6.4. 习题选编

习题 6.4.1. 设 $X_1,\dots ,X_n$ 为总体 $X$ 的一组样本, 且 $\mu =\mathbb{E}[X]$ 与 ${\sigma }^2=\mathrm{Var}(X)$ 均存在, $n\ge 2$.

1.	试求样本均值 $\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ 的期望与方差, 以及样本方差 $S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$ 的期望.
2.	若 $X$ 的四阶矩存在, 并记 ${\nu }_k=\mathbb{E}\left[(X-\mu {)}^k\right],k=3,4$. 试求 $\mathrm{Var}(S^2)$ 与 $\mathrm{Cov}(\overline{X},S^2)$.
3.	若 $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$, 试求 $\mathrm{Var}(S^2)$ 与 $\mathrm{Cov}(\overline{X},S^2)$. 提示: 你其实并不需要用到上一小题的结论. 考虑利用定理 6.2.3.
4.	任取 $i\ne j$, 证明 $X_i-\overline{X}$ 与 $X_j-\overline{X}$ 的相关系数为 $-1/(n-1)$.

习题 6.4.2. 令 ${\hat{F}}_n(x),x\in \mathbb{R}$ 表示样本容量为 $n$ 时的经验分布函数.

1.	任取实数 $x$, 试求 $\mathrm{Var}({\hat{F}}_n(x))$.
2.	任取不相等的实数 $x,y$, 试求 $\mathrm{Cov}({\hat{F}}_n(x),{\hat{F}}_n(y))$.

习题 6.4.3. 设总体 $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$, $X_1,\dots ,X_n$ 与 $Y_1,\dots ,Y_m$ 分别为总体 $X$ 的容量为 $n$ 与 $m$ 的样本, 且 $X_1,\dots ,X_n,Y_1,\dots ,Y_m$ 相互独立. 令$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,\overline{Y}=\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m{Y}_j.$$现任取 $ϵ>0$, 试将概率$$\mathbb{P}\left(|\overline{X}-\overline{Y}|>ϵ\right)$$表示为标准正态分布某个上分位数的函数, 并求出 ${\sigma }^2=3,n=10,m=15,ϵ=0.3$ 时上述概率的值 (保留 $3$ 位小数) .

习题 6.4.4.

1.	设总体 $X$ 服从参数为 $\beta$ 的指数分布, $X_1,\dots ,X_n$ 为总体 $X$ 的一组样本. 证明 $2\beta {\sum }_{i=1}^n{X}_i$ 服从自由度为 $2n$ 的 ${\chi }^2$ 分布.
2.	设总体 $X$ 的分布函数 $F(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续且严格单调递增, $X_1,\dots ,X_n$ 为总体 $X$ 的一组样本. 证明 $-2{\sum }_{i=1}^n\ln F(X_i)$ 服从自由度为 $2n$ 的 ${\chi }^2$ 分布.

习题 6.4.5.

1.	分布 $t(n)$ 在 $n$ 取何值时期望存在? $n$ 取何值时方差存在?
2.	设 $X\sim t(1)$, 证明 $1/X\sim t(1)$.
3.	设 $U,V\sim \mathcal{N}(0,1)$ 且 $U,V$ 相互独立. 证明$$U/V,U/|V|,|U|/V$$均服从自由度为 $1$ 的 $t$ 分布.

习题 6.4.6. 设 $X_1,\dots ,X_n,X_{n+1}$ 为总体 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ 的一组样本, 令$${\overline{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,T=\frac{X_{n+1}-{\overline{X}}_n}{{\left[\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-{\overline{X}}_n{)}^2\right]}^{1/2}}.$$试求实数 $c$ 的值使得 $cT$ 服从某个 $t$ 分布, 并确定该 $t$ 分布的自由度.

习题 6.4.7. 设 $X_1,\dots ,X_n$ 为总体 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ 的一组样本, $Y\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$ 且 $Y,X_1,\dots ,X_n$ 相互独立. 在总体参数 $\mu$ 与 ${\sigma }^2$ 未知的情况下, 试找出一个 $X_1,\dots ,X_n,Y$ 的函数 $g(X_1,\dots ,X_n,Y)$ 使其服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布.

习题 6.4.8. 证明推论 6.2.7.

习题 6.4.9. 设 $X\sim t(n)$. 试求 $X^2$ 的分布.

习题 6.4.10. 设 $X_1,\dots ,X_m,X_{m+1},\dots ,X_n$ 独立同分布且服从正态分布 $\mathcal{N}(0,1)$. 对任意 $0<\alpha <1$, 试求使得等式$$\mathbb{P}\left(\frac{X_1^2+\cdots +X_m^2}{X_1^2+\cdots +X_n^2}\ge r_{\alpha }\right)=\alpha$$成立的实数 $r_{\alpha }$. 提示: 你需要用 $F$ 分布的上分位数表示 $r_{\alpha }$.