4. 椭圆曲线上的形式群律

设 $(E,O)$ 是椭圆曲线, 做变量代换$$z=-\frac{x}{y},w=-\frac{1}{y}.$$从而 $O$ 的新坐标为 $(z,w)=(0,0)$, 且 $z$ 是 $O$ 处的素元. 与 $E$ 相伴的 Weierstrass 方程变为$$w=z^3+a_{1}zw+a_2{z}^{2}w+a_3{w}^2+a_{4}z{w}^2+a_6{w}^3=:f(z,w).$$我们不断地做代换 $w\mapsto f(z,w)$, 希望最后能收敛到 $\mathbb{Z}[a_1,\cdots ,a_6][[T]]$ (整章中, 这个记号都自动排除 $a_5$), 满足函数方程$$w(z)=f(z,w(z)).$$可以定义一列多项式, 满足 $f_1(z,w)=f(z,w)$ 且 $f_{m+1}(z,w)=f_m(z,f(z,w))$. 若这一列多项式的极限存在, 只需令$$w(z)=\underset{m\to \infty }{\lim }{f}_m(z,0).$$

Hensel 引理保证了 $w(z)$ 的存在, 具体写出来$$w(z)=z^3(1+A_{1}z+A_2{z}^2+\cdots )\in \mathbb{Z}[a_1,\cdots ,a_6][[z]].$$

我们有 Laurent 展开$$\begin{array}{rl}x(z)& =\frac{z}{w(z)}=\frac{1}{z^2}-\frac{a_1}{z}-a_2-a_{3}z-(a_4+a_1{a}_3)z^2-\cdots ,\\ y(z)& =-\frac{1}{w(z)}=-\frac{1}{z^3}+\frac{a_1}{z^2}+\frac{a_2}{z}+a_3+(a_4+a_1{a}_3)z-\cdots .\end{array}$$对 $(x(z),y(z))$ 给出了 Weierstrass 方程$$E:y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6$$的形式幂级数解. 若 $E$ 定义在 $K$ 上, 我们想要取 $z\in K$ 来构造 $E$ 上的点, 但这会遇到收敛性的问题. 当 $K$ 是完备局部环 $(R,\mathfrak{m})$ 的分式化时, 有良定义映射$$\mathfrak{m}\to E(K),z\mapsto (x(z),y(z)).$$这是一个单射, 因为有逆映射 $(x,y)\mapsto -x/y$.

对于形式幂级数解, 我们也有加法公式. 设 $z_3$ 时直线 $z_1{z}_2$ 与 $E$ 的第三个交点, 有$$\begin{array}{rl}{z}_3& =z_3(z_1,z_2)\\ & =-z_1-z_2+\frac{a_1\lambda +a_3{\lambda }^2-a_{2}y-2a_4\lambda \nu -3a_6{\lambda }^2\nu }{1+a_2\lambda +a_4{\lambda }^2+a_6{\lambda }^3}\\ & =\mathbb{Z}[a_1,\cdots ,a_6][[z_1,z_2]].\end{array}$$还要构造 “对径点”, 由于 $z=-x/y$, 我们有$$i(z)=\frac{x(z)}{y(z)+a_{1}x(z)+a_3}=\frac{z^{-2}-a_1{z}^{-1}-\cdots }{-z^{-3}+2a_1{z}^{-2}+\cdots }\in \mathbb{Z}[a_1,\cdots ,a_6][[z]],$$我们有加法结构$$\begin{array}{rl}F(z_1,z_2)& =i(z_3(z_1,z_2))\\ & =z_1+z_2-a_1{z}_1{z}_2-a_2(z_1^2{z}_2+z_1{z}_2^2)+\cdots \in \mathbb{Z}[a_1,\cdots ,a_6][[z]].\end{array}$$这实际上给出了椭圆曲线上形式群的结构.

4.1形式群

定义 4.1.1. 设 $R$ 是环. $R$ 上 (单参数交换) 形式群 $\mathcal{F}$ 是形式幂级数 $F(X,Y)\in R[[X,Y]]$, 同时满足以下性质

$\diamond$	$F(X,Y)=X+Y+E(X,Y)$, 其中 $E(X,Y)$ 只含有次数 $\ge 2$ 的项.
$\diamond$	结合律: $F(X,F(Y,Z))=F(F(X,Y),Z)$.
$\diamond$	交换律: $F(X,Y)=F(Y,X)$.
$\diamond$	逆元: 存在 $i(T)\in R[[T]]$ 使得 $F(T,i(T))=0$.
$\diamond$	单位: $F(X,0)=X$ 且 $F(0,Y)=Y$.

称 $F(X,Y)$ 是 $\mathcal{F}$ 的形式群律.

定义 4.1.2. $(\mathcal{F},F)$ 和 $(\mathcal{G},G)$ 是 $R$ 上形式群, $\mathcal{F}$ 到 $\mathcal{G}$ 的 $R$ 同态是幂级数 $f\in TR[[T]]$, 满足$$f(F(X,Y))=G(f(X),f(Y)).$$若存在 $f:\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 和 $g:\mathcal{G}\to \mathcal{F}$ 满足 $f(g(T))=g(f(T))=T$, 则称形式群 $\mathcal{F},\mathcal{G}$ 同构.

例 4.1.3. 形式加法群 ${\hat{\mathbb{G}}}_a$ 由形式群律 $F(X,Y)=X+Y$ 给出.

例 4.1.4. 形式乘法群 ${\hat{\mathbb{G}}}_m$ 由形式群律 $F(X,Y)=X+Y+XY=(1+X)(1+Y)-1$ 给出.

例 4.1.5. $E$ 是由 $R$ 系数 Weierstraß 方程决定的椭圆曲线. 与 $E$ 相伴的形式群记作 $\hat{E}$, 由形式群律 $F(z_1,z_2)$ 给出.

例 4.1.6. 设 $(\mathcal{F},F)$ 是形式群, 归纳的对 $m\in Z$ 定义同态$$[m]:\mathcal{F}\to \mathcal{F},$$即 $[0](T)=0$, $[m+1](T)=F([m](T),T)$, $[m-1](T)=F([m](T),i(T))$.

下面将证明乘 $m$ 映射是同构, 在证明弱 Mordell–Weil 定理中起重要作用.

引理 4.1.7. 对 $a\in R^{\times }$ 及形式幂级数 $f(T)\in R[[T]]$ 满足$$f(T)=aT+\text{高阶项}.$$则存在唯一幂级数 $g(T)\in R[[T]]$ 满足 $f(g(T))=T$, 同时有 $g(f(T))=T$ 成立.

证明. 令 $g_1(T)=a^{-1}T$. 假设 $g_{n-1}(T)$ 已构造, 考虑构造 $g_n(T)$. 假设 $g_n(T)=g_{n-1}+\lambda T^n$, 其中 $\lambda \in R$ 待定, 我们需要 $f(g_n(T))\equiv T(\mathrm{mod}T{)}^{n+1}$. $$\begin{array}{rl}f(g_n(T))& =f(g_{n-1}(T)+\lambda T^n)\\ & \equiv f(g_{n-1}(T))+a\lambda T^n(\mathrm{mod}{T}^{n+1})\\ & \equiv T+b{T}^n+a\lambda T^n(\mathrm{mod}{T}^{n+1}),b\in R.\end{array}$$因此只需令 $\lambda =-a^{-1}b$, 则可以取 $g(T)=\lim g_n(T)\in R[[T]]$.

对于 $g(T)=a^{-1}T+\cdots$ 重复上面的论证, 知存在 $h(T)$ 满足 $g(h(T))=T$. 从而$$g(f(T))=g(f(g(h(T))))=g(f\circ g(h(T)))=g(h(T))=T.$$若存在 $G(T)\in R[[T]]$ 满足 $f(G(T))=T$, 知$$g(T)=g(f(G(T)))=g\circ f(G(T))=G(T),$$即证 $g$ 的唯一性.

$\square$

命题 4.1.8. 设 $\mathcal{F}$ 是环 $R$ 上的形式群, $m\in \mathbb{Z}$, 则有

(a)	$[m]T=mT+\cdots$;
(b)	若 $m\in R^{\times }$, 有 $[m]:\mathcal{F}\to \mathcal{F}$ 是同构.

4.2完备局部环上的形式群

本小节中, 约定 $R$ 是完备局部环, $\mathfrak{m}$ 是极大理想, $k=R/\mathfrak{m}$ 是剩余域. 此时, 形式幂级数有很好的收敛性, 我们可以从中得到 “真正” 的群结构.

定义 4.2.1. 设 $(\mathcal{F},F)$ 是 $R$ 上形式群, 可在 $\mathfrak{m}$ 定义群结构$$\begin{array}{rlr}x{\oplus }_{\mathcal{F}}y& =F(x,y),& x,y\in \mathfrak{m},\\ {\ominus }_{\mathcal{F}}x& =i(x),& x\in \mathfrak{m},\end{array}$$记作 $\mathcal{F}(\mathfrak{m})$. 类似地, 对 $n\ge 1$, 我们可直接定义 $\mathcal{F}({\mathfrak{m}}^n)$.

$R$ 的完备性保证了对任意 $x,y\in \mathfrak{m}$, $F(x,y)$ 和 $i(x)$ 都收敛到 $R$ 中元素. 形式群律告诉我们 $\mathcal{F}(\mathfrak{m})$ 是 “真正” 的群, 同时有 $\mathcal{F}({\mathfrak{m}}^n)$ 是其子群.

例 4.2.2. 形式加法群 ${\hat{\mathbb{G}}}_a(\mathfrak{m})$ 就是 $\mathfrak{m}$ 上通常加法群结构, 有正合列$$0\to {\hat{\mathbb{G}}}_a(\mathfrak{m})\to R\to k\to 0.$$形式乘法群 ${\hat{\mathbb{G}}}_m(\mathfrak{m})$ 就是群 $1+\mathfrak{m}$ 配上乘法结构, 有正合列$$0\to {\hat{\mathbb{G}}}_m(\mathfrak{m})\stackrel{z\mapsto 1+z}{\to }{R}^{\times }\to k$$

4.3不变微分

定义 4.3.1. 形式群 $\mathcal{F}/R$ 上的不变微分是微分形式$$\omega (T)=P(T)dt\in R[[T]]\cdot dt$$满足$$\omega \circ F(T,S)=\omega (T).$$具体地, $\omega (T)$ 是不变微分当且仅当 $P(F(T,S))F_X(T,S)=P(T)$, $F_X$ 是对第一个变量的形式导数. 若 $P(0)=1$, 则称 $\omega$ 为标准不变微分 (normalized).

例 4.3.2. $\omega =dT$ 是形式加法群 ${\hat{G}}_a$ 的不变微分.

例 4.3.3. 形式乘法群 ${\hat{G}}_m$ 有不变微分$$\omega =\frac{dT}{1+T}=(1-T+T^2-T^3+\cdots )dT.$$

对于一般的形式群, 我们也有类似的计算公式.

命题 4.3.4. 设 $\mathcal{F}/R$ 是形式群. 则存在唯一标准不变微分, 由$$\omega =F_X(0,T{)}^{-1}dT$$给出. 其上所有不变微分都形如 $a\omega$ 对 $a\in R$.

推论 4.3.5. 设 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{G}$ 为 $R$ 上形式群律, 配有标准不变微分 ${\omega }_{\mathcal{F}}$ 和 ${\omega }_{\mathcal{G}}$. 令 $f:\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为形式群同态, 则有$${\omega }_{\mathcal{G}}\circ f=f^{\prime }(0){\omega }_{\mathcal{F}}.$$

证明. 假设 $F(X,Y)$ 和 $G(X,Y)$ 为 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{G}$ 对应的形式群律, 直接计算有$$({\omega }_{\mathcal{G}}\circ f)(F(T,S))={\omega }_{\mathcal{G}}(G(f(T),f(S)))=({\omega }_{\mathcal{G}}\circ f)(T).$$因此存在 $a\in R$ 使得 ${\omega }_{\mathcal{G}}\circ f=a{\omega }_{\mathcal{F}}$, 对比系数知 $a=f^{\prime }(0)$.

$\square$

推论 4.3.6. $\mathcal{F}/R$ 是形式群, $p\in \mathbb{Z}$ 是素数. 则存在 $f,g\in R[[T]]$ 满足 $f(0)=g(0)=0$, 同时$$[p](T)=pf(T)+g(T^p).$$

4.4形式对数

我们希望有从任意形式群到加法形式群的同态, 构造想法是构造 “对数” 的类似物.

定义 4.4.1. 环 $R$ 无挠, 令 $K=R\otimes \mathbb{Q}$. 设 $\mathcal{F}$ 是 $R$ 上形式群, $$\omega (T)=(1+c_{1}T+c_2{T}^2+\cdots )dT$$是其上标准不变微分. $\mathcal{F}$ 上的形式对数是幂级数$${\log }_{\mathcal{F}}(T)=\int \omega (T)=T+\frac{c_1}{2}{T}^2+\frac{c_2}{3}{T}^3+\cdots \in K[[T]].$$形式指数是 $K[[T]]$ 中满足$${\log }_{\mathcal{F}}\circ {\exp }_{\mathcal{F}}(T)={\exp }_{\mathcal{F}}\circ {\log }_{\mathcal{F}}(T)=T$$的唯一形式幂级数 ${\exp }_{\mathcal{F}}(T)$.

例 4.4.2. 对于形式乘法群 ${\hat{\mathbb{G}}}_m$, 我们有 $F_{\mathcal{F}}(X,Y)=X+Y+XY$ 及 ${\omega }_{\mathcal{F}}(T)=(1+T{)}^{-1}dT$. 计算得形式对数和形式指数分别为$$\begin{array}{rl}{\log }_{\mathcal{F}}(T)& =\int (1+T{)}^{-1}dT=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}{T}^n}{n},\\ \exp {}_{\mathcal{F}}(T)& =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{T^n}{n!}.\end{array}$$

可以看到 ${\log }_{\mathcal{F}}$ 的系数并不在 $R$ 里, 因此我们只能做到 $K$ 上形式群的同构, 即如下定理.

定理 4.4.3. 环 $R$ 无挠, $\mathcal{F}/R$ 是形式群. 有 $K=R\otimes \mathbb{Q}$ 形式群同构$${\log }_{\mathcal{F}}:\mathcal{F}\to {\hat{\mathbb{G}}}_a.$$

证明.

$\square$

设环 $R$ 特征为 $p>0$.

定义 4.4.4. $f:\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 是 $R$ 上形式群同态. 同态 $f$ 的高度, 记作 $\mathrm{ht}(f)$, 是使得存在 $g(T)\in R[[T]]$ 满足$$f(T)=g(T^{p^h})$$的最大正整数 (约定 $\mathrm{ht}(0)=\infty$). 形式群的高度定义为$$\mathrm{ht}(\mathcal{F}):=\mathrm{ht}([p]).$$

注 4.4.5. 对与 $p$ 互素大于等于 $1$ 的整数 $m$, 由 $[m]T=mT+\cdots$, 知 $\mathrm{ht}([m])=0$. 而利用推论 4.3.6, 有 $\mathrm{ht}([p])\ge 1$, 即正特征环上形式群高度总大于等于 $1$.

命题 4.4.6. $f:\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 是 $R$ 上形式群同态,

(a)	若 $f^{\prime }(0)=0$, 则存在 $f_1\in R[[T]]$ 使得 $f(T)=f_1(T^p)$;
(b)	设 $f(T)=g(T^{p^h})$ 满足 $h=\mathrm{ht}(f)$, 则有 $g^{\prime }(0)\ne 0$.

定理 4.4.7. 设域 $K$ 特征 $p>0$, $E_1$ 和 $E_2$ 是定义在 $K$ 上的椭圆曲线. 设 $\varphi :E_1\to E_2$ 是定义在 $K$ 上的非零同源, 诱导了形式群同态 $f:{\hat{E}}_1\to {\hat{E}}_2$. 则有$${\mathrm{deg}}_i(\varphi )=p^{\mathrm{ht}f}.$$