47. 子流形上的积分计算, Stokes 定理

Fubini 公式的一个应用

先补充 Fubini 公式的一个应用:

例子. 中单位球的体积, 我们来计算所有的 . 对于 , 我们令它的半径长为

MathAnalysis N1806.svg
此时, 我们有其中, 我们用了变元替换 . 我们注意到, 是我们上个学期研究过的 Wallis 积分, 其中, 从而, 我们可以递归地计算 . 特别地, 我们有根据递归公示, 我们很容易证明这说明当 变大时, 中单位球的体积趋于 . 另外, 如果借助计算器的话, 我们可以很快看到 是最大的.

我们上次课讲过, 如果给定函数图像 , 那么它上面的积分可以用如下的公式来计算:

我们现在来看几个经典的例题:

例子 (Archimedes). 考虑 是标准的单位球面, 对于 , 我们令我们令 为与 -轴平行的圆柱面, 并且这个圆柱面的直径是 (恰好可以套在 上) . 对于 , 我们令

MathAnalysis N1800.svg
这是两个平行的平面在 或者 上所截出的带状区域 (图中的灰色区域) . Archimedes 的一个著名定理说, 的面积和 的面积相等. 我们来证明这个命题.

我们不妨假设 (从这一点出发很容易证明 Arichmedes 的定理, 这是因为我们将看到 的面积正比于 ) , 此时, 可以写成函数的图像: 此时, , 所以所以,

现在计算 的面积, 由对称性, 我们把 看成是 的函数, 有对称性, 我们假设 , 所以, 只要算如下图形的面积即可: 所以, 我们有 , 从而, 所以, 从而,

我们还可以采取参数化的形式来计算 的面积, 比如说, 我们可以利用球面坐标系:

MathAnalysis N1605.jpg
由于 , 所以 所定义. 此时, 我们有所以, , 从而

我们可以类似地计算 的面积, 考虑参数化从而, 所以, , 从而

Stokes 公式

我们先给出 Stokes 公式的第一个证明, 其想法是把整体的公式转换为局部上的公式. 为此, 我们先证明一种特殊形式的单位分解定理, 这是一个技术性的引理.

注记 (截断函数的存在性). 我们在上个学期作业七习题 F 中 (截断函数部分) 构造了函数 , 使得 , 在 上恒为 , 在 之外恒为零. 另外, 这个 还是偶函数, 并且在 之间是单调下降的.

我们现在来构造 上的光滑截断函数 , 其中

很明显, 只依赖于变量 , 它半径为 的球之外恒为 , 在半径为 的球之上恒为 并且这是一个对于半径 递减的函数.

我们还可以构造 上的光滑截断函数 , 其中

很明显, 这个函数是光滑的正函数, 它在一个中心在原点并且边长为 的正方体上恒为 , 在中心在原点并且边长为 的正方体之外恒为 .

我们强调, 这类函数具体构造并不重要, 我们只用上面所列举的几条性质.

我们要构造一个与格点 相容的单位分解. 为此, 首先定义 上的函数: 这个函数是良好定义的: 对于给定的 , 这是一个有限和, 因为当某个 时, , 所以, 有贡献的项只是 与中心在 处边长为 的正方体中的格点, 这自然是一个有限集.

特别地, 是光滑函数并且以 为周期的周期函数, 即对任意的 , 我们有

另外, 根据 的构造, 对任意的 , 我们都有 . 据此, 对每个 , 我们可以定义我们得到了一组有紧支集 1的光滑函数 , 使得对任意的 , 我们有对任意的 , 在某个中心在格点上面并且边长为 的正方体之外恒为 (本来在某个小一点的正方体上恒为 的性质由于除以 所以不再成立) .

我们现在任意固定一个 (很大的) 正整数 . 对每个 , 我们定义那么, 在某个边长为 的正方体上恒为 , 把这个正方体扩大一倍之后 (边长为 ) , 在这个大正方体之外恒为 . 特别地, 这两个正方体的中心落在 中 (这是更密的格点) . 我们自然还有综合上面的讨论, 我们得到了如下的单位分解定理, 其中, 所谓的单位分解, 指的是把 这个单位函数分解成若干函数的和:

MathAnalysis N1801.svg

引理 47.1 (周期的单位分解). 对任意的 , 令 . 那么, 存在一族有紧支集的非负的光滑函数 , 满足如下的两个条件:

1)

对任意的 , 落在以 为中心边长为 的正方体中;

3)

常值函数 可以分解为:

为了证明 Stokes 定理, 我们还需要技术性的引理. 这个引理实际上大有渊源, 它和 Dirac -函数有关, 我们会在下个学期的课程中经常用到这个引理.

引理 47.2. 假设 上的有紧支集的光滑函数, 我们假设 . 那么, 对任意的连续函数 , 我们都有

证明. 我们假设 . 根据变量替换公式, 对任意的 , 我们有为了证明引理所要求的极限, 我们做差: 由于 处连续, 所以对任意的 , 存在 , 使得当 时, . 所以, 当 时, 上面的积分可以被下面的积分控制: 所以, 所要证明的极限成立.

为了能够正确地陈述与证明 Stokes 公式, 我们需要引入 中的 (有界) 带边的光滑区域 (或者 -光滑) 的概念. 很多教科书上在 Stokes 的证明方面语焉不详, 很大程度上受制于没有正确地引入概念.

定义 47.3 (有界带边光滑区域). 给定 中的紧集 , 我们假设对任意的 , 如下两种情况必居其一:

1)

是一个内点, 即存在开集 , 使得 ;

2)

是一个边界点, 即存在开集 , , 存在开集 , 存在微分同胚 , 其中 上的坐标我们用 表示, 上的坐标我们用 表示使得

;

坐标是 .

MathAnalysis N1802.svg

那么, 我们把 称做是一个有界带边光滑区域. 我们总是约定 的内点的集合非空.

注记. 根据定义, 一个边界点绝对不能是内点, 因为它的任何一个领域都与 相交. 我们将 所有内点的集合记为 , 边界点的集合记作 . 所以, 并且 .

在边界点的定义中, 将边界点映射到 的边界上, 即 .

实际上, 是余维数为 的光滑子流形. 证明是直截了当的: 局部上 (在上述定义中的 中) , 都被一个微分同胚映射成了 的点, 按照子流形的定义, 这是 维的子流形.

对于 中的余维数为 的光滑子流形 , 对任意的 , 我们可以找到两个单位长的 (法) 向量 , 使得它们和 是垂直的.

引理 47.4. 假设 是一个有界带边光滑区域. 对于任意的 , 存在唯一的 , 使得

1)

这是 的单位法向量, 即 并且 ;

2)

这个向量指向 的外部, 即存在 , 使得对任意的 , .

我们称 处的单位外法向量.

证明. 按照定义, 存在开集 , 和微分同胚 , 使得 并且 并且 . 如果我们令其中 . 那么, 的零点集就定义了 而且此时, 我们任意选取 , 使得 并且 . 为了决定到底哪一个 是外法向量, 利用如下的性质(否则对任意的 , , 从而 , 矛盾) 通过选取 前面的符号, 我们要求 . 此时, 对较小的 , 对任意的 , 我们有这表明 .

注记. 假设 是一个有界带边光滑区域, 对任意的 , 我们都可以唯一地指定它的外法向量 , 所以, 我们有映射这实际上是光滑子流形 上定义的光滑函数: 这是因为每个余 1 维子流形局部上都可以写成函数图像的形式 2, 从而我们可以用下面例子的结论.

例子. 给定 上的光滑函数 , 我们把 定义为 的图像 下的区域 (下面图中的灰色区域) , 即我们计算 的单位外法向量 (我们注意到 不是有界区域, 但是这不影响我们计算法向量) .

MathAnalysis N1803.svg

证明. 很明显, . 给定 , 其中 , 我们已经计算过据此, 这个点处的单位外法向量必然是我们现在确定 的符号: 考虑 , 那么, . 为了保证 是外法向量, 我们需要 . 我们计算所以, 特别地, 此时, 是光滑依赖的.

我们现在叙述并证明 Stokes 公式:

定理 47.5. 假设 是一个有界带边光滑区域, 的单位外法向量, 上的曲面测度. 对任意的 , 我们有如果用向量值的函数来写, 我们有

证明. 证明分为四步, 前两步是准备工作:

第一步, 把 写成若干个函数图像的并.

对于每个 , 存在开集 , 使得 , 是函数的图像, 即在 上, 存在 , 使得 形如由于 是紧集, 所以存在有限个 , 使得 .

特别地, 对于足够大的 , 如果一个边长为 的正方体 的交非空, 那么, 存在 , 使得 . (请参考上学期第 11 次课关于 Lebesgue 数的讨论)

第二步, 函数的局部化.

首先观察到, Stokes 公式的左右两边对于 都是线性的. 我们利用单位分解将 限制到更小的开集上去: 对任意的 , 我们有一族有紧支集的非负的光滑函数 , 其中 , 使得对每个 , 落在以 为中心边长为 的正方体中并且: 从而, 此时, 每个 在以 为中心边长为 的正方体之外恒为 . 由于 是紧集, 所以上述支集与 相交的函数的个数是有限个, 所以, 我们只要对这些函数来证明即可. 我们仍然用 表示 , 上面的讨论容许我们假设 落在一个边长为 的正方体 中.

第三步, 正方体 与边界 不相交的情况: .

MathAnalysis N1804.svg

此时, 由于 之外恒为 , 从而 之外也恒为 , 所以, 我们可以把积分限制到 上: 其中, . 我们不妨假设 , 其中, . 所以, 根据 Fubini 公式和 Newton-Leibniz 公式, 我们得到上面表达式中, 一个符号上面加上  表示这个符号不在那里. 由于 的支集在 中, 所以从而上面的积分为 . 另外, 由于 上为 , 所以此时 Stokes 公式成立.

第四步, 正方体 与边界 相交的情况: , 此时, 我们可以假设 , 其中, 是第一步中构造的开集.

MathAnalysis N1805.svg

由于 为函数的图像, 我们不妨假设我们还假设 是函数图像下的部分, 即 . 我们定义并且选取函数光滑递增的单变量实函数 : (函数的存在性请参考上个学期作业七习题 F) 我们知道, 当 时, 我们有函数的逐点收敛: 根据 Lebesgue 控制收敛定理, 我们有最后一个等号我们利用 Fubini 公式可以对 变量进行分部积分, 这和第三步中的计算一模一样.

为了可以利用 Newton-Leibniz 公式, 我们构造一个微分同胚 (坐标变换) 把 变成矩形. 我们变量替换显然, 我们有 , 利用换元积分公式, 我们有蓝色项具有特殊的形式. 注意到 这个函数的积分为 , 所以, 根据我们证明的第二个技术性引理 (Dirac -函数) , 我们就有我们注意到, 实际上就是超曲面 . 为了书写简单, 我们令 , . 所以, 根据 Lebesgue 控制收敛定义 (交换积分和极限) , 我们有我们注意到, 就是 的曲面测度 . 另外, 根据之前的计算, 所以, 上式就可以写成这就对这种情况证明了 Stokes 公式, 从而命题得证.

注记. 上述证明的一个和核心想法是把函数 拆成支集很小的函数的和来进行证明而不是把 拆成更小的集合! 也就是说, 把 分成小块是更直观的看法, 但是为了实现这个想法, 我们应该走到函数的层次上.