73. 有界区域上的 Sobolev 空间, 位势方程的初步研究

区域上的 Sobolev 空间

定义 73.1 (整数指标的 Sobolev 空间). 给定开区域 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$, 给定非负整数 $k⩾0$, 我们定义 Sobolev 空间 $H^k(\Omega )$: $$H^k(\Omega )=\{u\in L^2(\Omega )|\text{对任意的多重指标 α， 其中 ∣α∣⩽k，我们有 }{\partial }^{\alpha }u\in L^2(\Omega )\}.$$我们在 $H^k(\Omega )$ 定义如下的范数: $$\Vert u{\Vert }_{H^k}=(\sum _{|\alpha |⩽k}\Vert {\partial }^{\alpha }u{\Vert }_{L^2}^2{)}^{\frac{1}{2}}.$$这个范数与如下的内积是相容的: $$\begin{array}{rl}(u,v{)}_{H^k}& =\sum _{|\alpha |⩽k}{\left({\partial }^{\alpha }u,{\partial }^{\alpha }v\right)}_{L^2}\\ & =\sum _{|\alpha |⩽k}{\int }_{\Omega }{\partial }^{\alpha }u(x)\cdot \overline{{\partial }^{\alpha }v(x)}dx.\end{array}$$

定理 73.2. 内积空间 $\left(H^k(\Omega ),(\cdot ,\cdot {)}_{H^k}\right)$ 是完备的.

证明. 假设 $\{u_p{\}}_{p⩾1}\subset H^k(\Omega )$ 是 Cauchy 列. 根据定义, 对任意的 $\epsilon >0$, 存在 $N$, 使得当 $p,q>N$ 时, $$\Vert u_p-u_q{\Vert }_{H^k}^2=\sum _{|\alpha |⩽k}\Vert {\partial }^{\alpha }{u}_p-{\partial }^{\alpha }{u}_q{\Vert }_{L^2}^2<\epsilon .$$所以, 对于每个多重指标 $|\alpha |⩽k$, 函数列 $\{{\partial }^{\alpha }{u}_p{\}}_{p⩾1}\subset L^2(\Omega )$ 也是 Cauchy 列. 根据 $L^2$ 的完备性, 存在 $u^{(\alpha )}\in L^2(\Omega )$, 使得$${\partial }^{\alpha }{u}_p\stackrel{L^2}{⟶}{u}^{(\alpha )}.$$我们把 $u^{(0)}$ 记作 $u$, 那么, $$u_p\stackrel{L^2}{⟶}u\Rightarrow u_p\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{⟶}u.$$所以, 对任意的多重指标 $\alpha$, 其中 $|\alpha |⩽k$, 我们有$${\partial }^{\alpha }{u}_p\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{⟶}{\partial }^{\alpha }u.$$另外, $${\partial }^{\alpha }{u}_p\stackrel{L^2}{⟶}{u}^{(\alpha )}\Rightarrow {\partial }^{\alpha }{u}_p\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{⟶}{u}^{(\alpha )}.$$所以, 作为分布, 我们有$${\partial }^{\alpha }u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{u}^{(\alpha )}.$$根据局部可积函数到分布嵌入的唯一性, 我们知道 ${\partial }^{\alpha }u$ 是平方可积的函数, 从而 $u\in H^k(\Omega )$. 特别地, 我们还有$${\partial }^{\alpha }{u}_p\stackrel{L^2}{⟶}{\partial }^{\alpha }u.$$这就完成了证明.

$\square$

给定开区域 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$, $k⩾0$, 我们明显有 $C_0^{\infty }(\Omega )\subset H^k(\Omega )$. 我们考虑它们在 $H^k(\Omega )$ 中的闭包:

定义 73.3. 我们把 $H_0^k(\Omega )$ 定义为 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 在 $H^k(\Omega )$ 中 (用 $\Vert \cdot {\Vert }_{H^k}$ 范数) 的闭包, 即 $u\in H_0^k(\Omega )$ 当且仅当存在序列 $\{{\phi }_p{\}}_{p⩾1}\subset C_0^{\infty }(\Omega )$, 使得$$\underset{p\to \infty }{\lim }\Vert {\phi }_p-u{\Vert }_{H^k}=0.$$

注记. 按照定义, $C_0^{\infty }(\Omega )$ 在 $H_0^k(\Omega )$ 中是稠密的, 其中我们用的度量是由 $H^k$-范数诱导的.

在数学物理方程中, $H_0^1(\Omega )$ 这个空间的应用最为广泛. 由于 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 中的函数在 $\partial \Omega$ 上都消失, 所以, 直观上我们可以将 $H_0^1(\Omega )$ 解读成 $H^1(\Omega )$ 中在边界 $\partial \Omega$ 上限制为零的那些函数. 实际上, 我们后面会证明存在正合序列: $$0\to H_0^1(\Omega )\to H^1(\Omega )\to H^{\frac{1}{2}}(\partial \Omega )\to 0.$$

注记. 假定 ${\Omega }_1\subset {\Omega }_2$ 是两个开区域, 那么, Sobolev 空间具有如下的函子性质:

1)	限制映射$$\mathrm{Res}:H^k({\Omega }_2)\to H^k({\Omega }_1),u\mapsto u{|}_{{\Omega }_1},$$是连续线性映射. 实际上, 对任意的 $u\in H^k({\Omega }_2)$, 对任意的 $\alpha$, 其中 $|\alpha |⩽k$, 那么$${\Vert {\partial }^{\alpha }\left(u{|}_{{\Omega }_1}\right)\Vert }_{L^2({\Omega }_1)}⩽\Vert {\partial }^{\alpha }u{\Vert }_{L^2({\Omega }_2)}.$$
2)	用零做延拓, 我们明显有$$\mathrm{Ext}:C_0^{\infty }({\Omega }_1)\to C_0^{\infty }({\Omega }_2),\phi \mapsto \phi \cdot 1_{{\Omega }_1}.$$所以, 利用稠密性, 我们得到连续的嵌入映射: $$\mathrm{Ext}:H_0^k({\Omega }_1)\to H_0^k({\Omega }_2).$$

我们来研究两个特殊 (具有启发性) 的例子:

例子.

1)	(全空间的情况) 我们已经证明过 $C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)\subset H^k({\mathbb{R}}^n)$ 是稠密的, 其中, $k\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}$, 所以, $$H^k({\mathbb{R}}^n)=H_0^k({\mathbb{R}}^n).$$
2)	($1$ 维有限区间的情形的 Sobolev 不等式) 假定 $\Omega =I=(-a,a)\subset \mathbb{R}$, 其中 $a$ 是正实数. 与全空间情况类似, (因为 $1=s>\frac{n}{2}=\frac{1}{2}$) 我们有所谓的 Sobolev 不等式 (嵌入定理) : 对任意的 $f\in H^1(I)$, 我们有$$|f(x)|⩽\frac{1}{\sqrt{2a}}\Vert f{\Vert }_{L^2(I)}+\sqrt{2a}\Vert f^{\prime }{\Vert }_{L^2(I)}.$$如果用 $|I|$ 表示区间的长度, 一个更几何的表达为$$|f(x)|⩽\frac{1}{\sqrt{|I|}}\Vert f{\Vert }_{L^2(I)}+\sqrt{|I|}\Vert f^{\prime }{\Vert }_{L^2(I)}.$$实际上, 给定 $b\in I$, 我们有$$f(x)=f(b)+{\int }_b^x{f}^{\prime }(y)dy.$$其中, $b$ 待定. 我们注意到这个表达式表明 $f$ 为连续函数, 因为 $f^{\prime }$ 是局部可积的. 根据抽屉原理, 我们总是可以选取 $b\in (-a,a)$, 使得$$\sqrt{2a}|f(b)|⩽\Vert f{\Vert }_{L^2(I)},$$利用 Cauchy–Schwarz 不等式, 我们有$$\begin{array}{rl}|f(x)|& ⩽\frac{1}{\sqrt{2a}}\Vert f{\Vert }_{L^2(I)}+\left|{\int }_b^{x}1\cdot f^{\prime }(y)dy\right|\\ & ⩽\frac{1}{\sqrt{2a}}\Vert f{\Vert }_{L^2(I)}+\sqrt{2a}\Vert f^{\prime }{\Vert }_{L^2(I)}.\end{array}$$这就给出了证明.
3)	($1$ 维有限区间的情形的 $H_0^1$ 的刻画) 对任意的 $f\in H^1(I)$, 任意选定 $b\in I$, 那么, 公式$$f(x)=f(b)+{\int }_b^x{f}^{\prime }(y)dy$$表明极限$$f\left(a^{-}\right)=\underset{x\to a}{\lim }f(x),f\left((-a{)}^{+}\right)=\underset{x\to -a}{\lim }f(x)$$存在, 事实上, $f^{\prime }$ 是平方可积的, 所以是可积的, 从而上面的极限存在. 对于 $H_0^1(I)$, 我们有如下的刻画: $$H_0^1\left(I\right)=\{f\in H^1(I\left)\right|f\left(a^{-}\right)=f\left((-a{)}^{+}\right)=0\}.$$ 首先说明: $$H_0^1\left(I\right)\subset \{f\in H^1(I\left)\right|f\left(a^{-}\right)=f\left((-a{)}^{+}\right)=0\}.$$对任意的 $f\in H_0^1(I)$, 利用定义, 存在 ${\phi }_k\in C_0^{\infty }(I)$, 使得在 $H^1$ 的意义下, ${\phi }_k\stackrel{H^1}{⟶}f$. 由 Sobolev 嵌入, 我们有$$|{\phi }_k(x)-f(x)|⩽C\Vert {\phi }_k(x)-f(x){\Vert }_{H^1}\to 0.$$由于 $\phi (a)=0$, 且上面的估计对 $x$ 是一致的, 所以当 $x\to a^{-}$ 时, 我们就有 $f\left(a^{-}\right)=0$. 反之, 对任意的 $f\in H^1\left(I\right)$, 假设 $f\left(a^{-}\right)=f\left((-a{)}^{+}\right)=0$, 我们定义全空间 $\mathbb{R}$ 上的函数 $g$ (我们要在全空间上用卷积运算来构造光滑的逼近) : $$g(x)=\{\begin{array}{l}f(x),|x|<a;\\ 0,|x|⩾a.\end{array}$$这显然是一个连续函数. 根据分布版本的 Stokes 公式, 它在分布意义下的导数为$$g^{\prime }(x)\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{1}_{[-a,a]}(x)\cdot f^{\prime }(x).$$所以, $g\in H^1(\mathbb{R})$. 我们现在将 $g$ 的支集变小: 选取 $\lambda <1$, 我们考虑$$g_{\lambda }(x)=g\left(\frac{x}{\lambda }\right).$$很明显, 这是一个 $H^1(\mathbb{R})$ 中的函数并且 $\mathrm{supp}(g_{\lambda })\subset (-a,a)$. 特别地 (容易验证) , 我们有$$g_{\lambda }\stackrel{H^1}{⟶}g.$$对每个固定的 $\lambda$, 我们可以进行光滑化: $${\chi }_{\epsilon }\ast g_{\lambda }\stackrel{H^1}{⟶}{g}_{\lambda }.$$上面的极限是在 $\epsilon \to 0$ 时取的: 由于 $g_{\lambda },g_{\lambda }^{\prime }\in L^2$, 所以, $$\begin{array}{rl}& {\chi }_{\epsilon }\ast g_{\lambda }\stackrel{L^2}{⟶}{g}_{\lambda },\\ & {\left({\chi }_{\epsilon }\ast g_{\lambda }\right)}^{\prime }={\chi }_{\epsilon }\ast \left(g_{\lambda }^{\prime }\right)\stackrel{L^2}{⟶}{g}_{\lambda }^{\prime }.\end{array}$$这里, 我们可以选取 $\epsilon <a(1-\lambda )$, 所以, $\mathrm{supp}\left({\chi }_{\epsilon }\ast g_{\lambda }\right)\subset (-a,a)$. 所以, 通过适当地选取 $\epsilon$ 和 $\lambda$, 我们就有$${\chi }_{\epsilon }\ast g_{\lambda }\stackrel{H^1}{⟶}f.$$这就证明了命题.

利用对偶性, 我们定义负指数的 Sobolev 空间:

定义 73.4. 对于整数 $k⩾0$, 我们定义$$H^{-k}(\Omega )=\{u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )|\text{存在常数 C>0， 使得对任意的 φ∈D(Ω)，都有}|⟨u,\phi ⟩|⩽C\Vert \phi {\Vert }_{H^k}\}.$$对于 $u\in H^{-k}(\Omega )$, 我们假设 $\mathcal{C}$ 是使得上面的不等式成立的所有的常数 $C$ 的集合, 我们定义范数$$\Vert u{\Vert }_{H^{-k}(\Omega )}=\inf (\mathcal{C}).$$

由于 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 在 $H_0^k(\Omega )$ 中稠密, 线性映射 $\phi \mapsto ⟨u,\phi ⟩$ 可以唯一地扩张成连续线性映射$$u:H_0^k(\Omega )⟶\mathbb{C}.$$反之, 对任意给定的连续线性泛函$$T:H_0^k(\Omega )⟶\mathbb{C},$$我们要证明: 存在唯一的分布 $u\in H^{-k}(\Omega )$, 使得对每个 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$, 有$$⟨u,\phi ⟩=T(\phi ).$$实际上, 先证明 $T$ 可以被视作是一个分布: 对于支集在 $K\subset \Omega$ 中的试验函数 $\phi$, 我们有$$\begin{array}{rl}|T(\phi )|& ⩽C\Vert \phi {\Vert }_{H^k}⩽C\sum _{|\alpha |⩽k}\Vert {\partial }^{\alpha }\phi {\Vert }_{L^2(K)}\\ & ⩽C|K{|}^{\frac{1}{2}}\sum _{|\alpha |⩽k}\Vert {\partial }^{\alpha }\phi {\Vert }_{L^{\infty }(K)}\\ & ⩽C|K{|}^{\frac{1}{2}}\underset{|\alpha |⩽k}{\sup }\Vert {\partial }^{\alpha }\phi {\Vert }_{L^{\infty }(K)}.\end{array}$$按照定义, $T$ 是阶不超过 $k$ 的分布. 按照定义, 我们自然有 $T\in H^{-k}(\Omega )$.

综上所述, 我们实际上得到了$$H^{-k}(\Omega )={\left(H_0^k(\Omega )\right)}^{\ast }.$$

对于空间 $H_0^1(\Omega )$ 中的函数, 最重要的不等式是如下的 Poincaré 不等式:

定理 73.5 (Poincaré 不等式). 如果 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是有界区域, 那么, 存在仅依赖于 $\Omega$ 的常数 $C$, 使得对任意的 $u\in H_0^1(\Omega )$, 如下的不等式成立: $${\int }_{\Omega }|u{|}^{2}dx⩽C{\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^{2}dx.$$

证明. 我们选取 $R>0$, 使得$$\Omega \subset \{x=(x_1,\cdots ,x_n)||x_n|⩽R\}.$$我们首先证明对于 $\phi \in C_0^{\infty }(\Omega )$, Poincaré 不等式成立. 利用 Newton–Leibniz 公式, 我们有$$\begin{array}{rl}|\phi (x){|}^2& =|\phi (x^{\prime },x_n){|}^2={\left|{\int }_{-R}^{x_n}{\partial }_{x_n}\phi (x^{\prime },\tau )d\tau \right|}^2\\ & ⩽{\left|{\int }_{-R}^R|{\partial }_{x_n}\phi (x^{\prime },\tau )|\cdot 1d\tau \right|}^2\\ & \stackrel{\text{Cauchy–Schwarz}}{⩽}2R{\int }_{-R}^R|{\partial }_{x_n}\phi (x^{\prime },\tau ){|}^{2}d\tau .\end{array}$$其中, 我们用 $x^{\prime }$ 表示 $(x_1,\cdots ,x_{n-1})$. 上面的不等式的右边是不依赖于 $x_n$ 的. 对 $x_n$ 在 $[-R,R]$ 上积分, 我们得到$$\begin{array}{r}{\int }_{-R}^R|\phi (x^{\prime },x_n){|}^{2}d{x}_n⩽4R^2{\int }_{-R}^R|{\partial }_{x_n}\phi (x^{\prime },\tau ){|}^{2}d\tau .\end{array}$$再对 $x^{\prime }$ 积分, 我们就得到$$\begin{array}{r}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|\phi (x){|}^{2}dx⩽4R^2{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}{\int }_{-R}^R|{\partial }_{x_n}\phi (x^{\prime },\tau ){|}^{2}d\tau d{x}^{\prime }⩽4R^2{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|\nabla \phi (x){|}^{2}dx.\end{array}$$

为了说明不等式对任意的 $u\in H_0^1(\Omega )$ 成立, 我们选取一列 $\{{\phi }_p{\}}_{p⩾1}\subset C_0^{\infty }(\Omega )$, 使得 ${\phi }_p\stackrel{H_0^1(\Omega )}{⟶}u$, 翻译成数量的表达, 我们有$$\underset{p\to \infty }{\lim }\Vert {\phi }_p-u{\Vert }_{L^2}+\Vert \nabla {\phi }_p-\nabla u{\Vert }_{L^2}=0.$$所以, $$\Vert {\phi }_p{\Vert }_{L^2}⩽C\Vert \nabla {\phi }_p{\Vert }_{L^2}\Rightarrow \Vert u{\Vert }_{L^2}-\Vert u-{\phi }_p{\Vert }_{L^2}⩽C(\Vert \nabla u{\Vert }_{L^2}+\Vert \nabla {\phi }_p-\nabla u{\Vert }_{L^2}).$$令 $p\to \infty$ 即可.

$\square$

注记. 这个证明不等式的方法是典型的: 一般而言, 很多函数空间中的函数可以用光滑函数逼近. 我们先对光滑函数证明不等式, 此时, 我们可以对光滑函数进行求导等运算; 然后, 我们再用光滑函数来逼近一般的函数.

注记. Poincaré 不等式的证明过程表明, 只要区域 $\Omega$ 可以被两个平行的超平面夹住, 那么, 不等式仍然成立.

推论 73.6. 我们在 $H_0^1(\Omega )$ 上规定新的内积: $$\begin{array}{rl}(u,v{)}_{H_0^1}& =(\nabla u,\nabla v{)}_{L^2}\\ & =\sum _{k=1}^n{\int }_{\Omega }{\partial }_{k}u(x)\cdot \overline{{\partial }_{k}v(x)}dx.\end{array}$$那么, 这个新的内积所定义的范数 $\Vert \cdot {\Vert }_{H_0^1}$ 与 $\Vert \cdot {\Vert }_{H^1}$ 是等价的, 即存在非负常数 $C_1$ 和 $C_2$, 使得对任意的 $u\in H_0^1(\Omega )$, 我们有$$C_1\Vert u{\Vert }_{H_0^1}⩽\Vert u{\Vert }_{H^1}⩽C_2\Vert u{\Vert }_{H_0^1}.$$

证明. 按照定义, 我们就有 $\Vert u{\Vert }_{H_0^1}⩽\Vert u{\Vert }_{H^1}$, 所以, 选取 $C_1=1$ 即可; 根据 Poincaré 不等式, 我们可以选取 $C_2=C+1$.

$\square$

注记. 在之后的很多场合下, 当我们提及 $H_0^1(\Omega )$, 我们指的是配备有 $(\cdot ,\cdot {)}_{H_0^1}$ 作为内积的 (完备) 内积空间.

在上次课上, 我们引入了 Sobolev 空间 $H_0^1(\Omega )$. 在这个空间上, 我们有两个内积: 对任意的 $u,v\in H_0^1(\Omega )$, 我们有$$(u,v{)}_{H^1}=(u,v{)}_{L^2}+(\nabla u,\nabla v{)}_{L^2},(u,v{)}_{H_0^1}=(\nabla u,\nabla v{)}_{L^2}.$$当 $\Omega$ 是有界区域时, 根据 Poincaré 不等式, 这两个内积所定义的范数是等价的.

我们首先证明一个在 $H_0^1(\Omega )$ 中的分部积分的结果:

引理 73.7. 对任意的 $u\in H_0^1(\Omega )$, $v\in H^1(\Omega )$, 对任意的 $k=1,2,\cdots ,n$, 我们有$${\int }_{\Omega }\left({\partial }_{k}u\right)\cdot vdx=-{\int }_{\Omega }u\cdot \left({\partial }_{k}v\right)dx.$$

注记. 直观上, $u$ 在边界上等于 $0$, 所以, 边界项的贡献是 $0$.

证明. 当 $u=\phi \in C_0^{\infty }(\Omega )$ 时, 这个等式就是分布的导数的定义, 所以成立. 对于一般的 $u$, 我们选取一列 $\{{\phi }_p{\}}_{p⩾1}\subset C_0^{\infty }(\Omega )$, 使得 ${\phi }_p\stackrel{H_0^1(\Omega )}{⟶}u$. 所以, $${\int }_{\Omega }\left({\partial }_k{\phi }_p\right)\cdot vdx=-{\int }_{\Omega }{\phi }_p\cdot \left({\partial }_{k}v\right)dx,$$从而, 推出来$${\int }_{\Omega }\left({\partial }_{k}u\right)\cdot vdx+{\int }_{\Omega }u\cdot \left({\partial }_{k}v\right)dx=-{\int }_{\Omega }\left({\partial }_k({\phi }_p-u)\right)\cdot vdx-{\int }_{\Omega }({\phi }_p-u)\left({\partial }_{k}v\right)dx.$$由于 $v,{\partial }_{k}v\in L^2(\Omega )$ 而 ${\phi }_p-u\stackrel{L^2(\Omega )}{⟶}0$, ${\partial }_k({\phi }_p-u)\stackrel{L^2(\Omega )}{⟶}0$, 所以当 $p\to \infty$ 时, 上面的等式的极限就给出了要证明的等式.

$\square$

另外, 这些 Sobolev 空间还有如下的映射性质: $$H^1({\mathbb{R}}^n)\stackrel{\nabla }{⟶}{L}^2(\Omega )\stackrel{\nabla }{⟶}{H}^{-1}(\Omega ).$$实际上, 对任意的 $u\in L^2(\Omega )$, 考虑试验函数 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$, 那么, 对任意的 $k⩽n$, 我们有$$|⟨{\partial }_{k}u,\phi ⟩|=|⟨u,{\partial }_k\phi ⟩|⩽\Vert u{\Vert }_{L^2}\Vert \nabla \phi {\Vert }_{L^2}⩽C\Vert \nabla \phi {\Vert }_{H_0^1}.$$这就说明 $\nabla u\in H^{-1}(\Omega )$ (定义为 $H_0^1(\Omega )$ 的对偶) .

位势方程

我们现在利用 Poincaré 不等式以及 $H_0^1(\Omega )$ 空间的结构来研究位势方程 (Dirichlet 问题), 即找一个函数 $u$, 满足如下微分方程的边值问题: $$\{\begin{array}{l}-△u=f,\\ u{|}_{\partial \Omega }=0.\end{array}$$

我们采取一种迂回折中的方式来研究上述问题. 我们首先给出所求解的一个预设: 寻找 $u\in H_0^1(\Omega )$, 使得 $-△u=f$. 直观上, $H^{-1}$ 可以视作是对 $H^1$ 中的函数求两次导数, 此时, 我们先要求 $f\in H^{-1}(\Omega )$. 我们要求 $u\in H_0^1(\Omega )$ 是出于两个方面的考虑: 第一, 物理上这个问题来源于经典引力理论或者静电磁理论, 这些问题通常要求函数 $u$ 是有限能量的, 即 $\nabla u\in L^2(\Omega )$; 第二, $H_0^1(\Omega )$ 中的函数可以直观上理解为在 $\partial \Omega$ 上的限制为 $0$ 的函数, 所以, 在这个类中寻找解可以不再去考虑边界条件 (或者说, 我们可以自欺欺人地认为这个解满足了边界条件, 我们之后会对这个部分做严格讨论) .

由于 $u$ 是分布 (按照定义) , 我们先寻找一个在分布意义下的解, 即对任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$, 如下的等式成立 (这种解在偏微分方程理论中被称作是弱解) : $$-⟨△u,\phi ⟩=⟨f,\phi ⟩\iff ⟨\nabla u,\nabla \phi ⟩=⟨f,\phi ⟩.$$由于我们预设的 $u\in H_0^1(\Omega )$, 我们把上面的分布等式改写成内积意义下等式: $$(\nabla \phi ,\overline{\nabla u}{)}_{L^2}=f(\phi ).$$其中, 我们把 $f\in H^{-1}(\Omega )$ 直接写成 $H_0^1(\Omega )$ 上的函数的线性泛函的形式. 所以, 利用 $H_0^1(\Omega )$ 上的内积, 这个问题转化为寻找 $\overline{u}\in H_0^1(\Omega )$, 使得$$(\phi ,\overline{u}{)}_{H_0^1(\Omega )}=f(\phi ).$$实际上, 由于 $f$ 是有界线性泛函, 根据 Riesz 表示定理, 存在唯一的 $\overline{u}\in H_0^1(\Omega )$, 使得对任意的 $v\in H_0^1(\Omega )$, 我们都有$$(v,\overline{u}{)}_{H_0^1(\Omega )}=f(v).$$所以, 我们构造了 Dirichlet 问题的唯一解 (在 $H_0^1(\Omega )$ 中的唯一解) .

综上所述, 我们得到如下的定理:

定理 73.8. 假设 $\Omega$ 是有界区域 (夹在平行的两个超平面之间即可) . 那么, 对任意的 $f\in H^{-1}(\Omega )$, Dirichlet 问题$$\{\begin{array}{l}-△u=f,\\ u{|}_{\partial \Omega }=0.\end{array}$$在 $H_0^1(\Omega )$ 中存在唯一的解, 即存在唯一的 $u\in H_0^1(\Omega )$, 使得在分布的意义下$$-△u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}f.$$

注记. 通过解上述的 Dirichlet 问题, 我们可以定义算子$$(-△{)}^{-1}:H^{-1}(\Omega )⟶H_0^1(\Omega ),f\mapsto u,$$其中 $u$ 是 $f$ 所对应的那个唯一的解. 对任意的 $v\in H_0^1(\Omega )$, 由于$$|(v,\overline{u}{)}_{H_0^1(\Omega )}|=|f(v)|⩽C\Vert v{\Vert }_{H_0^1},$$我们总是可以选取 $C=2\Vert f{\Vert }_{H^{-1}}$, 所以, 当 $v=u$ 时, 我们有$$\Vert u{\Vert }_{H_0^1}^2⩽2\Vert f{\Vert }_{H^{-1}}\Vert u{\Vert }_{H_0^1}\Rightarrow \Vert u{\Vert }_{H_0^1}⩽2\Vert f{\Vert }_{H^{-1}},$$即$$\Vert (-△{)}^{-1}(f){\Vert }_{H_0^1}⩽2\Vert f{\Vert }_{H^{-1}}.$$所以, $$(-△{)}^{-1}:H^{-1}(\Omega )⟶H_0^1(\Omega )$$是连续线性映射.

引理 73.9. 我们可以将 $L^2(\Omega )$ 实现为 $H^{-1}(\Omega )={\left(H_0^1(\Omega )\right)}^{\ast }$ 的子空间: 对任意的 $f\in L^2(\Omega )$, 我们定义$$T_f:H_0^1(\Omega )\to \mathbb{C},\psi \mapsto (\psi ,\overline{f}{)}_{L^2}={\int }_{\Omega }f(x)\psi (x)dx.$$

证明. 根据 Cauchy–Schwarz 不等式和 Poincaré 不等式, 对任意的 $\psi \in H_0^1(\Omega )$ 我们有$$|T_f(\psi )|⩽\Vert \psi {\Vert }_{L^2}\Vert f{\Vert }_{L^2}⩽\left(C\Vert f{\Vert }_{L^2}\right)\cdot \Vert \nabla \psi {\Vert }_{L^2}.$$所以, $T_f\in H^{-1}(\Omega )$.

$\square$

我们可以把 $(-△{)}^{-1}$ 限制在 $L^2(\Omega )$ 上这就得到$$(-△{)}^{-1}:L^2(\Omega )⟶H_0^1(\Omega ).$$换而言之, 我们把 $f$ 在 $L^2(\Omega )$ 中选取来解 Dirichlet 问题就给出了上述映射. 我们还可以进一步把 $H_0^1(\Omega )$ 嵌入到 $L^2(\Omega )$ 中, 从而得到这样, 我们可以定义 $L^2(\Omega )$ 到自身的连续线性算子 (因为它是一系列连续算子的复合) : $$(-△{)}^{-1}:L^2(\Omega )⟶L^2(\Omega ).$$我们之后会研究 $(-△{)}^{-1}$ 的谱理论, 即它的特征值和特征向量的性质.

命题 73.10. 算子$$(-△{)}^{-1}:L^2(\Omega )⟶L^2(\Omega ),$$是连续的正线性算子, 即对任意的 $f\in L^2(\Omega )$, 我们有$${\left((-△{)}^{-1}f,f\right)}_{L^2}⩾0.$$这个不等式中等号成立当且仅当 $f=0$.

证明. 令 $u=(-△{)}^{-1}f$, 从而 $u\in H_0^1(\Omega )$. 按照 $(-△{)}^{-1}$ 的定义, 对任意的 $v\in H_0^1(\Omega )$, 我们有$$(v,\overline{u}{)}_{H_0^1(\Omega )}=f(v).$$令 $v=\overline{u}$, 从而, $$0⩽(\overline{u},\overline{u}{)}_{H_0^1(\Omega )}=f(\overline{u})={\int }_{\Omega }f\cdot \overline{(-△{)}^{-1}f}dx.$$所以, 命题中的不等式成立.

进一步, 上面不等式中的等号成立当且仅当 $\overline{u}\in H_0^1(\Omega )$ 为 $0$, 这个范数与 $H^1(\Omega )$ 中的范数等价, 所以 $u\equiv 0$.

$\square$

注记 (总结). 我们构造了 Dirichlet 问题的解算子 $(-△{)}^{-1}$. 在这个过程中, 我们只是假定了 $H_0^1(\Omega )$ 中的函数满足 $u{|}_{\partial \Omega }$ 的边界条件. 我们下面要把这个边界条件讲清楚. 为此, 我们仍然要回到 ${\mathbb{R}}^n$ 研究 Sobolev 函数的限制理论.