3.2. 连续型随机向量

为教学上的方便, 本节中主要介绍二维连续型随机向量的相关概念与结果, 但它们不难推广到更一般的 $n$ 维情况.

定义 3.2.1. 称随机向量 $(X,Y)$ 为一连续型随机向量, 若存在非负二元函数 $f_{X,Y}:{\mathbb{R}}^2\to \left[0,+\infty \right[$, 使得对任意区间 $I,J\subseteq \mathbb{R}$, 有$$\mathbb{P}((X,Y)\in I\times J)={\iint }_{I\times J}{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$(3.2.1)函数 $f_{X,Y}$ 被称为随机向量 $(X,Y)$ 的一个联合概率密度函数 (joint probability density function, joint p.d.f.).

对于连续型随机向量 $(X,Y)$, 虽然定义 3.2.1 仅直接给出了 $(X,Y)$ 取值于矩形区域中的概率, 但对于常见的 ${\mathbb{R}}^2$ 的子集 $B$, 原则上均可证明$$\mathbb{P}((X,Y)\in B)={\iint }_B{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$其中积分 ${\iint }_B{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 可以理解为 ${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{1}_B(x,y)\cdot f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$. 上式的严格证明属于高等概率论的内容, 本讲义不做要求, 但读者应能够熟练运用.

与一维情形类似, 若 $(X,Y)$ 为连续型随机向量, 则其联合概率密度函数 $f_{X,Y}$ 满足

1.	(非负性) 对任意 $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, 均有 $f_{X,Y}(x,y)\ge 0$;
2.	(归一性) ${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$.

该结论的证明留给读者完成. 这个结论的逆命题也同样成立: 若二元函数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 满足非负性与归一性条件, 则存在一概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 及其上的连续型随机向量 $(X,Y)$, 使得 $f$ 为 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数. 该逆命题的证明不做要求.

需要指出的是, 当 $X$ 与 $Y$ 分别为连续型随机变量时, $(X,Y)$ 并不一定是连续型随机向量. 例如, 若 $X$ 服从 $\left[0,1\right]$ 上的均匀分布, 而 $Y=-X$, 则 $X,Y$ 均为连续型随机变量, 但由于 $\mathbb{P}(X+Y=0)=1$, 而对任意非负的可积函数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \left[0,+\infty \right[$, 均有$${\iint }_{B}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0,\text{其中}B=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x+y=0\},$$可知 $(X,Y)$ 不是连续型随机向量.

但另一方面, 可以证明, 若 $(X,Y)$ 为连续型随机向量, 则 $X$ 与 $Y$ 均为连续型随机变量, 且他们各自的概率密度函数可由联合概率密度函数 $f_{X,Y}$ 求得.

定理 3.2.2. 设 $(X,Y)$ 为连续型随机向量, 其联合分布密度函数为 $f_{X,Y}$. 则 $X$ 与 $Y$ 均为连续型随机变量, 且二者的概率密度函数分别为$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}y,\forall x\in \mathbb{R},\\ f_Y(y)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x,\forall y\in \mathbb{R}.\end{array}$$

证明. 任取区间 $I\subseteq \mathbb{R}$, 并令 $J=\left]-\infty ,+\infty \right[$, 则由定义 3.2.1, 有$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(X\in I)& =\mathbb{P}((X,Y)\in I\times J)\\ & ={\iint }_{I\times J}{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_I\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x.\end{array}$$观察上式并与定义 3.1.1 及式 (3.1.1) 对比, 即可看出 $X$ 为连续型随机变量, 其概率密度函数为$$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}y.$$对于随机变量 $Y$ 同理.

$\square$

我们将定理 3.2.2 中 $X,Y$ 的概率密度函数 $f_X,f_Y$ 分别称为 $f_{X,Y}$ 关于第 1 个与第 2 个分量的边缘概率密度函数 (marginal probability density function, marginal p.d.f.).