3.3. 连续型随机变量的独立性

在第 2.4 节中, 我们已经给出了随机变量独立性的一般性定义 (即定义 2.4.1), 该定义自然也适用于连续型随机变量. 本节只介绍连续型随机变量相互独立的充要条件: 两个连续型随机变量相互独立, 当且仅当其联合概率密度函数可表示为各自 (边缘) 概率密度函数的乘积; 这个结论与离散情形下的定理 2.4.2 相对应.

定理 3.3.1. 设 $X,Y$ 为两个连续型随机变量, $f_X,f_Y$ 为各自的概率密度函数. 则以下三个命题等价:

1.	$X$ 与 $Y$ 相互独立.
2.	$(X,Y)$ 为连续型随机向量, 且其联合概率密度函数可表示为$$f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y),(x,y)\in {\mathbb{R}}^2.$$(3.3.1)
3.	$(X,Y)$ 为连续型随机向量, 且存在函数 $g,h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 使得 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数可表示为$$f_{X,Y}(x,y)=g(x)\cdot h(y),(x,y)\in {\mathbb{R}}^2.$$(3.3.2)

证明.

•	命题 1 $\Rightarrow$ 命题 2: 设 $X,Y$ 相互独立. 任取区间 $I,J\subseteq \mathbb{R}$, 则有$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}((X,Y)\in I\times J)& =\mathbb{P}(X\in I,Y\in J)\\ & =\mathbb{P}(X\in I)\cdot \mathbb{P}(Y\in J)\\ & ={\int }_I{f}_X(x)\mathrm{d}x{\int }_J{f}_Y(y)\mathrm{d}y\\ & ={\iint }_{I\times J}{f}_X(x)\cdot f_Y(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\end{array}$$将上式与定义 3.2.1 对照, 可得 $(X,Y)$ 为连续型随机向量, 且函数 $(x,y)\mapsto f_X(x)\cdot f_Y(y)$ 给出了 $(X,Y)$ 的一个联合概率密度函数.
•	命题 2 $\Rightarrow$ 命题 1: 设 (3.3.1) 成立. 任取区间 $I,J\subseteq \mathbb{R}$, 则$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(X\in I,Y\in J)& =\mathbb{P}((X,Y)\in I\times J)\\ & ={\iint }_{I\times J}{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\iint }_{I\times J}{f}_X(x)\cdot f_Y(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_I{f}_X(x)\mathrm{d}x{\int }_J{f}_Y(y)\mathrm{d}y=\mathbb{P}(X\in I)\cdot \mathbb{P}(X\in J).\end{array}$$由区间 $I,J$ 的任意性可得 $X,Y$ 相互独立.
•	命题 2 $\Rightarrow$ 命题 3: 显然.
•	命题 3 $\Rightarrow$ 命题 2: 证明思路与离散情形相类似, 具体细节留给读者自行完成. $\square$