1.9. 习题选编

习题 1.9.1. 任给事件 $E,F$, 定义 $E△F$ 为 “$E$ 与 $F$ 当中发生且仅发生一个” 这一事件. 证明$$\mathbb{P}(E△F)=\mathbb{P}(E)+\mathbb{P}(F)-2\mathbb{P}(E\cap F).$$

习题 1.9.2. 令 $\Omega =\mathbb{N}$ 以及 $\mathcal{F}=2^{\mathbb{N}}$. 证明: 不存在定义在 $\mathcal{F}$ 上的概率测度 $\mathbb{P}$, 使得对任意 $i,j\in \mathbb{N}$, 均有 $\mathbb{P}(\{i\})=\mathbb{P}(\{j\})$. 这意味着我们无法以等可能的方式随机取自然数.

习题 1.9.3. 设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为一概率空间, 事件 $F,G$ 满足 $\mathbb{P}(F\cap G)>0$. 令$${\mathbb{P}}_F(E)=\mathbb{P}\left(E|F\right),\forall E\in \mathcal{F}.$$命题 1.6.3 指出 ${\mathbb{P}}_F$ 为定义在 $\mathcal{F}$ 上的一个概率测度. 证明$${\mathbb{P}}_F\left(E|G\right)=\mathbb{P}\left(E|F\cap G\right),\forall E\in \mathcal{F}.$$

习题 1.9.4 (辛普森悖论, Simpson’s paradox). 设事件 $A,B,C$ 满足$$\mathbb{P}\left(A|B\cap C\right)>\mathbb{P}\left(A|B^c\cap C\right)\text{以及}\mathbb{P}\left(A|B\cap C^c\right)>\mathbb{P}\left(A|B^c\cap C^c\right),$$则是否有 $\mathbb{P}\left(A|B\right)>\mathbb{P}\left(A|B^c\right)$? 若是请给出证明, 若否请给出反例.

习题 1.9.5 (后验概率的序贯更新). 设事件 $F_1,\dots ,F_n$ 两两互斥, ${\bigcup }_{i=1}^n{F}_i$ 为必然事件, 且对每个 $i=1,\dots ,n$ 均有 $\mathbb{P}(F_i)>0$. 又假设事件 $E_1,\dots ,E_T$ 满足 $E_1\supseteq E_2\supseteq \cdots \supseteq E_T$ 以及 $\mathbb{P}(E_T)>0$, 且在某次试验中, 我们观测到 $E_1,E_2,\dots ,E_T$ 依次发生. 令$$P_i(t)=\mathbb{P}\left(F_i|E_t\right)$$表示观测到 $E_t$ 发生时事件 $F_i$ 的后验概率. 证明: 对任意 $i=1,\dots ,n$ 与 $t=1,\dots ,T-1$, 有$$P_i(t+1)=\frac{\mathbb{P}\left(E_{t+1}|F_i\cap E_t\right)P_i(t)}{{\sum }_{j=1}^n\mathbb{P}\left(E_{t+1}|F_j\cap E_t\right)P_j(t)}.$$

习题 1.9.6. 设 $E,F$ 为两个事件, 证明如下四个命题等价:

1.	$\mathbb{P}(E\cap F)=\mathbb{P}(E)\mathbb{P}(F)$, 即 $E$ 与 $F$ 独立.
2.	$\mathbb{P}(E^c\cap F)=\mathbb{P}(E^c)\mathbb{P}(F)$, 即 $E^c$ 与 $F$ 独立.
3.	$\mathbb{P}(E\cap F^c)=\mathbb{P}(E)\mathbb{P}(F^c)$, 即 $E$ 与 $F^c$ 独立.
4.	$\mathbb{P}(E^c\cap F^c)=\mathbb{P}(F^c)\mathbb{P}(E^c)$, 即 $E^c$ 与 $F^c$ 独立.

习题 1.9.7. 设 $E_1,\dots ,E_n$ 为相互独立的事件, 证明$$\mathbb{P}(E_1\cup \cdots \cup E_n)=1-\prod _{i=1}^n(1-\mathbb{P}(E_i))\ge 1-\exp \left(-\sum _{i=1}^n\mathbb{P}(E_i)\right).$$

习题 1.9.8. 有一副去掉大小王的扑克牌共 52 张, 将这 52 张牌洗牌后发给 4 个人, 每人 13 张, 则每个人牌中都包含一张 A 的概率是多少?

习题 1.9.9. 设一个班上有 $m$ 位同学出生在 2023 年, 并设这 $m$ 名同学的生日服从 $\Omega =\{(b_1,\dots ,b_m)\mid b_i\in \{1,2,\dots ,365\},\forall i\}$ 上的古典概型.

1.	试求这 $m$ 位同学中至少有两位生日相同的概率.
2.	当 $m$ 的取值为多少时这个概率大于 $1/2$?

习题 1.9.10. 设有 A、B、C、D 四个国家, 它们通过两两谈判的方式决定两个国家之间是否开通双向的直飞航班. 设每一对国家谈判成功 (即开通双向直飞航班) 的概率为 $p$, 而谈判破裂的概率为 $1-p$.

1.	从 D 国出发搭乘直飞或中转航线能够到达 A 国的概率;
2.	在 A 国与 B 国间没有直飞航班的条件下, 从 D 国出发搭乘直飞或中转航线能够到达 A 国的条件概率;
3.	在 B 国与 C 国间没有直飞航班的条件下, 从 D 国出发搭乘直飞或中转航线能够到达 A 国的条件概率;
4.	在 D 国与 A 国间没有直飞航班的条件下, 从 D 国出发搭乘中转航线能够到达 A 国的条件概率.

注: 本题改编自 [6] 第 1.8 节第 19 题.

习题 1.9.11. 设有 $k$ 个罐子, 每个罐子当中一开始有 $r$ 个红球和 $b$ 个蓝球. 现从第 1 个罐子中随机取一个球放入第 2 个罐子中并搅匀, 再从第 2 个罐子中随机取一个球放入第 3 个罐子中并搅匀…… 直到从 $k-1$ 个罐子中取出一球放入第 $k$ 个罐子中并搅匀. 则此时从第 $k$ 个罐子中随机取出一球为红球的概率是多少?

习题 1.9.12. 设有 $N+1$ 枚不均匀的硬币, 其中第 $i$ 枚硬币抛出正面的概率为 $p_i=(i-1)/N$. 你从这 $N+1$ 枚硬币中随机选取一枚, 然后重复抛这枚硬币 $m$ 次. 假设 $N$ 非常大, 试求这 $m$ 次抛出结果均为正面的条件下, 你再抛一次这枚硬币结果为正面的概率.

注: 本题改编自 [5] 第一章的习题 46.

习题 1.9.13 (秘书问题, secretary problem). 假设某公司的经理需要从 $N$ 个候选人中招聘一位秘书, 招聘的流程如下: 首先用公平抽签的方式决定这 $N$ 个候选人的面试顺序, 而后经理按顺序依次对候选人进行单独面试, 每面试一个候选人, 经理会根据候选人作为秘书的资质对其进行打分, 而后当场决定是否录用该候选人, 若决定录用则整个招聘流程结束, 剩余的候选人也被淘汰; 若决定不录用则继续面试下一个候选人, 该候选人直接被淘汰. 直到面试到最后一个候选人, 此时这个候选人将直接被录用. 假设这些候选人作为秘书的资质都各不相同.

为了招聘到资质足够高的秘书, 经理决定采用如下策略:

•	对于前 $M$ 个候选人均选择不予录用, 并记录下这 $M$ 个候选人的最高分.
•	从第 $M+1$ 个候选人开始, 若其分数超过前 $M$ 人的最高分则录用该候选人, 否则淘汰该候选人, 直至面试到最后一人.

试求这种策略下, 被录用的人在所有候选人中资质最高的概率, 并在 $N$ 非常大的情况下, 求出使得该概率 (近似) 取到最大值的 $M$.

习题 1.9.14 (赌徒破产问题, gambler’s ruin problem). 甲与乙两个人参与了如下游戏过程: 总共有 $N$ 张扑克牌, 游戏开始时甲手上有 $i$ 张, 乙手上有 $N-i$ 张. 随后甲乙两人抛一枚硬币, 若硬币正面朝上则甲从乙那里拿一张扑克牌到自己手里, 若硬币反面朝上则乙从甲那里拿一张扑克牌到自己手里. 甲乙两人重复这个抛硬币—拿扑克牌的过程, 直到一个人手上的扑克牌全都被拿光, 则另一个人获胜. 设抛硬币的结果相互独立, 硬币正面朝上的概率为 $p\in \left]0,1\right[$. 我们希望求出两人各自获胜的概率.

1.	对任意 $i\in \{0,\dots ,N\}$, 记 $P_i$ 为初始时甲手上有 $i$ 张牌的情况下最终甲获胜的概率. 证明$$P_i=p\cdot P_{i+1}+(1-p)\cdot P_{i-1},\forall i=1,\dots ,N-1.$$(1.9.1)提示: 可以利用如下直观上易接受的事实 (不要求严格证明): 在第一次抛硬币为正面的条件下, 甲赢得游戏的条件概率为 $P_{i+1}$; 在第一次抛硬币为反面的条件下, 甲赢得游戏的条件概率为 $P_{i-1}$.
2.	证明 $(P_{i+1}-P_i{)}_{i=0}^{N-1}$ 构成一等比数列, 并求出其通项.
3.	求出 $P_1$ 的值. 提示: 利用 $1=P_N-P_0={\sum }_{i=0}^{N-1}(P_{i+1}-P_i)$. 注意区分 $p=1/2$ 与 $p\ne 1/2$ 的情形.
4.	求出 $1\le i\le N-1$ 时 $P_i$ 的值.

习题 1.9.15. 设一架满员的客机开始登机, 然而第一位登机的旅客在廊桥上不慎丢失了登机牌, 在不知道座位号码的情况下他随机选了一个位置就坐. 接下来登机的旅客若发现自己的位置已经被别人乘坐, 就在剩余的空座位上随机选一个位置就坐, 否则还是坐到自己原定的位置上. 试求最后一位登机的乘客在自己原定位置上就坐的概率.

习题 1.9.16. (${}^{\star }$) 设 $E_1,E_2,E_3,\dots$ 为一列事件, 且对任意正整数 $i$ 均有 $\mathbb{P}(E_i)=1$. 证明$$\mathbb{P}\left(\bigcap _{i=1}^{\infty }{E}_i\right)=1,$$也就是说, 可数多个几乎必然发生的事件的交依然是几乎必然发生的.