5. 收敛判别法

一些补充

先对前面的课程做适当的补充:

1)

收敛级数的逐项加减法与逐项数乘法: 假设实数项 (对于复数和 取值的级数也成立) 的 收敛, , 那么 都收敛这两个事实的证明是极限四则运算法则的直接应用 (用部分和来表示级数) .

2)

(向量值序列的极限问题) 对于 , 我们采取如下定义的距离函数对于复数域 , 我们通过 这种表示, 可以认为 . 对于 , 我们自然有 , 其中 是取复数的模长.

假设 中的点列, 其中, . 那么, 中收敛当且仅当它的每个分量都是收敛的实数数列, 即对任意的 , 中收敛.

我们把这个性质留在第二次作业题中来证明, 请注意这是非常重要的习题, 我们会在今后经常考虑在线性空间中收敛的问题.

3)

不同的距离函数的问题. 我们之前的课上提到过一个距离空间上可以有几个不同的距离函数, 比如在 上, 还可以定义 . 对于这个问题的理解可以进一步加深对收敛的理解.

假设 均为集合 上距离函数, 如果存在常数 , 使得对任意的 , 都有那么就称这两个距离函数 等价的. 上面的叙述也等价于存在常数 , 使得对任意的 , 都有比如说, 我们在 上面可以定义三种距离函数: 这三个距离自然是等价的: 我们还有一个重要的的例子: 我们可以把 的矩阵的全体 视作是 (加法就是逐个分量相加) , 那么 也有三个距离函数: 对任意的 的矩阵 , 其中 , 我们有

回到抽象的场合: 如果 上两个等价的距离函数, 那么它们所定义的收敛的概念是一致的, 即对于任意的点列 , 当 , 在 这个距离下 等价于在 这个距离下 . 证明是平凡的: 假设 , 那么对任意的 , 存在 , 使得当 时, 我们有 , 所以根据距离的等价性, 我们有 , 这表明 .

特别地, 数学分析通常在 中研究各种收敛的问题, 除非我们对距离有特定的要求, 我们假定度量可以是上面的任意一种.

4)

对于复数和 的矩阵, 我们也可以谈论乘法. 此时, 乘法和除法也和极限交换. 我们只给出矩阵的版本, 复数的版本的叙述和证明都是一样的. 假设 均为 的矩阵的序列并且收敛, 那么

序列 收敛并且 .

如果 是可逆矩阵, 那么序列 收敛 ( 可逆表明存在 , 使得当 时, 均可逆) 并且 .

我们将在第二次作业中证明复数的情形.

上次课的最后我们证明了单调上升并且有界的实数序列有极限, 这个极限恰好是它的上确界. 当然, 如果 单调上升的但是无界, 我们有 . 利用这个结果, 我们可以证明

定理 5.1 (Bolzano–Weierstrass 的列紧性定理). 任意有界的实数序列 必有收敛的子列.

我们只要证明如下引理即可:

引理 5.2. 对任意实数数列 , 我们总能找到一个单调的 (上升或下降) 子序列.

证明. 考虑下面的集合 : 分两种情况讨论:

如果 是无限集, 那么将 中元素按照下标从小到大排列, 就得到了一个递减的子序列.

如果 是有限集, 可以假设 , 我们令 , 然后归纳地定义 : 我们假设 其中 . 根据 的定义以及由于 , 我们知道存在 , 其中 并且 , 那么我们令 . 那么, 是单调上升的序列.

综合两种情况, 我们总有单调的子序列.

Cauchy 判别准则

在证明 Cauchy 判别准则之前, 我们先回忆一下 Cauchy 列的定义: 一个距离空间 中的点列被称作是 Cauchy 列, 指的是对任意的 , 存在 , 使得对任意的 , 都有 .

定理 (Cauchy 判别准则). 是实数的数列. 那么, 收敛当且仅当 是 Cauchy 列.

证明. 如果 收敛, 我们假设 . 此时, 根据极限的定义, 对于 而言, 存在 , 使得对于任意的 , 我们都有 , . 所以, 利用三角不等式, 我们就有这表明收敛的序列 (在任意的距离空间中) 一定是 Cauchy 列.

为了说明 Cauchy 列必然收敛, 我们先证明两个有用的引理:

引理 5.3. Cauchy 列必有界.

证明. 假设 是 Cauchy 列, 我们先说明它是有界的. 令 , 那么存在 , 使得对任意的 , 我们都有 . 特别地, 我们令 , 这表明对所有的 , 都有 , 所以 是有界的. 再加上前面的 , 这还是一个有界集合.

引理 5.4. 如果一个 Cauchy 列的子列收敛, 那么这个 Cauchy 列也收敛.

证明. 假设 是 Cauchy 列, 是其子列并且 , 我们要证明在 中, . 任意选取 . 首先, 根据 , 我们可以找到 , 使得对任意的 , 我们都有 ; 另外, 根据 Cauchy 列的定义, 我们有 , 使得对任意的 , 我们都有 . 令 , 所以当 时, 任取 使得 , 我们有

根据上面第二个引理, 我们只要构造一个收敛的子列即可. 根据第一个引理, 我们能找到一个有界的子列, 再利用 Bolzano–Weierstrass 的列紧性, 这个有界子列有一个收敛的子列. 证毕.

注记.

1)

相比于极限定义本身, 利用 Cauchy 判别准则证明极限存在的优势在于不需要先验地知道极限的值.

比如说, 我们有我们可以证明上面的级数是收敛的 (而不需要知道最终是 ) : 考虑部分和 , 不妨假设 , 那么我们有如果 是偶数, 那么, 我们知道从第二项开始每两个数一组, 最后如果剩下一个数可以单独一组, 我们发现这些组都是负数, 从而 . 类似地, 我们有即从第三项开始每两个数一组, 最后如果剩下一个数可以单独一组, 我们发现这些组都是正数, 从而 . 对 是奇数的情况类似讨论, 我们可以得到所以, 对任意的 , 任取 , 从而当 时, 我们有 , 这就得到一个 Cauchy 列. 利用同样的想法, 我们可以证明下面的命题 (需要记住结论) :

练习. 假设 是递减的正实数的数列并且 , 那么, 级数是收敛的.

我们把这个练习留做本次的作业. 有一个和这个习题相关联的有趣的姊妹问题, 证明和结论都值得大家研究:

命题 5.5. 是递减的正实数的数列并且 . 假设级数 发散. 那么, 对任意 , 我们可以选取一组正负号 , 使得级数 收敛并且

证明. 因为 , 所以对任意的 , 任意的 , 从存在唯一一个 , 使得我们不妨假设 , 根据上面的观察, 我们能找到 , 使得特别地, 我们知道对于前面的 项的和, 我们有由于前 项的和已经超过了 , 我们现在在后面的项前面加上负号. 令 为多出来的部分, 那么 . 根据上面的观察, 一定存在 , 使得我们现在要求级数的前 项为很明显, 对于 , 我们有, 这是一直到 为止, 所求和比 少的部分, 按照定义, 我们有 . 然后, 我们再选取 , 使得我们现在要求级数的前 项为按照这种方式, 最新得到的部分和与 的差距都不超过 . 如此重复归纳地选取正负号即可.

2)

Cauchy 判别准则是对实数的序列来陈述的. 如果在一般的距离空间 上, Cauchy 列未必收敛 (试举出一个反例) , 即收敛性和序列所生活的空间的性质是密切相关的.

3)

Cauchy 判别准则对复数和 也成立.

推论 5.6 (级数收敛的 Cauchy 判别准则). 实数项的级数 收敛的充分必要条件是对任意 , 存在 , 对任意自然数 和任意自然数 , 我们都有

证明. 对任意的 , 令 为部分和. 级数收敛等价于说 收敛. 根据 Cauchy 判别准则, 对任意的 , 存在 , 对任意自然数 , 我们都有 . 我们不妨假设 , 令 即得到了推论所要求的形式.

注记. (复数或 中也成立) . 另外, 假设 收敛, 取 , 上述判别法说明 . 反之则未必成立, 比如考虑调和级数.

对于一般的实数数列, 尽管极限不一定存在, 但是我们总能定义它的上极限下极限: 任意给定实数数列 , 对任意 , 我们令很明显, 是单调下降的序列, 是单调上升的序列, 所以 都有极限 (极限可以是无穷) . 据此, 我们定义数列 的上极限和下极限为根据定义以及极限保持不等号的性质, 我们有 . 我们如下命题:

命题 5.7. 是实数数列. 那么, 收敛的充分必要条件是 .

我们会在作业中证明这个命题.

两个重要极限

在进一步讨论如何判断极限是否存在之前, 我们再研究两个极为重要的极限:

例子. . (开 次方目前并未定义, 我们先假设自己懂 (按照中学的理解) )

证明. 首先, 我们显然有 . 其次, 根据算术-几何平均值不等式 1(我们课程后面会严格证明这个不等式) 可以得到从而, . 只需要选择比较大的 , 就可以使得对 的自然数 , 有 .

例子 (Euler 常数 的构造). 极限 是存在的, 我们把它记做是 . 还有如下的级数表达式:

为了说明 的存在性, 我们只需要说明 是单调上升的有界序列. 为了说明有界性, 我们注意到 (利用数学归纳法) 对任意的 , 根据二项式展开, 我们有根据 () , 我们就有其中, 我们用到了如下的事实: 下面证明 : 为了证明 的级数表达式, 我们先说明级数 是收敛的 (这个证明很具有一般性) : 注意到级数 是收敛的, 所以, 根据 Cauchy 判别准则, 对于任意的 , 存在 , 使得当 并且 时, 前 项的部分和与前 项的部分和的差满足由归纳法可以得到, . 我们取一个大于 , 并利用 控制 , 从而对于级数 而言, 对于上述任意选定的 和对应的 , 前 项的部分和与前 项的部分和的差有如下的控制这就证明了级数的收敛性 (Cauchy 判别准则) .

最终来证明这个级数的值就是 .

一方面, 对于任意的 , 我们有. 通过对 取极限, 我们得到 .

另一方面, 我们要利用 是单调上升的这个性质. 先任意选取 , 使得 (这两个数是待定的) , 我们有上面的不等式对任意的 都成立. 我们先固定住 , 令 , 就得到 . 再令 , 我们就有 .

综上所述,

注记.

1)

利用 的级数表达式很容易相对精确的计算 的大小. 是一个 5 位数, 是一个 6 位数, 所以只要算 项 (前两项整数部分不算) 就已经可以精确到小数点后 位了: !

2)

是一个无理数. 如若不然, 我们假设 , 其中 都是正整数, 那么 应该是正整数, 然而这表明 , 矛盾.

3)

是怎么来的: 历史上, 和自然对数 (我们尚未定义) 是在 16 世纪计算银行存款的利息时自然出现的, 有兴趣的同学可以去参考 wiki 上的叙述. 我们给出一个简化版本的例子 (有趣) : 大汉银行每年的利息是 , 数学系的司马迁同学有存款 元, 打算一年之后买一辆 元的须臾牌自行车. 他算了一下, 存钱一年之后总资产为 元. 几天后, 大汉银行规定改了, 可以每半年结算一下并且半年的利息就是 , 司马迁发现上半年刚到的时候就提钱出来, 然后再存进去, 这样子前半年的利息也有利息, 所以他就可以多赚一点, 这样一来, 半年之后, 他就有 元钱, 一年之后, 再乘以 的利息, 他一共有 元, 总收益又多了 元. 后来, 大汉银行容许每个月都结算, 并且每个月的利率是 , 司马迁同学本着尽量赚利息的利息的原则算了一下, 每个月都去提出钱来然后再次存进去, 他一年之后的资产变成了 元, 这只差 块钱就可以买车了. 他高兴地发现只要不厌其烦地多存一次, 最终得到的钱就会变多 () . 大汉银行最终容许每天都可以存钱取钱一次, 司马迁同学每天坚持去银行, 一年之后还是没有买得起自行车.

收敛判别法

我们现在列举出极限收敛的几种常见的判别方式. 尽管它们的形式并不统一, 但是背后的想法却是一致的: 我们需要找一个所谓的控制序列!

命题 5.8. 我们有如下的判断收敛的方法:

1)

(双边控制) 假设有三个实数序列 , , 对任意的 , 都有 (即 在左右两边分别被 控制) . 如果 都收敛并且 , 那么 收敛并且

2)

(上界控制) 假设有非负实数序列 , 对任意的 , 都有 (即 控制) . 如果 , 那么 也收敛并且 .

证明. 第二个命题是第一个的推论. 现在证明第一个命题. 注意到所以这说明 收敛. 特别地, 上面不等式也给出了 .

数学中很多的极限都以级数的形式出现, 我们给出上述命题的级数版本:

命题 5.9 (控制收敛定理与绝对收敛的概念). (重要! )

1)

是正项级数 (即 , 其中 ) , 那么 收敛当且仅当存在常数 , 使得每个部分和 .

2)

(正项级数的控制收敛定理) 是正项级数. 假设对任意 , 都有 (即 控制了 ) . 如果 收敛, 那么 也收敛 (等价的表述是若 发散, 那么 也发散) .

3)

(绝对收敛的概念) 考虑实数项的级数 . 如果 收敛, 那么 也收敛. 此时, 我们称这个级数是绝对收敛的 (即加了绝对值之后收敛) .

证明. 第一个命题的证明是单调递增的有界数列的必有极限的应用; 第二个命题是第一个命题的直接推论. 为了证明第三个命题, 我们用级数收敛的 Cauchy 判别法: 由于 收敛, 所以对任意的 , 存在 , 使得对任意的 和任意的 , 我们有 . 根据三角不等式, 我们就有所以, 收敛.

注记. 上面的 结合在一起非常好用: 为了证明一个级数 收敛, 很多情况下只要说明它绝对收敛就可以了, 此时, 再找一个收敛的正项级数 控制 即可.

用较大的收敛级数来控制较小的级数从而证明较小的级数是收敛的, 这是分析中最基本一个技术和想法.

然而, 这个想法貌似存在着不合理的地方: 直观上, 证明更大的级数收敛是比证明原来的小一点的级数收敛更难的事情. 真正的解释是理解这个想法的核心 (这在定理叙述中无法看出来) : 通过适当选取较大的级数应容易计算.

例子. 我们给出上述命题的几个简单应用:

1)

交错项的调和级数 是收敛的但是不绝对收敛.

2)

级数 是收敛的: 我们可以用 作为控制级数, 此时, 通过将后一个级数中的单项写成 的形式很容易算出部分和 (望远镜求和法) .

3)

级数 收敛: 我们可以用 作为控制级数, 因为等比数列更容易求和.

练习. 绝对收敛的概念对于复数项的级数或者在线性空间中 (包括矩阵) 取值的级数也成立, 我们这里只考虑复数的情形, 其余的我们会有更为一般的讨论:

考虑复数项的级数 . 如果 收敛, 证明, 也收敛, 其中 是取复数的模长.

1.

^ 给定 个正实数 , 它们的算术平均值 和几何平均值 分别定义为那么, 并且如果等号成立当且仅当 .