C.1. p 值法与拒绝域法的等价性

首先对假设检验的 $p$ 值法与拒绝域法进行简要回顾. 令 $\theta$ 为未知参数, 并考虑如下假设检验问题: $$H_0:\theta \in {\Theta }_0,H_1:\theta \in {\Theta }_1.$$(C.1.1)设 $T=\varphi (X_1,\dots ,X_n)$ 为该问题的检验统计量, 它满足如下条件:

条件 C.1.1. $T$ 在原假设 $H_0$ 下的分布是与 $\theta \in {\Theta }_0$ 的具体取值无关的. 换句话说, 对任意 $\theta \in {\Theta }_0$, $T$ 均服从同一个分布.

令 $t=\varphi (x_1,\dots ,x_n)$ 为 $T$ 在代入样本观测值 $x_1,\dots ,x_n$ 后的取值. 则相应的 $p$ 值为

•	单侧检验: $\hat{p}(x_1,\dots ,x_n)={\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge t)$;
•	双侧检验: $\hat{p}(x_1,\dots ,x_n)=2\min \{{\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge t),{\mathbb{P}}_{H_0}(T\le t)\}$.

而给定显著性水平 $\alpha \in \left]0,1\right[$ 后, 相应的拒绝域 $C_{\alpha }$ 为

•	单侧检验: $C_{\alpha }=\left]c_{\alpha },+\infty \right[$, 其中$$c_{\alpha }=\max \left\{c\in \mathbb{R}\mid {\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge c)\ge \alpha \right\};$$(C.1.2)
•	双侧检验: $C_{\alpha }=]-\infty ,c_{\alpha }^l[\cup ]c_{\alpha }^u,+\infty [$, 其中$$\begin{array}{rl}{c}_{\alpha }^u=& \max \left\{c\in \mathbb{R}|{\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge c)\ge \frac{\alpha }{2}\right\},\\ c_{\alpha }^l=& \min \left\{c\in \mathbb{R}|{\mathbb{P}}_{H_0}(T\le c)\ge \frac{\alpha }{2}\right\}.\end{array}$$(C.1.3)

为使得临界值的表达式 (C.1.2) 与 (C.1.3) 有意义, 须要求形如 $\{c\in \mathbb{R}\mid {\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge c)\ge \alpha \}$ 的集合非空且有有限的最大值, 而这可由如下引理保证:

引理 C.1.2. 设 $Y$ 为任一随机变量, 则任取 $\alpha \in \left]0,1\right[$, 均存在 $y_{\alpha }\in \mathbb{R}$, 使得$$\left\{y\in \mathbb{R}\mid \mathbb{P}(Y\ge y)\ge \alpha \right\}=\left]-\infty ,y_{\alpha }\right].$$

证明. 注意到 $\mathbb{P}(Y\ge y)$ 可看成 $-Y$ 的分布函数在 $-y$ 处的取值, 故由分布函数的基本性质, 可得 (i) $\mathbb{P}(Y\ge y)$ 关于 $y$ 单调递减; (ii) $y\to +\infty$ 时 $\mathbb{P}(Y\ge y)\to 0$, 而 $y\to -\infty$ 时 $\mathbb{P}(Y\ge y)\to 1$; (iii) $\mathbb{P}(Y\ge y)$ 关于 $y$ 左连续.

接下来, 记$$S_{\alpha }=\left\{y\in \mathbb{R}\mid \mathbb{P}(Y\ge y)\ge \alpha \right\}.$$由于 $\alpha <1$ 且 $y\to -\infty$ 时 $\mathbb{P}(Y\ge y)\to 1$, 故集合 $S_{\alpha }$ 非空. 再令$$y_{\alpha }=\sup S_{\alpha }=\sup \left\{y\in \mathbb{R}\mid \mathbb{P}(Y\ge y)\ge \alpha \right\}.$$则由 $\alpha >0$ 以及 $y\to +\infty$ 时 $\mathbb{P}(Y\ge y)\to 0$, 可得 $y_{\alpha }<+\infty$. 而由上确界的定义, 可知对任意 $s<y_{\alpha }$, 均存在 $s^{\prime }>s$ 使得 $s^{\prime }\in S_{\alpha }$, 从而$$\mathbb{P}(Y\ge s)\ge \mathbb{P}(Y\ge s^{\prime })\ge \alpha ,$$其中第一个不等号来自 $\mathbb{P}(Y\ge s)$ 关于 $s$ 的单调性, 而第二个不等号则是因为 $s^{\prime }\in S_{\alpha }$. 上式意味着 $s<y_{\alpha }$ 时必定有 $s\in S_{\alpha }$, 从而 $S_{\alpha }$ 只可能取 $\left]-\infty ,y_{\alpha }\right]$ 或 $\left]-\infty ,y_{\alpha }\right[$ 的形式. 最后, 由$$\mathbb{P}(Y\ge s)\ge \alpha ,\forall s<y_{\alpha },$$令 $s$ 从左侧趋向 $y_{\alpha }$ 并利用 $\mathbb{P}(Y\ge y)$ 关于 $y$ 的左连续性, 可得$$\mathbb{P}(Y\ge y_{\alpha })\ge \alpha ,$$即 $y_{\alpha }\in S_{\alpha }$, 故 $S_{\alpha }=\left]-\infty ,y_{\alpha }\right]$, 引理得证.

$\square$

接下来我们将证明 $p$ 值法与拒绝域法是等价的.

定理 C.1.3. 设 $T$ 为假设检验问题 (C.1.1) 的检验统计量, 且条件 C.1.1 成立. 则对任意样本观测值 $x_1,\dots ,x_n$ 与显著性水平 $\alpha \in \left]0,1\right[$, 均有$$\hat{p}(x_1,\dots ,x_n)<\alpha ⟺\varphi (x_1,\dots ,x_n)\in C_{\alpha }.$$

证明. 首先考虑单侧检验的情形, 我们分别证明等价性的两个方向.

•	“$⟸$” 方向: 设 $\varphi (x_1,\dots ,x_n)\in C_{\alpha }$, 也即$$\varphi (x_1,\dots ,x_n)>c_{\alpha }=\max \left\{c\in \mathbb{R}\mid {\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge c)\ge \alpha \right\}.$$上式意味着 $\varphi (x_1,\dots ,x_n)\notin \{c\in \mathbb{R}\mid {\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge c)\ge \alpha \}$, 从而$${\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge \varphi (x_1,\dots ,x_n))<\alpha ,$$也即 $\hat{p}(x_1,\dots ,x_n)<\alpha$.
•	“$⟹$” 方向: 设 $\hat{p}(x_1,\dots ,x_n)<\alpha$, 也就是说$${\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge \varphi (x_1,\dots ,x_n))<\alpha .$$该不等式意味着$$\varphi (x_1,\dots ,x_n)\notin \left\{c\in \mathbb{R}\mid {\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge c)\ge \alpha \right\}.$$而由引理 C.1.2 可得 $\{c\in \mathbb{R}\mid {\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge c)\ge \alpha \}=\left]-\infty ,c_{\alpha }\right]$, 故由上式可得$$\varphi (x_1,\dots ,x_n)>c_{\alpha }.$$

由此我们建立了条件 C.1.1 下单侧检验 $p$ 值法与拒绝域法的等价性.

接下来考虑双侧检验. 此时由 $p$ 值的定义可得$$\begin{array}{rl}& \hat{p}(x_1,\dots ,x_n)=2\min \left\{{\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge t),{\mathbb{P}}_{H_0}(T\le t)\right\}<\alpha \\ ⟺& {\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge t)<\frac{\alpha }{2}\text{或}{\mathbb{P}}_{H_0}(T\le t)<\frac{\alpha }{2}.\end{array}$$而仿照单侧检验的证明过程, 不难得到$${\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge t)<\frac{\alpha }{2}⟺\varphi (x_1,\dots ,x_n)>\max \left\{c\in \mathbb{R}|{\mathbb{P}}_{H_0}(T\ge c)\ge \frac{\alpha }{2}\right\}=c_{\alpha }^u$$以及$${\mathbb{P}}_{H_0}(T\le t)<\frac{\alpha }{2}⟺\varphi (x_1,\dots ,x_n)<\min \left\{c\in \mathbb{R}|{\mathbb{P}}_{H_0}(T\le c)\ge \frac{\alpha }{2}\right\}=c_{\alpha }^l.$$综上可得$$\hat{p}(x_1,\dots ,x_n)⟺\varphi (x_1,\dots ,x_n)>c_{\alpha }^u\text{或}\varphi (x_1,\dots ,x_n)<c_{\alpha }^l,$$从而对于双侧检验, 在条件 C.1.1 下 $p$ 值法与拒绝域法也是等价的.

$\square$