5. 有限域上的椭圆曲线与 Weil 猜想

有限域永远是你最亲切的朋友, 在其上代数方程往往非常简单以至于连你都能做出一些结果来. 在看完了一堆抽象的代数曲线论之后, 我们急需一些简单的例子来理解一下椭圆曲线. 因此, 作为具体的椭圆曲线理论的开头, 我们来看一看有限域上的椭圆曲线.

5.1有理点的个数

设 $E/{\mathbb{F}}_q$ 是一条椭圆曲线, 我们希望来数一数其上有理点的个数 $\#E({\mathbb{F}}_q)$, 也即方程$$y^2+a_{1}xy+a_3=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6$$在 ${\mathbb{F}}_q^2$ 上的解数加 1 (多一个原点). 由于一个给定的 $x$ 的值至多对应到 $y$ 的两个可能值, 故有平凡估计:$$\#E({\mathbb{F}}_q)\le 2q+1$$但是由于一些二次剩余知识, 只有大约一半的 $x$ 可以使得对应的关于 $y$ 的方程有解, 故 $\#E({\mathbb{F}}_q)$ 应该大约是 $q+o(q)$. Hasse 在三十年代的结果验证了这一猜测:

定理 5.1.1. 设 $E/{\mathbb{F}}_q$ 为有限域上的椭圆曲线, 则$$|\#E({\mathbb{F}}_q)-q-1|\le 2\sqrt{q}$$

证明. 取 $\varphi$ 为 $q$ 次 Frobenius 映射, 则由于 ${\bar{\mathbb{F}}}_q$ 到 ${\mathbb{F}}_q$ 的 Galois 群由 $\varphi$ 生成知对 $P\in E(\bar{\mathbb{F}}{)}_q$, 其落在 $E({\mathbb{F}}_q)$ 中当且仅当 $\varphi (P)=P$. 故 $E({\mathbb{F}}_q)=\ker (1-\varphi )$. 进而 $\#E({\mathbb{F}}_q)=\mathrm{deg}(1-\varphi )$. 由于 $\mathrm{deg}\varphi =q$ 且 $\mathrm{deg}$ 为 $\mathrm{End}(E)$ 上的正定二次型, 故由下命题 (Cauchy–Schwarz) 即证.

$\square$

引理 5.1.2. 设 $A$ 是 Abel 群, $d:A\to \mathbb{Z}$ 是正定二次型. 则有$$|d(\psi -\varphi )-d(\varphi )-d(\psi )|\le 2\sqrt{d(\varphi )d(\psi )}.$$

证明. 令 $L(\psi ,\varphi )=d(\psi -\varphi )-d(\varphi )-d(\psi )$ 是 $d$ 对应的双线性型. 由于 $d$ 正定, 知对任意 $m,n\in \mathbb{Z}$ 有$$0\le d(m\psi -n\varphi )=m^{2}d(\psi )+mnL(\psi ,\varphi )+n^{2}d(\varphi ).$$特别地, 取 $m=-L(\psi ,\varphi )$ 及 $n=2d(\psi )$, 有$$0\le d(\psi )(4d(\psi )d(\varphi )-L(\psi ,\varphi {)}^2).$$可得结论.

$\square$

作为应用, 考虑二次剩余特征 $\chi :{\mathbb{F}}_q^{\times }\to \{\pm 1\}$ 则对任意三次多项式 $f$, 对椭圆曲线 $y^2=f(x)$ 使用这一定理即知$$|\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q^{\times }}\chi (f(x))|\le 2\sqrt{q}$$

注 5.1.3. 注意: 虽然 Hasse 给出了 $E$ 上有理点的估计, 但没有给出如何计算有理点的方法.

5.2Weil 猜想

1949 年, Weil 提出了一系列关于有限域上簇的点的个数的猜想. 这里我们将叙述这一猜想, 并简要证明椭圆曲线情形.

设 $V/{\mathbb{F}}_q$ 为射影簇, ${\mathbb{F}}_{q^n}$ 为 ${\mathbb{F}}_q$ 的 $n$ 次扩域, 则 $V$ 可表示为一些 ${\mathbb{F}}_q$ 上的齐次方程的公共零点, 并且 $V({\mathbb{F}}_{q^n})$ 为这些方程在 ${\mathbb{F}}_{q^n}$ 上的公共零点集.

定义 5.2.1. 对射影簇 $V/{\mathbb{F}}_q$, 定义其上的 Zeta 函数为$$Z(V/{\mathbb{F}}_q;T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }(\#V({\mathbb{F}}_{q^n}))\frac{T^n}{n}\right)$$

例如, 对 $V={\mathbb{P}}^N$, 就有 (可以想像胞腔分解)$$\#V({\mathbb{F}}_{q^n})=1+q^n+\cdots +q^{nN}$$故$$\log Z({\mathbb{P}}^N/{\mathbb{F}}_q;T)=\sum _{n=1}^{\infty }(1+q^n+\cdots +q^{nN})\frac{T^n}{n}=-\sum _{k=0}^N\log (1-q^{k}T)$$也即$$Z({\mathbb{P}}^N/{\mathbb{F}}_q;T)=\frac{1}{(1-T)(1-qT)\cdots (1-q^{N}T)}$$一般地, 若存在一些 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r\in \mathbb{C}$ 使得$$V({\mathbb{F}}_{q^n})=\pm {\alpha }_1^n\pm \cdots \pm {\alpha }_r^n$$则 $Z(V/{\mathbb{F}}_q;T)$ 为关于 $T$ 的有理函数.

由此, 我们提出 Weil 猜想:

定理 5.2.2. 设 $V/{\mathbb{F}}_q$ 为 $N$ 维光滑射影簇, 则

(1)	有理性: $$Z(V/{\mathbb{F}}_q;T)\in \mathbb{Q}(T).$$
(2)	函数方程: 存在整数 $ϵ$ 使得$$Z(V/{\mathbb{F}}_q;1/q^{N}T)=\pm q^{Nϵ/2}{T}^{ϵ}Z(V/{\mathbb{F}}_q;T),$$其中 $ϵ$ 称为 $V$ 的 Euler 示性数.
(3)	Riemann 猜想: Zeta 函数可被分解为$$Z(V/{\mathbb{F}}_q;T)=\frac{P_1(T)\cdots P_{2N-1}(T)}{P_0(T)P_2(T)\cdots P_{2N}(T)}$$其中每个 $P_i(T)\in \mathbb{Z}[T]$, 且 $P_0(T)=1-T,P_{2N}(T)=1-q^{N}T$. 进一步地, 对任意 $0\le i\le 2N$, 多项式 $P_i(T)$ 在 $\mathbb{C}$ 上有分解: $$P_i(T)=\prod _{j=1}^{b_i}(1-{\alpha }_{ij}T),|{\alpha }_{ij}|=q^{1/2},$$其中次数 $b_i$ 称为 $V$ 的第 $i$ 个 Betti 数.

这是一个相当近代的猜想, Weil 本人证明了曲线和 Abel 簇的情况, 而直到 1973 年, 完整的猜想才被 Deligne 证明.

这里我们将对椭圆曲线证明 Weil 猜想. 选取不同于 $p=\mathrm{char}({\mathbb{F}}_q)$ 的素数 $\ell$, 我们已经构造过一个表示:

$$\mathrm{End}(E)\to \mathrm{End}(T_{\ell }(E)),\psi \mapsto {\psi }_{\ell }$$

选取 $T_{\ell }(E)$ 的一组 ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-基, 则可将 ${\psi }_{\ell }$ 写成 $2\times 2$ 矩阵, 并计算 $\det ({\psi }_{\ell }),\mathrm{tr}({\psi }_{\ell })\in {\mathbb{Z}}_{\ell }$. 回顾命题 3.2.2:

命题 5.2.3. 对 $\psi \in \mathrm{End}(E)$, 有$$\det ({\psi }_{\ell })=\mathrm{deg}(\psi ),\mathrm{tr}({\psi }_{\ell })=1+\mathrm{deg}(\psi )-\mathrm{deg}(1-\psi )$$

将这一命题应用于椭圆曲线, 我们将可以数出有理点的个数, 并深入研究 Frobenius 映射:

定理 5.2.4. 设 $E/{\mathbb{F}}_q$ 为椭圆曲线, 映射 $\varphi :E\to E,(x,y)\mapsto (x^q,y^q)$ 为 Frobenius 映射, 并记 $a=q+1-\#E({\mathbb{F}}_q)$, 则

(1)	设 $\alpha ,\beta$ 为 $T^2-aT+q=0$ 的两根, 则它们互为共轭, 模长均为 $\sqrt{q}$, 且对任意正整数 $n$ 均有: $$\#E({\mathbb{F}}_{q^n})=q^n+1-{\alpha }^n-{\beta }^n.$$
(2)	Frobenius 映射 $\varphi$ 满足$${\varphi }^2-a\varphi +q=0\in \mathrm{End}(E).$$

证明. 由 5.1.1 的证明知对正整数 $n$ 有$$\#E({\mathbb{F}}_{q^n})=\mathrm{deg}(1-{\varphi }^n)$$从而由前一命题知$$\det ({\varphi }_{\ell })=\mathrm{deg}(\varphi )=q,\mathrm{tr}({\varphi }_{\ell })=1+\mathrm{deg}\varphi -\mathrm{deg}(1-\varphi )=1+q-\#E({\mathbb{F}}_q)=a$$故 ${\varphi }_l$ 的特征多项式为$$\det (T-{\varphi }_{\ell })=T^2-\mathrm{tr}({\varphi }_{\ell })T+\det ({\varphi }_{\ell })=T^2-aT+q$$对于 (1), 由 $|a|<2\sqrt{q}$ 即知两根均不是实数, 再由 $\alpha \beta =q$ 可得模长均为 $\sqrt{q}$. 而且由 $T^2-aT+q=(T-\alpha )(T-\beta )$ 即知 ${\varphi }_{\ell }$ 的特征值为 $\alpha ,\beta$, 从而 $\det (T-{\varphi }_{\ell }^n)=(T-{\alpha }^n)(T-{\beta }^n)$. 故$$\#E({\mathbb{F}}_{q^n})=\mathrm{deg}(1-{\varphi }^n)=\det (1-{\varphi }_{\ell }^n)=(1-{\alpha }^n)(1-{\beta }^n)=1+q^n-{\alpha }^n-{\beta }^n.$$对于 (2), 由 Caylay-Hamilton 即知 ${\varphi }_{\ell }$ 适合其特征多项式, 即 ${\varphi }_{\ell }^2-a{\varphi }_{\ell }+q=0$. 从而$$\mathrm{deg}({\varphi }^2-a\varphi +q)=\det ({\varphi }_{\ell }^2-a{\varphi }_{\ell }+q)=0⟹{\varphi }^2-a\varphi +q=0$$

$\square$

由于这一结果, 直接计算便可得到

定理 5.2.5. 对椭圆曲线 $E/{\mathbb{F}}_q$, 存在整数 $a$ 使得$$Z(E/{\mathbb{F}}_q;T)=\frac{1-aT+q{T}^2}{(1-T)(1-qT)},$$从而有函数方程$$Z(E/{\mathbb{F}}_q;1/qT)=Z(E/{\mathbb{F}}_q;T),$$且 $1-aT+q{T}^2=(1-\alpha T)(1-\beta T),|\alpha |=|\beta |=\sqrt{q}$.

注 5.2.6. Weil 猜想的 (3) 与 Riemann 猜想的相似性可以由如下方式看出:

考虑函数$${\zeta }_{E/{\mathbb{F}}_q}(s)=Z(E/{\mathbb{F}}_q;q^{-s})=\frac{1-a{q}^{-s}+q^{1-2s}}{(1-q^s)(1-q^{1-s})}$$则函数方程即为$${\zeta }_{E/{\mathbb{F}}_q}(s)={\zeta }_{E/{\mathbb{F}}_q}(1-s)$$且若 ${\zeta }_{E/{\mathbb{F}}_q}(s)=0$, 则 $|q^s|=\sqrt{q}$, 也即 $\text{Re}(s)=1/2$.

注 5.2.7. 对椭圆曲线 $E/{\mathbb{F}}_q$, 称 $a=q+1-\#E({\mathbb{F}}_q)$ 为其 Frobenius 的秩.

5.3自同态环

之前, 我们证明了 (命题 2.5.4) 对于特征 $p$ 的域 $K$, 椭圆曲线 $E/K$ 上的 $p$-挠群 $E[p]$ 是 $0$ 或 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. 另一方面, 自同态环 $\mathrm{End}(E)$ 也有几种可能性 (比如维数不超过 4,etc.). 实际上, 这两个量之间不是独立的, 它们之间的关系被如下定理描述:

定理 5.3.1. 设 $K$ 为特征 $p$ 的域, $E/K$ 为椭圆曲线, 且有 Frobenius 映射:$${\varphi }_r:E\to E^{(p^r)},x\mapsto x^{p^r}$$记其对偶为 ${\hat{\varphi }}_r:E^{(p^r)}\to E$, 则以下诸命题等价:

(1)	$E[p^r]=0$ 对一个 (或所有) $r\ge 1$ 成立.
(2)	${\hat{\varphi }}_r$ (纯) 不可分对一个 (或所有) $r\ge 1$ 成立.
(3)	映射 $[p]:E\to E$ 纯不可分且 $j(E)\in {\mathbb{F}}_{p^2}$.
(4)	$\mathrm{End}(E)$ 是四元数代数里的一个阶 (i.e. 一个同时是子环和格的东西, 见 这里).
(5)	关于 $E$ 的形式群 $\hat{E}/K$ 的高度为 2.

进一步地, 若上述等价条件不成立, 则 $E[p^r]\simeq \mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z},\forall r\ge 1$, 且形式群 $\hat{E}/K$ 的高度是 1. 进一步地, 若 $j(E)\in {\overline{\mathbb{F}}}_p$, 则 $\mathrm{End}(E)$ 是二次虚域中的阶.

注 5.3.2. 若 $E$ 满足定理中所述的等价条件, 则称 $E$ 超奇异, 或称其 Hasse 不变量为 0. 若 $E$ 不满足那些等价条件, 则称 $E$ 典型, 或称其 Hasse 不变量为 1.

值得注意的是, 无论椭圆曲线 $E/K$ 是超奇异的还是典型的, 它都是一条非奇异的曲线. 奇异 (singular) 这个词实在太泛用了.

证明.

证明. 首先可不妨假设 $K$ 为代数闭域, 令 $\varphi ={\varphi }_1$. 由于 $[p^r]={\hat{\varphi }}_r\circ {\varphi }_r$ 及 $[p]=\hat{\varphi }\circ \varphi$. 而 Frobenius 映射纯不可分, 有$${\mathrm{deg}}_s({\hat{\varphi }}_r)={\mathrm{deg}}_s([p^r])=({\mathrm{deg}}_s[p]{)}^r=({\mathrm{deg}}_s\hat{\varphi }{)}^r.$$由命题 2.4.9, 知$$\#E[p^r]={\mathrm{deg}}_s({\hat{\varphi }}_r)={\mathrm{deg}}_s(\hat{\varphi }{)}^r,$$即知 (1) 和 (2) 等价.

由定理 4.4.7, 及 $\varphi$ 纯不可分, 知$${\mathrm{deg}}_i\hat{\varphi }=\frac{{\mathrm{deg}}_i[p]}{p}=p^{\mathrm{ht}(\hat{E})-1}.$$由于 $\hat{\varphi }$ 的次数为 $p^2$, 知 (2) 和 (5) 等价.

(2) $\Rightarrow$ (3): 由 $(2)$ 知 $[p]$ 纯不可分, 只需证 $j(E)\in {\mathbb{F}}_{p^2}$. 利用定理 1.7.2, 知 $\hat{\varphi }$ 可以分解为其中 ${\varphi }^{\prime }$ 是 $p$ 次 Frobenius 映射. 比较次数有 $\mathrm{deg}\psi =1$, 则有 $\psi$ 是同构. 从而$$j(E)=j(E^{(p^2)})=j(E{)}^{p^2},$$因此 $j(E)\in {\mathbb{F}}_{p^2}$.

(3) $\Rightarrow$ (4): 若否, 则有$$\mathcal{K}=\mathrm{End}(E)\otimes \mathbb{Q}$$是数域, 具体地, 有理数域或者其虚二次扩域. 参见 Silverman (暂时懒得码)

(4) $\Rightarrow$ (2): 若假设 (2) 错误, 则对任意 $r\ge 1$ 有 ${\hat{\varphi }}_r$ 可分. 下证 $\mathrm{End}(E)$ 交换. 考虑自然同态$$\mathrm{End}(E)\to \mathrm{End}(T_p(E)),$$若对 $\psi \in \mathrm{End}(E)$, 满足 $\psi$ 的像为 $0$, 则对任意 $r\ge 1$ 有 $\psi (E[p^r])=0$. 由 $[p^r]={\varphi }^r\circ {\hat{\varphi }}_r$ 知, ${\varphi }_r$ 是满射, 则有$${\varphi }_r(\ker \psi )\supset \ker {\hat{\varphi }}_r,$$由 ${\varphi }_r$ 满射知对任意 $r\ge 1$ 有 $\#\ker \psi \ge \ker {\hat{\varphi }}_r$. 而 ${\hat{\varphi }}_r$ 可分, 知 $\#\ker {\hat{\varphi }}_r=\mathrm{deg}{\hat{\varphi }}_r=p^r$. 从而 $\#\ker \psi \ge p^r$ 恒成立, 只能 $\psi =0$. 由假设知 $E[p]\ne 0$, 从而 $T_p(E)={\mathbb{Z}}_p$, 则有嵌入$$\mathrm{End}(E)\hookrightarrow \mathrm{End}(T_p(E))\simeq \mathrm{End}({\mathbb{Z}}_p)\simeq {\mathbb{Z}}_p,$$也就有 $\mathrm{End}(E)$ 交换, 与其是四元代数中的阶矛盾.

$\square$

注 5.3.3. 事实上, Hasse 不变量还有另一种刻画, 参考维基. 具体地, 考虑绝对 Frobenius 态射, 即下列图表的拉回其诱导了凝聚层上同调的映射$${\mathrm{Frob}}_{\mathrm{abs}}^{\ast }:H^1(E,O_E)\to H^1(E,O_E).$$我们取 $\eta \in H^1(E,O_E)=H^0(E,{\Omega }_{E/K}^1)$ (Serre 对偶) 为微分层基底 $\omega$ 的对偶基, 则存在常数 $A(E,\omega )$ 使得$${\mathrm{Frob}}_{\mathrm{abs}}^{\ast }(\eta )=A(E,\omega )\cdot \eta .$$这实际上给出了 $p$ 进模形式, 而在模曲线的角度下, 超奇异椭圆曲线恰好是 $p$ 进模形式 $A$ 的零点.

5.4计算 Hasse 不变量

由 5.3.1 可知在同构意义下只有有限多条超奇异的椭圆曲线, 因为超奇异椭圆曲线的 $j$-不变量取值在 ${\mathbb{F}}_{p^2}$ 中, 只有有限种可能.

事实上, 当 $p=2$ 时, 只有唯一的一条 ( ${\bar{\mathbb{F}}}_2$ 上的) 超奇异椭圆曲线:$$E:y^2+y=x^3$$而当 $p>2$ 时, 如下定理给出了超奇异性的判别法

定理 5.4.1. 设有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 的特征 $p\ge 3$.

(1)	若 $E/{\mathbb{F}}_q$ 为椭圆曲线, 其对应的 Weierstrass 方程形如: $$E:y^2=f(x)$$其中 $f\in {\mathbb{F}}_q[x]$ 为三次多项式, 且在 ${\bar{\mathbb{F}}}_q$ 里有三个互异的根. 则 $E$ 超奇异当且仅当多项式 $f(x{)}^{(p-1)/2}$ 中 $x^{p-1}$ 项的系数是零.
(2)	记 $m=(p-1)/2$, 并定义多项式$$H_p(t)=\sum _{i=0}^m{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i}\right)}^2{t}^i$$则设 $\lambda \in {\bar{\mathbb{F}}}_q,\lambda \ne 0,1$, 则椭圆曲线$$E:y^2=x(x-1)(x-\lambda )$$超奇异当且仅当 $H_p(\lambda )=0$.
(3)	多项式 $H_p(t)$ 在 ${\bar{\mathbb{F}}}_q$ 中的根互异. 特征为 $3$ 的超奇异椭圆曲线 (在同构意义下) 只有一条, 而对特征 $p\ge 5$, 超奇异椭圆曲线 (在 ${\bar{\mathbb{F}}}_q$-同构意义下) 的条数为: $$\left[\frac{p}{12}\right]+\{\begin{array}{cc}0& \text{若}p\equiv 1(\mathrm{mod}12)\\ 1& \text{若}p\equiv 5(\mathrm{mod}12)\\ 1& \text{若}p\equiv 7(\mathrm{mod}12)\\ 2& \text{若}p\equiv 11(\mathrm{mod}12)\end{array}$$

证明. (1): 设 $\chi :{\mathbb{F}}_q\to \{\pm 1\}$ 是二次剩余特征, 定义 $\chi (0)=0$. 我们有$$\#E({\mathbb{F}}_q)=1+q+\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}\chi (f(x))=1+\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}(f(x){)}^{\frac{q-1}{2}}\in {\mathbb{F}}_q.$$同样在 ${\mathbb{F}}_q$ 里, 我们有$$\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}{x}^i=\{\begin{array}{ll}-1,& \text{若}q-1|i,\\ 0,& \text{若}q-1\nmid i.\end{array}$$由于 $f$ 次数为 $3$, 则有 $f^{\frac{q-1}{2}}$ 中次数被 $q-1$ 整除的项只有 $x^{q-1}$. 因此, 在 ${\mathbb{F}}_q$ 中有 $\#E({\mathbb{F}}_q)=1-A_q$, $A_q$ 是 $f(x{)}^{\frac{q-1}{2}}$ 中 $x^{q-1}$ 次项的系数. 另一方面, 注意到若 $\varphi$ 是 Frobenius 自同态$$\#E({\mathbb{F}}_q)=\mathrm{deg}(1-\varphi )=1-a+q,a=1-\mathrm{deg}(1-\varphi )+\mathrm{deg}(\varphi ).$$从而 $a=A_q\in {\mathbb{F}}_q$. 由于 $a\in \mathbb{Z}$, 即$$A_q=0⟺a\equiv 0(\mathrm{mod}p).$$注意到有$$\begin{array}{rl}[a]& =[1-\mathrm{deg}(1-\varphi )+\mathrm{deg}\varphi ]=1-[\mathrm{deg}(1-\varphi )]+[\mathrm{deg}(\varphi )]\\ & =1-(1-\varphi )\circ (1-\hat{\varphi })+\varphi \circ \hat{\varphi }\\ & =\varphi +\hat{\varphi }.\end{array}$$因此, $\hat{\varphi }=[a]-\varphi$, 由命题 2.6.3, 得$$a\equiv 0(\mathrm{mod}p)⟺\hat{\varphi }\text{不可分}⟺E\text{超奇异}.$$从而有 (1) 成立. 然后利用$$A_{p^{r+1}}=A_{p^r}{A}_p^{p^r}$$和归纳法.

(2): 由 (1) 立得.

$\square$

5.5习题

5.5.1. (Silverman 习题 5.13) $E/{\mathbb{F}}_q$ 是椭圆曲线, 对任意 $n\ge 1$, 令$$a_n=q^n+1-\#E({\mathbb{F}}_{q^n}).$$则对任意 $n\ge 0$ 有 $a_{n+2}=a_1{a}_{n+1}-q{a}_n$.