数学分析一简介

简介

数学分析一这门课程的内容包含五个部分:

0)	实数理论 1: ∘ 实数的公理化表述; ∘ Dedekind 构造; ∘ 空间的概念: 线性空间与度量／距离空间.
1)	数列与级数的收敛性: ∘ 实数序列的收敛理论: $\epsilon$-$N$ 语言与收敛的基本判定; ∘ 收敛的例子: 级数收敛与具体实数的构造; ∘ 度量空间中点列的收敛与完备性;
2)	函数与映射的连续性: ∘ 一元函数的连续性: $\epsilon$-$\delta$ 语言与连续性的判定; ∘ 连续函数的基本性质; ∘ 连续函数空间与连续函数的构造; ∘ 度量空间上的连续函数与映射. ∘ 紧性.
3)	导数与微分: ∘ 一元函数的导数与可微函数的基本性质; ∘ 多元函数的偏导数; ∘ 微分的定义; ∘ Taylor 展开与其它应用.
4)	积分理论 2: ∘ Riemann 积分: 几种等价定义与反常积分; ∘ Newton-Leibniz 公式与积分的计算; ∘ 积分的性质: 中值公式与 Lebesgue 定理等; ∘ Stieltjes 积分.

除了理论部分, 课程的真正核心是围绕着所谓的 Euler 公式展开的: $$e^{i\pi }=-1.$$我们课程一个主要的目标是正确的定义 $e$, $\pi$ 以及指数函数 $e^z$ 并严格的证明上面的公式. (如果你可以完整地说清楚这些对象是什么并且给出 Euler 公式的严格证明的话, 数学分析一就算完全学明白了)

脚注

1.	^ 实数理论从知识体系完备性的角度而言是非常重要的, 然而对于理解数学分析的基本思想并不是不可或缺的.
2.	^ 积分和微分的理论体系是完全独立的, 连结它们的纽带是 Newton-Leibniz 公式. Riemann 积分的定义比微分的定义更为自然, 从现代分析学的观点来看, 先教授积分学是更自然的做法.