期中考试: 非 Borel 集的构造

考试中后面的问题可以使用前面问题的结论 (无论答题人是否已经得到正确的证明或者答案) , 试题出现的先后顺序与其难度毫无关联.

在本次考试中所出现的测度均为 Lebesgue 测度.

寄语.

Student: Dr. Einstein, Aren’t these the same questions as last year’s final exam?

Dr. Einstein: Yes! But this year the answers are different.

光滑性 (共 10 分)

我们用 ${\mathbf{Sym}}_n(\mathbb{R})$ 表示 $n\times n$ 的实对称矩阵的全体, 这是一个 $\frac{n(n+1)}{2}$-维的 $\mathbb{R}$-线性空间.

令 ${\mathbf{Sym}}_n^{+}(\mathbb{R})\subset {\mathbf{Sym}}_n(\mathbb{R})$ 为全体正定 (对称) 的矩阵.

A1)	(3 分) 证明, ${\mathbf{Sym}}_n^{+}(\mathbb{R})$ 是 ${\mathbf{Sym}}_n(\mathbb{R})$ 中的开集.
A2)	(7 分) 根据线性代数一个常用的命题 (请自行查阅资料) , 对任意的 $A\in {\mathbf{Sym}}_n^{+}(\mathbb{R})$, 存在唯一的 $B\in {\mathbf{Sym}}_n^{+}(\mathbb{R})$, 使得$$B^2=A.$$我们用 $\sqrt{A}$ 来表示 $B$, 这就我们得到了映射$$\sqrt{\cdot }:{\mathbf{Sym}}_n^{+}(\mathbb{R})\to {\mathbf{Sym}}_n^{+}(\mathbb{R}),A\mapsto \sqrt{A}.$$证明, 这个映射是 $C^{\infty }$ 的.

导数的计算 (共 10 分)

B1)	(5 分) 假设 $f\in C^2({\mathbb{R}}^2,\mathbb{R})$, 其中, 我们用 $(x,y)$ 表示 ${\mathbb{R}}^2$ 上的坐标. 令$$\{\begin{array}{ll}& x=au+bv,a,b\in \mathbb{R};\\ & y=cu+dv,c,d\in \mathbb{R}.\end{array}$$据此, 我们可以把 $f$ 看作是 $(u,v)$ 的函数, 即 $F(u,v)=f(au+bv,cu+dv)$. 试用 $f$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数来计算 $\frac{{\partial }^{2}F}{\partial u\partial v}$.
B2)	(5 分) 试找出所有的 $f\in C^2({\mathbb{R}}^2,\mathbb{R})$, 使得$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}-3\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=0.$$

反／隐函数定理: 三次多项式的实根 (共 15 分)

定义 ${\mathbb{R}}^3$ 上的映射: $$P:{\mathbb{R}}^2\times \mathbb{R},(a,b,x)\mapsto P(a,b,x)=x^3+b{x}^2+ax+1.$$为了方便起见, 我们还记 $p_{(a,b)}(x)=P(a,b,x)$.

C1)	(2 分) 我们定义 ${\mathbb{R}}^2$ 集合$$\Omega =\{(a,b)|b^2<3a\}.$$证明, 这是一个开集并且对任意的 $(a,b)\in \Omega$, 多项式 $p_{(a,b)}(x)$ 有实根.
C2)	(4 分) 对任意的 $(a,b)\in \Omega$, 我们假设 $x\in \mathbb{R}$, 使得 $p_{(a,b)}(x)=0$. 证明, 存在 $(a,b)$ 在 $\Omega$ 中的开邻域 $U_{(a,b)}$, $x$ 在 $\mathbb{R}$ 中的开邻域 $V_x$ 以及光滑映射$$\phi :U_{(a,b)}\to V_x,$$使得对任意的 $(a^{\prime },b^{\prime },x^{\prime })\in U_{(a,b)}\times V_x$, $p_{(a^{\prime },b^{\prime })}(x^{\prime })=0$ 等价于 $x=\phi (a^{\prime },b^{\prime })$.
C3)	(2 分) 假设 $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ 使得多项式 $p_{(a,b)}(x)$ 有三个不同的实根. 证明, 存在 $(a,b)$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 中的开邻域 $U_{(a,b)}$, 使得对任意的 $(a^{\prime },b^{\prime })\in U_{(a,b)}$, 多项式 $p_{(a^{\prime },b^{\prime })}(x)$ 也有三个不同的实根.
C4)	(3 分) 证明, 对任意的 $(a,b)\in \Omega$, $p_{(a,b)}(x)$ 恰有一个实根.
C5)	(4 分) 我们定义$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{U}}_1=\{(a,b)\in {\mathbb{R}}^2|\text{p(a,b)(x) 恰有一个实根}\},\\ & {\mathcal{U}}_3=\{(a,b)\in {\mathbb{R}}^2|\text{p(a,b)(x) 有三个不同的实根}\}.\end{array}$$证明, ${\mathcal{U}}_1\cup {\mathcal{U}}_3$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 上稠密的集合.

凸函数 (共 10 分)

假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是非空的凸集, $f:\Omega \to \mathbb{R}$ 是凸函数.

D1)	(3 分) 在这个问题中, 我们加一些假设: ∘ $\Omega$ 是紧集并且它的内部 $\mathring{\Omega }$ 非空; 1 ∘ $f$ 在 $\Omega$ 上是连续函数, 在开集 $\mathring{\Omega }$ 上是 $C^1$ 的. 如果存在 $\omega \in \mathring{\Omega }$, 使得$$f(\omega )=\underset{x\in \Omega }{\sup }f(x).$$那么, $f$ 是常值函数. (提示: 用凸函数的几何解释)
D2)	(3 分) 假设 $\Omega =\{(x,y)\mid x^2+y^2⩽1\}$, 令$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}n,& \text{如果}(x,y)=\left(\cos \left(\frac{1}{n}\right),\sin \left(\frac{1}{n}\right)\right),n\in {\mathbb{Z}}_{n⩾1};\\ 0,& \text{其余情况}\end{array}$$证明, 这是一个凸函数并且它在 $\Omega$ 上的上确界是 $+\infty$.
D3)	(4 分) 我们只假设 $\Omega$ 是非空凸集, $f$ 是凸函数. 如果假设存在 $\omega \in \mathring{\Omega }$, 使得$$f(\omega )=\underset{x\in \Omega }{\sup }f(x).$$证明, 对任意的 $x\in \Omega$, 我们都有 $f(\omega )=f(x)$. (提示: 先证明存在 $x^{\prime }\in \Omega$, 使得 $\omega$ 落在 $x$ 与 $x^{\prime }$ 的所联线段的内部)

求函数极值 (共 10 分)

我们在 ${\mathbb{R}}_{⩾0}\times {\mathbb{R}}_{⩾0}\times {\mathbb{R}}_{⩾0}$ 上定义函数$$f(x,y,z)=\{\begin{array}{ll}\frac{xyz}{(x+y+z{)}^2},& (x,y,z)\ne (0,0,0);\\ 0,& (x,y,z)=(0,0,0).\end{array}$$

E1)	(4 分) 证明, $f$ 是 ${\mathbb{R}}_{⩾0}\times {\mathbb{R}}_{⩾0}\times {\mathbb{R}}_{⩾0}$ 上的连续函数, 它在开集 ${\mathbb{R}}_{>0}\times {\mathbb{R}}_{>0}\times {\mathbb{R}}_{>0}$ 上是连续可微的.
E2)	(6 分) 假设 $a>0$. 证明, $f$ 在集合$$K=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}_{⩾0}\times {\mathbb{R}}_{⩾0}\times {\mathbb{R}}_{⩾0}|x^2+y^2+z^2=a^2\}$$上能取到最大值并计算这个值.

子流形的判定: Hopf 纤维化 (共 10 分)

我们用 ${\mathbf{S}}^3$ 和 ${\mathbf{S}}^2$ 表示 ${\mathbb{R}}^4$ 和 ${\mathbb{R}}^3$ 中的单位球面$${\mathbf{S}}^3=\{(x,y,z,w)\mid x^2+y^2+z^2+w^2=1\},{\mathbf{S}}^2=\{(a,b,c)\mid a^2+b^2+c^2=1\}.$$

F1)	(2 分) 证明, ${\mathbf{S}}^3$ 和 ${\mathbf{S}}^2$ 分别为 ${\mathbb{R}}^4$ 和 ${\mathbb{R}}^3$ 中光滑子流形.
F2)	(4 分) 证明, 映射$$H:{\mathbb{R}}^4\to {\mathbb{R}}^3,(x,y,z,w)\mapsto (x^2+y^2-z^2-w^2,2(xw+yz),2(yw-xz))$$将 ${\mathbf{S}}^3$ 映射到 ${\mathbf{S}}^2$ 并且对任意的 $p\in {\mathbf{S}}^2$, 它的逆像 $H^{-1}(p)$ 是 ${\mathbf{S}}^3$ 中的子流形.
F3)	(4 分) 证明, 对任意的 $p\in {\mathbf{S}}^2$, $H^{-1}(p)$ 与单位圆周微分同胚.

一个非 Borel 集的构造 (共 10 分)

G1)	(2 分) 在 $[0,1]$ 上定义如下的等价关系: $x\sim y$ 当且仅当 $x-y\in \mathbb{Q}$. 试验证这是一个等价关系. 这样, $[0,1]$ 被分成了若干个 (两两不交) 的等价类, 我们在每个等价类中任意选定一个元素, 这些元素组成了 $[0,1]$ 的子集 $A$. 对于任意的 $q\in [-1,1]\cap \mathbb{Q}$, 我们定义$$A_q=A+q=\{q+a\mid a\in A\}.$$证明, 若 $q_1\ne q_2$, 那么 $A_{q_1}\ne A_{q_2}$, 并且$$[0,1]\subset \bigcup _{q\in [-1,1]\cap \mathbb{Q}}{A}_q\subset [-1,2].$$
G2)	(4 分) 证明, $A\notin \mathcal{B}({\mathbb{R}}^1)$. (提示: 利用 Lebesgue 测度)
G3)	(4 分) 我们用 $\mathcal{P}({\mathbb{R}}^1)$ (所有子集的集合) 作为 ${\mathbb{R}}^1$ 上的 $\sigma$-代数, 假设 $\mu$ 是 $\mathcal{P}({\mathbb{R}}^1)$ 上的一个平移不变的测度. 证明, 要么 $\mu \equiv 0$, 要么对任意的非空开区间 $I$, $\mu (I)=+\infty$.

积分的计算 (共 15 分)

对于 $a>0$ 和 $x⩾0$, 我们定义$$H_a(x)={\int }_0^{\infty }{e}^{-(a{t}^2+\frac{x}{t^2})}dt.$$

H1)	(3 分) 证明, 上述积分是良好定义的并计算 $H_a(0)$.
H2)	(3 分) 证明, 函数$$H_a:[0,\infty )\to \mathbb{R},x\mapsto H_a(x),$$是连续函数.
H2)	(3 分) 证明, 函数$$H_a:(0,\infty )\to \mathbb{R},x\mapsto H_a(x),$$是可微的.
H3)	(3 分) 计算 $H_a^{\prime }(x)$.
H4)	(3 分) 证明, $$H_a(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{-2\sqrt{ax}}.$$

积分的控制 (共 20 分)

给定 ${\mathbb{R}}^n$ 上一个非空开集 $\Omega$ (Borel 集即可) 和 $\Omega$ 上的复可积函数 $f$.

I1)	(3 分) 证明, $$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_{\Omega }|f(x)|1_{[R,+\infty )}(|x|)d{x}_1\cdots d{x}_n=0.$$
I2)	(3 分) 证明, $$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_{\Omega }|f(x)|1_{[R,+\infty )}(|f(x)|)d{x}_1\cdots d{x}_n=0.$$
I3)	(4 分) 证明, 对任意的 $\epsilon >0$, 存在 $\delta >0$, 使得对任意的 $A\in \mathcal{B}(\Omega )$, 只要 $m(A)<\delta$, 我们就有$${\int }_{\Omega }|f(x)|1_A(x)d{x}_1\cdots d{x}_n<\epsilon .$$

在剩下的问题中, 我们假设 $\Omega$ 的测度是有限的, 即 $m(\Omega )<\infty$, $\{f_k(x){\}}_{k⩾1}$ 是 $\Omega$ 上的一列复可积函数.

I4)	(3 分) 假设$$\underset{R\to \infty }{\lim }\left(\underset{k⩾1}{\sup }\left({\int }_{\Omega }|f_k(x)|1_{[R,+\infty )}(|f_k(x)|)d{x}_1\cdots d{x}_n\right)\right)=0.$$证明, 对任意的 $\epsilon >0$, 存在 $\delta >0$, 使得对任意的 $A\in \mathcal{B}(\Omega )$, 只要 $m(A)<\delta$, 我们就有$$\underset{k⩾1}{\sup }\left({\int }_{\Omega }|f_k(x)|1_A(x)d{x}_1\cdots d{x}_n\right)<\epsilon .$$
I5)	(3 分) 对任意的 $\epsilon >0$, 存在 $\delta >0$, 使得对任意的 $A\in \mathcal{B}(\Omega )$, 只要 $m(A)<\delta$, 我们就有$$\underset{k⩾1}{\sup }\left({\int }_{\Omega }|f_k(x)|1_A(x)d{x}_1\cdots d{x}_n\right)<\epsilon .$$证明, $$\underset{R\to \infty }{\lim }\left(\underset{k⩾1}{\sup }\left({\int }_{\Omega }|f_k(x)|1_{[R,+\infty )}(|f_k(x)|)d{x}_1\cdots d{x}_n\right)\right)=0.$$
I6)	(4 分) 假设 $\{f_k{\}}_{k⩾1}$ 在 $\Omega$ 上逐点地收敛到 $f$ 并且满足 H4) 或者 H5) 中的假设, 证明: $$\underset{k\to \infty }{\lim }{\int }_{\Omega }|f_k(x)-f(x)|d{x}_1\cdots d{x}_n=0.$$