>0$ 和 ${\alpha }_0>0$, 对任意的 $t\in [0,1]$, $B_{r_0}(x(t))\times \Gamma (\xi (t),{\alpha }_0)\subset \Gamma (\gamma )$. 特别地, 根据 Lebesgue 数的存在性 (第一学期第 11 次课) , 对任意的 $t$, $$\begin{gathered} B_{r_0}(x(t))\times \Gamma (\xi (t),{\alpha }_0) \\ xi\in \Gamma (\xi (t),{\alpha }_0) \end{gathered}$$ 必然落在某个 $B_{r(t_j)}(x(t_j))\times \Gamma (\xi (t_j),\alpha (t_j))$ 中 (这里我们可以先在 $\Omega \times {\mathbf{S}}^{n-1}$ 这个紧集上考虑) . 通过选取最小的 $C_N$ 和最大的 $M(N)$, 我们就得到了如下的结论:

引理 84.9. 存在 $r_0>0$ 和 ${\alpha }_0>0$, 对任意的 $t\in [0,1]$, 使得对任意的 $N>0$, 存在常数 $C_N$ 和 $M_N$, 使得对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }(B_{r_0}(x(t)))$, 对任意的 $\xi \in \Gamma (\xi (t),{\alpha }_0)$, 我们有$$\left|\widehat{\phi \cdot Pu}(\xi )\right|⩽\frac{C_N}{(1+|\xi |{)}^N}\underset{|\mu |⩽M_N}{\sup }\Vert {\partial }^{\mu }\phi {\Vert }_{L^{\infty }}.$$

我们不妨假设 $\gamma (1)\notin WF(u)$, 我们只要说明在另一个端点处 $\gamma (0)\notin WF(u)$ 即可. 我们先在翻译 $\gamma (1)\notin WF(u)$ 这个条件: 存在 $r_1>0$ 和 ${\alpha }_1>0$, 对任意的 $N>0$, 存在常数 $C_N$ 和 $M_N$, 使得对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }(B_{r_1}(x(1)))$, 对任意的 $\xi \in \Gamma (\xi (1),{\alpha }_1)$, 我们有$$\left|\widehat{\phi \cdot u}(\xi )\right|⩽\frac{C_N}{(1+|\xi |{)}^N}\underset{|\mu |⩽M_N}{\sup }\Vert {\partial }^{\mu }\phi {\Vert }_{L^{\infty }}.$$

作为总结 (缩小 $r_0$ 和 $r_1$ 等) , 我们把奇性传播定理的条件总结如下:

存在 $r_0>0$ 和 ${\alpha }_0>0$, 对任意的 $t\in [0,1]$, 使得对任意的 $N>0$, 存在常数 $C_N$ 和 $M_N$, 使得

•	对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }(B_{r_0}(x(t)))$, 对任意的 $\xi \in \Gamma (\xi (t),{\alpha }_0)$, 我们有$$\left|\widehat{\phi \cdot Pu}(\xi )\right|⩽\frac{C_N}{(1+|\xi |{)}^N}\underset{|\mu |⩽M_N}{\sup }\Vert {\partial }^{\mu }\phi {\Vert }_{L^{\infty }}.$$
•	对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }(B_{r_0}(x(1)))$, 对任意的 $\xi \in \Gamma (\xi (1),{\alpha }_0)$, 我们有$$\left|\widehat{\phi \cdot u}(\xi )\right|⩽\frac{C_N}{(1+|\xi |{)}^N}\underset{|\mu |⩽M_N}{\sup }\Vert {\partial }^{\mu }\phi {\Vert }_{L^{\infty }}.$$

奇性传播定理的证明: 拟解的构造

我们需要计算如下形式的导数: $$-e^{i\varphi }\left(|\xi {|}^{m-1}i\frac{\partial }{\partial t}+{}^{t}P\right)\left(e^{-i\varphi }c\right)$$假设 $c(t,x,\xi )$ 是阶为 $d$, 那么, 我们要将上面的式子写成三个部分, 第一个部分的阶为 $d+m$, 第二个部分的阶为 $d+m-1$, 第二个部分的阶 $⩽d+m-2$.

我们令 $Q={}^{t}P$, 那么$$\begin{array}{rl}Qf& ={}^{t}Pf=\sum _{|\alpha |⩽m}{q}_{\alpha }(x){\partial }^{\alpha }f(x)\\ & =\sum _{|\alpha |⩽m}(-1{)}^{\alpha }{\partial }^{\alpha }(p_{\alpha }(x)\cdot f(x)).\end{array}$$利用归纳法, 我们不难证明, 对任意的多重指标 $\mu$, 我们有$$\begin{gathered} e^{i\varphi }{\partial }^{\mu }\left(e^{-i\varphi }\right)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mu }_1+\cdots +{\mu }_l=\mu ,}{ \\ |{\mu }_1|⩾1,\cdots ,|{\mu }_l|⩾1}}(-1{)}^l{\partial }^{{\mu }_1}\varphi \cdot {\partial }^{{\mu }_2}\varphi \cdots {\partial }^{{\mu }_l}\varphi . \end{gathered}$$所以, $$\begin{array}{rl}{e}^{i\varphi }{}^{t}P\left(e^{-i\varphi }c\right)& =e^{i\varphi }\sum _{|\alpha |⩽m}{q}_{\alpha }(x){\partial }^{\alpha }\left(e^{-i\varphi }c\right)\\ & =\sum _{|\alpha |⩽m}\sum _{\mu ⩽\alpha }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\mu }\right)q_{\alpha }(x)e^{i\varphi }{\partial }^{\mu }\left(e^{-i\varphi }\right){\partial }^{\alpha -\mu }c\\ & =\sum _{|\alpha |⩽m}\sum _{\mu ⩽\alpha }\sum _{{\mu }_1+\cdots +{\mu }_l=\mu ,|{\mu }_j|⩾1}(-1{)}^l(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\mu })q_{\alpha }(x)\left({\partial }^{{\mu }_1}\varphi \cdots {\partial }^{{\mu }_l}\varphi \right){\partial }^{\alpha -\mu }c.\end{array}$$在这个表达式中, 每个 ${\partial }^{{\mu }_j}\varphi (t,x,\xi )$ 对于 $\xi$ 都是 $1$ 次的, 所以, 上面所出现的关于 $\xi$ 的最高阶项是 $d+m$ 阶的, 最低阶项是 $d$ 阶的. 我们下面将对不同的阶数进行合并同类项.

•

$d+m$ 阶项. 此时, 我们必须有 $l=|\mu |=|\alpha |=m$, 所以, 这些项为$$\begin{array}{rl}& \sum _{|\alpha |=m}(-1{)}^m\sum _{{\mu }_1+\cdots +{\mu }_m=\alpha }{q}_{\alpha }(x)\left({\partial }^{{\mu }_1}\varphi \cdots {\partial }^{{\mu }_l}\varphi \right)c\\ =& \sum _{|\alpha |=m}(-1{)}^m{q}_{\alpha }(x){\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)}^{\alpha }c(t,x,\xi )\\ =& \sum _{|\alpha |=m}(-1{)}^m{q}_{\alpha }(x){\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)}^{\alpha }c(t,x,\xi )\\ =& p_m\left(x,\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)\cdot c(t,x,\xi ).\end{array}$$

•

$d+m-1$ 阶项. 此时, 我们必须有 $l=m-1$. 所以, $|\mu |⩾m-1$. ∘ 如果 $|\mu |=m$, 此时, $|\alpha |=m$, 所以, 这些项为$$\begin{array}{rl}& \sum _{|\mu |=m}\sum _{{\mu }_1+\cdots +{\mu }_{m-1}=\mu }(-1{)}^{m-1}{q}_{\mu }(x)\left({\partial }^{{\mu }_1}\varphi \cdots {\partial }^{{\mu }_l}\varphi \right)c\\ =& M_{\varphi ,P}\cdot c(t,x,\xi ).\end{array}$$这里, $$M_{\varphi ,P}(t,x,\xi )=\sum _{|\mu |=m}\sum _{{\mu }_1+\cdots +{\mu }_{m-1}=\mu }(-1{)}^{m-1}{q}_{\mu }(x)\left({\partial }^{{\mu }_1}\varphi \cdots {\partial }^{{\mu }_l}\varphi \right)$$对于 $\xi$ 是一个次数为 $m-1$ 的齐次函数, 它的构造只依赖于 $\varphi$ 和 $p_m$ (主象征! ) . ∘ 如果 $|\mu |=m-1$. 我们定义多重指标 ${\delta }_j=(0,\cdots ,0,1,0,\cdots ,0)$, 其中只有在第 $j$ 个位置是 $1$. 这些项为$$\begin{array}{rl}& \sum _{|\alpha |⩽m}\sum _{\mu ⩽\alpha ,|\mu |=m-1}(-1{)}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\mu })q_{\alpha }(x){\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)}^{\mu }{\partial }^{\alpha -\mu }c.\end{array}$$如果 $|\alpha |=m-1$, 这一类的项可以合并到上面的一项中 (此时, 我们要对 $M_{\varphi ,P}(t,x,\xi )$ 进行修正, 它的构造变得依赖于 $\varphi$ 和 $P$) . 所以, 除去这些项之外, 此时没有处理的项形如$$\begin{array}{rl}& \sum _{|\alpha |=m}\sum _{j=1}^n(-1{)}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\alpha -{\delta }_j})q_{\alpha }(x){\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)}^{\alpha -{\delta }_j}{\partial }^{{\delta }_j}c\\ =& i\sum _{j=1}^n\frac{\partial p_m}{\partial {\xi }_j}\left(x,\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)\frac{\partial c}{\partial x_j}.\end{array}$$

综上所述, 我们就有$$e^{i\varphi }{}^{t}P\left(e^{-i\varphi }c\right)=\underset{\text{d+m次}}{\underbrace{p_m\left(x,\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)\cdot c}}+\underset{\text{d+m−1次}}{\underbrace{M_{\varphi ,P}\cdot c+i\sum _{j=1}^n\frac{\partial p_m}{\partial {\xi }_j}\left(x,\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)\frac{\partial c}{\partial x_j}}}+c_{⩽d+m-2},$$其中, $c_{⩽d+m-2}(t,x,\xi )$ 是一些次数不超过 $d+m-2$ 次的齐次函数的 (有限) 线性组合.

利用这个公式, 我们就有$$\begin{array}{rl}& -e^{i\varphi }\left(|\xi {|}^{m-1}i\frac{\partial }{\partial t}+{}^{t}P\right)\left(e^{-i\varphi }c\right)\\ =& -|\xi {|}^{m-1}i\frac{\partial c}{\partial t}-|\xi {|}^{m-1}\frac{\partial \varphi }{\partial t}c\\ & -p_m\left(x,\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)\cdot c-M_{\varphi ,P}\cdot c-i\sum _{j=1}^n\frac{\partial p_m}{\partial {\xi }_j}\left(x,\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)\frac{\partial c}{\partial x_j}-c_{⩽d+m-2}\\ =& \frac{1}{i}\left(|\xi {|}^{m-1}{\partial }_t+\sum _{j=1}^n\frac{\partial p_m}{\partial {\xi }_j}\left(x,\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right){\partial }_{x_j}\right)c-\underset{=0,\text{根据ϕ的定义}}{\underbrace{\left(|\xi {|}^{m-1}\frac{\partial \varphi }{\partial t}+p_m\left(x,\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)\right)}}c\\ & -M_{\varphi ,P}\cdot c-c_{⩽d+m-2}.\end{array}$$所以, $$\begin{array}{rl}& -e^{i\varphi }\left(|\xi {|}^{m-1}i\frac{\partial }{\partial t}+{}^{t}P\right)\left(e^{-i\varphi }c\right)=\frac{1}{i}L(c)+M_{\varphi ,P}\cdot c+c_{⩽d+m-2},\end{array}$$其中, $$L=|\xi {|}^{m-1}{\partial }_t+\sum _{j=1}^n\frac{\partial p_m}{\partial {\xi }_j}{\partial }_{x_j}.$$作为总结, 我们有

引理 84.10. 假设 $c(t,x,\xi )$ 是关于 $\xi$ 为 $d$ 次齐次的光滑函数, 那么, 我们有$$\begin{array}{r}-e^{i\varphi }\left(|\xi {|}^{m-1}i\frac{\partial }{\partial t}+{}^{t}P\right)\left(e^{-i\varphi }c\right)=\frac{1}{i}L(c)+\frac{1}{i}{M}_{\varphi ,P}\cdot c+c_{⩽d+m-2},\end{array}$$其中, $L(c)$ 是 $d+m-1$ 次的, $M_{\varphi ,P}$ 是次数为 $m-1$ 的齐次函数 (只依赖于 $\varphi$ 和 $P$) .

注记. 我们注意到 $\varphi$ 的构造方式恰好消去了上面可能出现的 $d+m$ 次的项.

引理 84.11 (拟解的构造). 对给定的正数 $(r_0,{\alpha }_0)$, 存在 ${\rho }_0>0$, 使得 ${\rho }_0<r_0$ 并且如下成立:

对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }(B_{{\rho }_0}(x(0)))$, 存在函数序列$$\{b_k(t,x,\xi ){\}}_{k⩾0},\{R_k(t,x,\xi ){\}}_{k⩾0}\subset C^{\infty }\left([0,1]\times B(x(t),r_0)\times \Gamma (\xi (t),{\alpha }_0)\right),$$

•	$b_k(t,x,\xi )$ 对于 $\xi$ 是次数为 $-k$ 的齐次函数并且对任意的 $t$ 和 $\xi$, 如果 $x\notin B(x(t),r_0)$, 那么 $b_k(t,x,\xi )=0$;
•	$R_k(t,x,\xi )$ 是有限个次数不超过 $m-k-2$ 的齐次函数 (对于 $\xi$) 的和并且对任意的 $t$ 和 $\xi$, 如果 $x\notin B(x(t),r_0)$, 那么 $R_k(t,x,\xi )=0$;
•	我们令$$a_k(t,x,\xi )=\sum _{j=1}^k{b}_j(t,x,\xi ).$$那么, 我们有$$\{\begin{array}{ll}& -i{e}^{i\varphi }|\xi {|}^{m-1}\frac{\partial }{\partial t}\left(e^{-i\varphi }{a}_k\right)=e^{i\varphi }\cdot {}^{t}P\left(e^{-i\varphi }{a}_k\right)+R_k,\\ & a_k(0,x,\xi )=\phi (x).\end{array}$$

证明. 我们归纳地来构造. 先考虑 $k=0$ 的情形. 此时, 我们定义 $b_0(t,x,\xi )$ 为如下 (常) 微分方程的解: $$\{\begin{array}{ll}& L(b_0)+M_{\varphi ,P}\cdot b_0=0,\\ & b_0(0,x,\xi )=\phi (x).\end{array}$$那么, $b_0$ 对于 $\xi$ 是 $0$ 次的齐次函数 (可以先对 $|\xi |=1$ 来解, 然后进行齐次的扩张) .

假设对于 $⩽k$ 的指标 $j$, 我们已经构造了 $b_j$, 那么, 我们考虑$$\begin{array}{rl}& -i{e}^{i\varphi }|\xi {|}^{m-1}\frac{\partial }{\partial t}\left(e^{-i\varphi }\left(a_k+b_{k+1}\right)\right)-e^{i\varphi }\cdot {}^{t}P\left(e^{-i\varphi }\left(a_k+b_{k+1}\right)\right)\\ =& R_k+\left(L(b_{k+1})+M_{\varphi ,P}\cdot b_{k+1}\right)+c_{\le d+m-2}.\end{array}$$其中 $d$ 为 $b_{k+1}$ 的次数.

由归纳假设, $R_k$ 是次数不超过 $m-k-2$ 的齐次函数的线性组合, 我们假设它的 $m-k-2$ 次分量为 $R_k^{(m-k-2)}$. 那么, 我们令$$\{\begin{array}{ll}& L(b_{k+1})+M_{\varphi ,P}\cdot b_{k+1}=-R_k^{(m-k-2)},\\ & b_{k+1}(0,x,\xi )=0.\end{array}$$那么, $d=-(k+1)$, 从而 $c_{\le d+m-2}$ 的次数不超过 $m-k-3$. 这就完成了证明.

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奇性传播定理的证明: 完成

我们对方程$$\frac{\partial }{\partial t}\left(e^{-i\varphi }{a}_k\right)=i|\xi {|}^{1-m}\cdot {}^{t}P\left(e^{-i\varphi }{a}_k\right)+i|\xi {|}^{1-m}{e}^{-i\varphi }{R}_k$$对 $t$ 从 $0$ 到 $1$ 积分, 由于 $\varphi (0,x,\xi )=x\cdot \xi$, 我们就得到$$\begin{array}{rl}{e}^{-ix\cdot \xi }\phi (x)& =e^{-i\varphi (1,x,\xi )}{a}_k(1,x,\xi )-i|\xi {|}^{1-m}{\int }_0^1{}^{t}P\left(e^{-i\varphi (t,x,\xi )}{a}_k(t,x,\xi )\right)dt\\ & -i|\xi {|}^{1-m}{\int }_0^1{e}^{-i\varphi (t,x,\xi )}{R}_k(t,x,\xi )dt.\end{array}$$所以, 我们有$$\begin{array}{rl}\widehat{\phi \cdot u}(\xi )& =⟨u,e^{-ix\cdot \xi }\phi (x)⟩\\ & =⟨u,e^{-i\varphi (1,x,\xi )}{a}_k(1,x,\xi )⟩-i|\xi {|}^{1-m}{\int }_0^1⟨u,{}^{t}P\left(e^{-i\varphi (t,x,\xi )}{a}_k(t,x,\xi )\right)⟩dt\\ & -i|\xi {|}^{1-m}{\int }_0^1⟨u,e^{-i\varphi (t,x,\xi )}{R}_k(t,x,\xi )⟩dt\\ & =\underset{H(\xi )}{\underbrace{⟨u,e^{-i\varphi (1,x,\xi )}{a}_k(1,x,\xi )⟩}}-i|\xi {|}^{1-m}{\int }_0^1\underset{I(\xi ,t)}{\underbrace{⟨Pu,e^{-i\varphi (t,x,\xi )}{a}_k(t,x,\xi )⟩}}dt\\ & -i|\xi {|}^{1-m}{\int }_0^1\underset{J(\xi ,t)}{\underbrace{⟨u,e^{-i\varphi (t,x,\xi )}{R}_k(t,x,\xi )⟩}}dt.\end{array}$$我们逐一地控制上面的三项:

•	控制 $H(\xi )$. 首先, 由于 $a_k(t,x,\xi )$ 对于 $x\notin B(x(t),r_0)$ 是消失的, 所以, 我们可以用一个示性函数 $\chi (x)$ 来记住这个事实 (它在 $B(x(1),r_0)$ 上恒为 $1$) : $$\begin{array}{rl}H(\xi )& =⟨u,e^{-i\varphi (1,x,\xi )}\chi (x)a_k(1,x,\xi )⟩\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-i\varphi (1,x,\xi )}{a}_k(1,x,\xi )\chi (x)u(x)dx.\end{array}$$ 我们选取相函数 $\varphi (1,x,\xi )$, 振幅函数 $a_k(1,x,\xi )$ 以及被作用函数 $f(x)=\chi \cdot u(x)$, 我们来验证它们满足非驻相法引理的基本数据的条件: (a) $\varphi (1,x,\xi )\in C^{\infty }\left({\mathbb{R}}_x^n\times ({\mathbb{R}}_{\xi }^n-\{0\})\right)$ 是实值的, 变量 $\xi$ 是 1 次齐次的并且当 $\xi \ne 0$ 时, 有 ${\nabla }_x\varphi (1,x,\xi )\ne 0$: 为了说明后者, 我们用 $\varphi (t,x,\xi )$ 满足的方程: $$\{\begin{array}{ll}& \frac{\partial \varphi }{\partial s}(s,x,\xi )=-p_m\left(x,{\nabla }_x\varphi (s,x,\xi )\right),\\ & \varphi (0,x,\xi )=x\cdot \xi ,\end{array}$$其中 $|\xi |=1$. 对 $x$ 求导数, 我们就有$$\begin{array}{r}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial s\partial x}(s,x,\xi )=-\frac{\partial p_m}{\partial x}(x,{\nabla }_x\varphi (s,x,\xi ))-\underset{F(s,x,\xi )}{\underbrace{\frac{\partial p_m}{\partial \xi }(x,{\nabla }_x\varphi (s,x,\xi ))}}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}(s,x,\xi ).\end{array}$$所以, $$\begin{array}{r}\left|\left(\frac{\partial }{\partial s}+F\frac{\partial }{\partial x}\right)\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right|=\left|-\frac{\partial p_m}{\partial x}(x,{\nabla }_x\varphi (s,x,\xi ))\right|⩽C{\left|\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right|}^m.\end{array}$$如果 ${\nabla }_x\varphi (1,x,\xi )=0$, 上述微分不等式表明 ${\nabla }_x\varphi (0,x,\xi )=\xi =0$, 矛盾! 上面的推理对于 $t\ne 1$ 也成立. (b) 按照构造, 对于任意的 $t$, $b_j(t,x,\xi )$ 光滑, 所以 $a_k(t,x,\xi )$ 也光滑. 另外, $a_k(t,x,\xi )$ 是一些次数不超过 $0$ 的齐次函数的和, 利用紧性, 使得对任意的多重指标 $\alpha$, 存在常数 $C_{\alpha }$, 我们都有$$\left|{\partial }_x^{\alpha }{a}_k(t,x,\xi )\right|⩽C_{\alpha }.$$ (c) 由于 $(x(1),\xi (1))\notin WF(u)$, 对任意的 $N⩾1$, 存在常数 $C_N$, 使得对任意的 $\xi \in \Gamma (\xi (1),\beta )$, 都有我们就有$$\left|\hat{f}(\xi )\right|⩽\frac{C_N}{{\left(1+|\xi |\right)}^N}.$$这里, ${\eta }_0=\frac{\xi (1)}{|\xi (1)|}$. 根据推论 84.8 以及连续性, 对任意的 $(x,\xi )\in B(x(1),r_0)\times \Gamma (\xi (1),{\alpha }_0)$, 我们有$$\left|\frac{{\nabla }_x\varphi (x,\xi )}{|{\nabla }_x\varphi (x,\xi )|}-{\eta }_0\right|<\beta .$$所以我们可以运用非驻相法引理, 从而, 此时, 引理的结论表明, 对任意的 $N⩾1$, 存在 $C_N>0$, 使得对任意的 $\Gamma (\xi (0),{\alpha }_0)$, 有$$\left|H(\xi )\right|⩽\frac{C_N}{{\left(1+|\xi |\right)}^N}.$$
•	控制 $I(\xi ,t)$. 这一部分的控制和 $H(\xi )$ 是完全一致的, 唯一的不同在于把 $u$ 换成了 $Pu$. 另外, 我们可以对 $t$ 一致地选取 $\chi$. 重复上面的过程, 我们就得到对任意的 $N⩾1$, 存在 $C_N>0$, 使得对任意的 $\Gamma (\xi (0),{\alpha }_0)$, 有$$\left|I(\xi ,t)\right|⩽\frac{C_N}{{\left(1+|\xi |\right)}^N}.$$
•	控制 $J(\xi ,t)$. 利用分布的定义, 存在常数 $C_0$, 使得, $$\begin{gathered} |J(\xi ,t)|⩽C\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{|\alpha |⩽M,}{ \\ x\in B_{r_0}(x(t))}}{\sup }\left|{\partial }^{\alpha }\left(e^{-i\varphi (t,x,\xi )}{R}_k(t,x,\xi )\right)\right|. \end{gathered}$$ $R_k(t,x,\xi )$ 是有限个 $\xi$ 的次数 $⩽m-k-2$ 的齐次函数的和, 所以, 根据 Leibniz 法则 (以及 $\varphi$ 对 $\xi$ 的次数为 $1$) , 上面右端出现的是一些次数不超过 $m-k-2+M$ 的齐次函数的和. 利用 $R_k$ 的光滑性, 我们知道存在常数 $C_M$, 使得$$\begin{gathered} \underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{|\alpha |⩽M,}{ \\ (x,\xi )\in B_{r_0}(x(t))\times {\mathbf{S}}^{n-1}}}{\sup }|{\partial }^{\alpha }{R}_k(t,x,\xi )|⩽C_M. \end{gathered}$$所以, $$|J(\xi ,t)|⩽\frac{C_M^{\prime }}{(1+|\xi |{)}^{k+2-M-m}},$$其中, $k$ 是任意的正整数.

综合上面的所有估计, 我们就证明了对任意的 $N⩾1$, 存在 $C_N>0$, 使得对任意的 $\Gamma (\xi (0),{\alpha }_0)$, 有$$\left|\widehat{\phi \cdot u}(\xi )\right|⩽\frac{C_N}{{\left(1+|\xi |\right)}^N}.$$这说明 $(x_0,{\xi }_0)\notin WF(u)$, 从而完成了奇性传播定理的证明.