C.2. 显著性水平与第 I 类错误概率的关系

本节中我们证明, 在条件 C.1.1 下, 显著性水平 $\alpha$ 给出了第 I 类错误概率的上界, 且当 $T$ 在原假设 $H_0$ 下为连续型随机变量时, 显著性水平 $\alpha$ 就等于第 I 类错误概率.

定理 C.2.1. 设 $T$ 为假设检验问题 (C.1.1) 的检验统计量, 且条件 C.1.1 成立, $\hat{p}:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 为将样本值映射到 $p$ 值的函数, $\alpha \in \left]0,1\right[$ 为给定的显著性水平, $C_{\alpha }$ 为相应的拒绝域. 则$${\mathbb{P}}_{H_0}\left(\hat{p}(X_1,\dots ,X_n)<\alpha \right)={\mathbb{P}}_{H_0}(T\in C_{\alpha })\le \alpha .$$特别是, 若 $T$ 在原假设 $H_0$ 下为连续型随机变量, 则$${\mathbb{P}}_{H_0}\left(\hat{p}(X_1,\dots ,X_n)<\alpha \right)={\mathbb{P}}_{H_0}(T\in C_{\alpha })=\alpha ,$$从而随机变量 $\hat{p}(X_1,\dots ,X_n)$ 服从 $[0,1]$ 上的均匀分布.

为了证明定理 C.2.1, 我们首先给出如下引理:

引理 C.2.2. 设 $Y$ 为一随机变量, $q(y)=\mathbb{P}(Y\ge y),y\in \mathbb{R}$. 则$$\mathbb{P}(q(Y)<\alpha )\le \alpha ,\forall \alpha \in \left]0,1\right[.$$特别是, 若 $Y$ 为连续型随机变量, 则$$\mathbb{P}(q(Y)<\alpha )=\alpha ,\forall \alpha \in \left]0,1\right[,$$从而 $q(Y)$ 服从 $[0,1]$ 上的均匀分布.

证明. 定义函数 $q_{+}^{-1}:\left]0,1\right[\to \mathbb{R}$ 为$$q_{+}^{-1}(\alpha )=\max \left\{y\in \mathbb{R}\mid q(y)\ge \alpha \right\},\alpha \in \left]0,1\right[,$$则不难由 $q$ 的单调性得到 $q_{+}^{-1}(\alpha )$ 关于 $\alpha$ 单调递减. 此外, 由引理 C.1.2 得$$\left\{y\in \mathbb{R}\mid q(y)\ge \alpha \right\}=\left]-\infty ,q_{+}^{-1}(\alpha )\right],$$(C.2.1)从而 $y>q_{+}^{-1}(\alpha )$ 当且仅当 $q(y)<\alpha$, 故$$\mathbb{P}(q(Y)<\alpha )=\mathbb{P}\left(Y>q_{+}^{-1}(\alpha )\right)=q\left(q_{+}^{-1}(\alpha )+0\right),$$其中 $q\left(q_{+}^{-1}(\alpha )+0\right)$ 表示 $q(y)$ 在 $y$ 从右侧趋向于 $q_{+}^{-1}(\alpha )$ 时的右极限. 而另一方面, 由式 (C.2.1) 可得, 当 $y>q_{+}^{-1}(\alpha )$ 时有 $q(y)<\alpha$, 故令 $y$ 从右侧趋向于 $q_{+}^{-1}(\alpha )$ 并由极限的保号性可得 $q\left(q_{+}^{-1}(\alpha )+0\right)\le \alpha$, 从而$$\mathbb{P}(q(Y)<\alpha )\le \alpha .$$

而若 $Y$ 为连续型随机变量, 则有$$\mathbb{P}(q(Y)<\alpha )=\mathbb{P}(Y>q_{+}^{-1}\alpha )=\mathbb{P}(Y\ge q_{+}^{-1}\alpha )=q\left(q_{+}^{-1}(\alpha )\right)\ge \alpha ,$$其中第二个等号用到了 $Y$ 服从连续型分布, 而最后一步不等号则是因为式 (C.2.1) 意味着 $q_{+}^{-1}(\alpha )\in \{y\in \mathbb{R}\mid q(y)\ge \alpha \}$. 故 $\alpha \le \mathbb{P}(q(Y)<\alpha )\le \alpha$, 从而 $\mathbb{P}(q(Y)<\alpha )=\alpha$.

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在得到引理 C.2.2 后, 定理 C.2.1 则可看成它的一个推论.

定理 C.2.1 的证明. 记 $q(y)={\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge y)$. 对于单侧检验的情形, 有$$\hat{p}(x_1,\dots ,x_n)=q(\varphi (x_1,\dots ,x_n)),$$即 $\hat{p}(X_1,\dots ,X_n)=q(T)$, 接下来由引理 C.2.2 即可得$${\mathbb{P}}_{H_0}(\hat{p}(X_1,\dots ,X_n)<\alpha )={\mathbb{P}}_{H_0}(q(T)<\alpha )\le \alpha ,$$而若 $T$ 在原假设 $H_0$ 下为连续型随机变量, 则有$${\mathbb{P}}_{H_0}(\hat{p}(X_1,\dots ,X_n)<\alpha )={\mathbb{P}}_{H_0}(q(T)<\alpha )=\alpha .$$

对于双侧检验的情形, 进一步令 $q^{\prime }(y)={\mathbb{P}}_{H_0}(-T\ge y)$, 则有$$\hat{p}(x_1,\dots ,x_n)=2\min \left\{q(\varphi (x_1,\dots ,x_n)),q^{\prime }(-\varphi (x_1,\dots ,x_n))\right\},$$从而$$\begin{array}{rl}{\mathbb{P}}_{H_0}(\hat{p}(X_1,\dots ,X_n)<\alpha )=& {\mathbb{P}}_{H_0}\left(2\min \left\{q(T),q^{\prime }(-T)\right\}<\alpha \right)\\ =& {\mathbb{P}}_{H_0}\left(q(T)<\frac{\alpha }{2}\text{或}{q}^{\prime }(-T)<\frac{\alpha }{2}\right)\\ \le & {\mathbb{P}}_{H_0}\left(q(T)<\frac{\alpha }{2}\right)+{\mathbb{P}}_{H_0}\left(q^{\prime }(-T)<\frac{\alpha }{2}\right)\\ \le & \frac{\alpha }{2}+\frac{\alpha }{2}=\alpha ,\end{array}$$其中最后一个不等号来自于引理 C.2.2. 而若 $T$ 为连续型随机变量, 则由于$$q(y)<\frac{\alpha }{2}⟹\mathbb{P}(Y\ge y)<\frac{1}{2},$$而$$\begin{array}{rl}{q}^{\prime }(-y)<\frac{\alpha }{2}⟹& \mathbb{P}(-Y\ge -y)<\frac{1}{2}\\ ⟹& \mathbb{P}(Y\ge y)=1-\mathbb{P}(-Y\ge -y)>\frac{1}{2},\end{array}$$故 $q(y)<\alpha /2$ 与 $q^{\prime }(-y)<\alpha /2$ 不能同时成立, 从而$$\begin{array}{rl}{\mathbb{P}}_{H_0}(\hat{p}(X_1,\dots ,X_n)<\alpha )=& {\mathbb{P}}_{H_0}\left(q(T)<\frac{\alpha }{2}\text{或}{q}^{\prime }(-T)<\frac{\alpha }{2}\right)\\ =& {\mathbb{P}}_{H_0}\left(q(T)<\frac{\alpha }{2}\right)+{\mathbb{P}}_{H_0}\left(q^{\prime }(-T)<\frac{\alpha }{2}\right)\\ =& \frac{\alpha }{2}+\frac{\alpha }{2}=\alpha .\end{array}$$定理证毕.

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