1.7. 事件的独立性

定义 1.7.1. 设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为一概率空间, $E,F$ 为 $\mathcal{F}$ 中的两个事件. 我们称 $E$ 与 $F$ 相互独立 (independent), 若$$\mathbb{P}(E\cap F)=\mathbb{P}(E)\mathbb{P}(F).$$

不难看出, 当 $\mathbb{P}(F)>0$ 时, $\mathbb{P}(E\cap F)=\mathbb{P}(E)\mathbb{P}(F)$ 等价于 $\mathbb{P}\left(E|F\right)=\mathbb{P}(E)$, 因而 $E$ 与 $F$ 相互独立可以直观解释为事件 $F$ 的发生并不影响事件 $E$ 的概率. 同理, 当 $\mathbb{P}(E)>0$ 时, $E$ 与 $F$ 相互独立可以直观解释为事件 $E$ 的发生并不影响事件 $F$ 的概率.

例 1.7.2 (古典概型中的独立性). 设一个随机试验总共有两个阶段, 其中第一个阶段总共有 $m$ 种可能结果, 第二个阶段总共有 $n$ 种可能的结果, 且每种结果的可能性相同. 对于这样的随机试验, 我们将第一阶段的结果用 $1,\dots ,m$ 标号, 将第二阶段的结果用 $1,\dots ,n$ 标号, 则可以取样本空间为$$\begin{array}{rl}\Omega & =\left\{({\omega }_1,{\omega }_2)\mid {\omega }_1\in \{1,\dots ,m\},{\omega }_2\in \{1,\dots ,n\}\right\}\\ & =\{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\},\end{array}$$并取 $(\Omega ,2^{\Omega },\mathbb{P})$ 为古典概型.

现对任意 $A\subseteq \{1,\dots ,m\}$ 与 $B\subseteq \{1,\dots ,n\}$, 令$$\begin{array}{rl}{E}_{1,A}=& \left\{({\omega }_1,{\omega }_2)\mid {\omega }_1\in A\right\}=\{\text{第一个阶段的结果属于集合A}\},\\ E_{2,B}=& \left\{({\omega }_1,{\omega }_2)\mid {\omega }_2\in B\right\}=\{\text{第二个阶段的结果属于集合B}\}.\end{array}$$则$$\mathbb{P}(E_{1,A}\cap E_{2,B})=\mathbb{P}(\left\{({\omega }_1,{\omega }_2)\mid {\omega }_1\in A,{\omega }_2\in B\right\})=\mathbb{P}(A\times B)=\frac{|A|\cdot |B|}{m\cdot n},$$而$$\mathbb{P}(E_{1,A})=\frac{|A|\cdot n}{m\cdot n}=\frac{|A|}{m},\mathbb{P}(E_{2,B})=\frac{m\cdot |B|}{m\cdot n}=\frac{|B|}{n},$$故$$\mathbb{P}(E_{1,A}\cap E_{2,B})=\mathbb{P}(E_{1,A})\mathbb{P}(E_{2,B}).$$以上结果可以总结为如下结论: 设一个两阶段的随机试验服从古典概型, 且第二阶段可能发生的结果与第一阶段的结果无关, 那么当事件 $E$ 发生与否完全取决于第一阶段的结果, 且事件 $F$ 发生与否完全取决于第二阶段的结果时, $E$ 与 $F$ 是相互独立的.

接下来我们将独立性这一概念推广到多个事件上.

定义 1.7.3. 设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为一概率空间, $\mathcal{I}$ 为一非空集合, 且每个 $i\in \mathcal{I}$ 对应于一个 $\mathcal{F}$ 中的事件 $E_i$. 我们称事件族 $\{E_i,i\in \mathcal{I}\}$ 中的事件相互独立 (mutually independent), 若对任意 $\mathcal{I}$ 的非空有限子集 $\mathcal{J}$, 都有$$\mathbb{P}\left(\bigcap _{j\in \mathcal{J}}{E}_j\right)=\prod _{j\in \mathcal{J}}\mathbb{P}\left(E_j\right).$$

例如, 设 $E,F,G$ 为三个事件, 则这三个事件相互独立的充要条件是如下四个等式成立: $$\begin{array}{rlrl}\mathbb{P}(E\cap F)& =\mathbb{P}(E)\mathbb{P}(F),& \mathbb{P}(E\cap G)& =\mathbb{P}(E)\mathbb{P}(G),\\ \mathbb{P}(F\cap G)& =\mathbb{P}(F)\mathbb{P}(G),& \mathbb{P}(E\cap F\cap G)& =\mathbb{P}(E)\mathbb{P}(F)\mathbb{P}(G).\end{array}$$

例 1.7.2 的结论可推广到多阶段的随机试验中: 设一个 $r$ 阶段的随机试验服从古典概型, 且每个阶段可能发生的结果与其它阶段的结果均无关, 那么给定一组事件 $E_1,\dots ,E_r$, 当各个事件 $E_i$ 发生与否完全取决于第 $i$ 阶段的结果时, 这组事件 $E_1,\dots ,E_r$ 是相互独立的. 该结论的证明留给读者自行完成.

例 1.7.4 (本例改编自 [5] 第一章的习题 31.c). 仍考虑例 1.6.6 中传感器向服务器上传数据的问题, 则传感器与服务器之间的信道可以等效为图 1 所示, 其中我们用 $p_0$ 表示符号 $0$ 传输不出错的概率, 用 $p_1$ 表示符号 $1$ 传输不出错的概率. 我们进一步假设在依次传输多个符号时, 各个符号是否传输错误是相互独立的. 为了提升传输的正确率, 我们考虑如下策略: 传感器每次都会将同一个符号连续发送 3 次, 而服务器在收到 3 个依次传输的符号后, 找出其中占多数的符号作为最终的结果. 例如, 若服务器收到 $010$, 则认为传感器发送的是符号 $0$. 在这种策略下, 符号 $0$ 能够被正确传输的概率是多少?

用 $G$ 表示服务器最终能正确接收传感器发送的符号 $0$, 用 $F_i,i=1,2,3$ 表示符号 $0$ 在第 $i$ 次传输时没有出现错误, 则有$$G=(F_1\cap F_2\cap F_3)\cup (F_1^c\cap F_2\cap F_3)\cup (F_1\cap F_2^c\cap F_3)\cup (F_1\cap F_2\cap F_3^c),$$从而由概率的有限可加性可得$$\mathbb{P}(F)=\mathbb{P}(F_1\cap F_2\cap F_3)+\mathbb{P}(F_1^c\cap F_2\cap F_3)+\mathbb{P}(F_1\cap F_2^c\cap F_3)+\mathbb{P}(F_1\cap F_2\cap F_3^c).$$而由 $F_1,F_2,F_3$ 相互独立, 可得$$\mathbb{P}(F_1\cap F_2\cap F_3)=\mathbb{P}(F_1)\mathbb{P}(F_2)\mathbb{P}(F_3)=p_0^3,$$而$$\mathbb{P}(F_1^c\cap F_2\cap F_3)=\mathbb{P}(F_1^c)\cap \mathbb{P}(F_1)\cap \mathbb{P}(F_3)=(1-p_0)p_0^2,$$且同理有 $\mathbb{P}(F_1\cap F_2^c\cap F_3)=\mathbb{P}(F_1\cap F_2\cap F_3^c)=(1-p_0)p_0^2$. 故$$\mathbb{P}(G)=p_0^3+3(1-p_0)p_0^2\approx \mathrm{0.9546.}$$

同理可得, 通过将单个符号重复传输 3 次, 符号 $1$ 被正确传输的概率能被提升至 $p_1^3+3(1-p_1)p_1^2\approx 0.8355$.

图 1. 例 1.7.4 中的等效信道图示, 其中 $p_0=0.871375$, $p_1=0.74275$.