1.8. (⋆) 概率的连续性

概率的连续性是证明概率论中许多重要结论的基本工具, 本节对其进行简要介绍.

定义 1.8.1. 设 $E_1,E_2,E_3,\dots$ 为一列事件.

1.	我们称事件列 $E_1,E_2,E_3,\dots$ 是递增的, 若对任意正整数 $n$, 均有 $E_n\subseteq E_{n+1}$. 对于递增的事件列 $E_1,E_2,E_3,\dots$, 我们定义其极限为$$\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n=\bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_n.$$
2.	我们称事件列 $E_1,E_2,E_3,\dots$ 是递减的, 若对任意正整数 $n$, 均有 $E_{n+1}\subseteq E_n$. 对于递减的事件列 $E_1,E_2,E_3,\dots$, 我们定义其极限为$$\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n=\bigcap _{n=1}^{\infty }{E}_n.$$

定理 1.8.2. 设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为一概率空间, $E_1,E_2,E_3,\dots$ 为 $\mathcal{F}$ 中一列递增或递减的事件, 则$$\mathbb{P}\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\mathbb{P}(E_n).$$

证明. 首先考虑 $E_1,E_2,E_3,\dots$ 递增的情形. 令$$F_n=E_n\backslash \bigcup _{i=1}^{n-1}{F}_i,n=1,2,\dots$$(当 $n=1$ 时我们取 ${\bigcup }_{i=1}^{n-1}{F}_i=\varnothing$), 则不难看出对任意正整数 $n$, 有$$\bigcup _{i=1}^n{F}_i=F_n\cup \bigcup _{i=1}^{n-1}{F}_i=\left(E_n\backslash \bigcup _{i=1}^{n-1}{F}_i\right)\cup \bigcup _{i=1}^{n-1}{F}_i=E_n$$以及 $F_n=E_n\backslash E_{n-1}$ (这里取 $E_0=\varnothing$). 从而对于任意正整数 $i<j$, 有$$\begin{array}{rl}{F}_i\cap F_j=& \left(E_i\backslash E_{i-1}\right)\cap \left(E_j\backslash E_{j-1}\right)\\ =& \left(E_i\cap E_{i-1}^c\right)\cap \left(E_j\cap E_{j-1}^c\right)\\ \subseteq & E_i\cap E_{j-1}^c=\varnothing ,\end{array}$$其中最后一步用到了 $E_i\subseteq E_{j-1}$, 因此 $F_1,F_2,F_3,\dots$ 两两互斥. 此外, $$\begin{array}{rl}\bigcup _{n=1}^{\infty }{F}_n=& \left\{\omega \in \Omega \mid \text{存在正整数 n 使得 ω∈EnEn−1}\right\}\\ =& \left\{\omega \in \Omega \mid \text{存在正整数 n 使得 ω∈En}\right\}\\ =& \bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n.\end{array}$$故由概率的可数可加性得$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n\right)=& \mathbb{P}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }{F}_n\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mathbb{P}(F_n)\\ =& \underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\mathbb{P}(F_i)=\underset{n\to \infty }{\lim }\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{F}_i\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\mathbb{P}(E_n).\end{array}$$

而若 $E_1,E_2,E_3,\dots$ 为递减的事件列, 则不难看出 $E_1^c,E_2^c,E_3^c,\dots$ 递增, 且$$\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n=\bigcap _{n=1}^{\infty }{E}_n={\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_n^c\right)}^c={\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n^c\right)}^c,$$故由递增情形的结论可得$$\mathbb{P}\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n\right)=1-\mathbb{P}\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n^c\right)=1-\underset{n\to \infty }{\lim }\mathbb{P}(E_n^c)=\underset{n\to \infty }{\lim }\mathbb{P}(E_n).$$定理得证.

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