4.1. 随机变量函数的分布

本节中我们主要考虑这样一类问题: 给定 $n$ 维随机向量 $\mathbf{X}$ 并知道它的联合分布 (以联合分布列/联合概率密度函数/联合分布函数的形式给出), 以及 (向量值) 函数 $\mathbf{g}:\mathrm{Im}\mathbf{X}\to {\mathbb{R}}^m$, 如何求出 $m$ 维随机向量 $\mathbf{Y}=\mathbf{g}(\mathbf{X})$ 的联合分布? 一般来说这类问题需要具体情况具体分析, 并没有完全通用的方法. 第二章的例 2.2.5、2.3.4 与 2.4.3 已经对 $\mathbf{X}$ 为离散型的一些情况进行了讨论, 本节中我们将对其它一些特殊情况进行介绍.

连续型随机变量函数的分布

先考虑一个比较简单的情况: 设 $X$ 为一连续型随机变量, 其概率密度函数 $f_X$ 已知, $g$ 为一元实值函数, 其定义域包含 $X$ 的值域. 我们想要考察 $Y=g(X)$ 的概率分布.

当函数 $g$ 的值域为可数集时, 可知 $Y=g(X)$ 的值域也必定是可数集, 从而 $Y$ 必定为一离散型随机变量, 只需计算其分布列即可完整描述其概率分布: $$p_Y(y)=\mathbb{P}(g(X)=y)={\int }_{g(x)=y}{f}_X(x)\mathrm{d}x.$$换句话说, 我们需要先对任意 $y\in \mathrm{Im}g$ 求出方程 $g(x)=y$ 的解集 $\{x\mid g(x)=y\}$, 而后在这个解集上对概率密度函数 $f_X$ 进行积分.

当函数 $g$ 的值域为不可数集时, 我们通常需要求解 $Y=g(X)$ 的分布函数: $$F_Y(y)=\mathbb{P}(g(X)\le y)={\int }_{g(x)\le y}{f}_X(x)\mathrm{d}x,\forall y\in \mathbb{R}.$$为计算上式右端积分, 需要对任意 $y\in \mathbb{R}$ 求解不等式 $g(x)\le y$, 再在解集 $\{x\mid g(x)\le y\}$ 上对概率密度函数 $f_X$ 进行积分.

例 4.1.1. 设 $X$ 服从 $\left]0,1\right[$ 上的均匀分布. 令 $F:\mathbb{R}\to \left]0,1\right[$ 为一连续且严格单调递增的函数, 且满足$$\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1.$$由数学分析知识可证明 $F$ 有连续且严格单调递增的反函数 $F^{-1}:\left]0,1\right[\to \mathbb{R}$. 我们考虑随机变量 $Y=F^{-1}(X)$ 的分布: 注意到对任意 $x\in \left]0,1\right[$ 及 $y\in \mathbb{R}$, $F^{-1}(x)\le y$ 当且仅当 $x\le F(y)$, 故$$\mathbb{P}(Y\le y)=\mathbb{P}(F^{-1}(X)\le y)=\mathbb{P}(X\le F(y))={\int }_{-\infty }^{F(y)}{1}_{\left]0,1\right[}(x)\mathrm{d}x=F(y),$$故 $Y=F^{-1}(X)$ 的分布函数就是 $F$.

这个例子为生成概率分布为 $F$ 的随机数提供了一种方法: 若 $F$ 连续且严格单调递增, 则可以首先生成一个服从 $\left]0,1\right[$ 上均匀分布的随机数 $x$, 然后求出方程 $F(y)=x$ 的解 $y$, 此时 $y$ 作为一个随机数, 即服从 $F$ 给出的概率分布. 需要注意的是, 该方法中需要求解方程 $F(y)=x$, 这在许多实际情况中会有困难.

当函数 $g$ 的性质较好 (例如 $g$ 在定义域上除开有限多个点可导, 且导函数的零点只有有限多个) 时, 应检查一下是否能将 $F_Y(y)$ 表示为一个函数在区间 $\left]-\infty ,y\right]$ 上的积分, 或是检查 $F_Y$ 是否连续并在除开个别点以后处处可导, 因为这意味着 $Y$ 为连续型随机变量, 我们可以用概率密度函数来描述其概率分布. 我们用两个例子对此进行进一步说明.

例 4.1.2. 设 $X$ 为一连续型随机变量, $Y=X^2$. 为了求出 $Y$ 的分布, 我们考察其分布函数 $F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)$. 显然 $y\le 0$ 时有 $\mathbb{P}(Y\le y)=0$, 而 $y>0$ 时, $$F_Y(y)=\mathbb{P}(X^2\le y)=\mathbb{P}(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})={\int }_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}{f}_X(x)\mathrm{d}x.$$上式右端在 $y\to 0^{+}$ 时趋于 $0$, 且对任意 $y>0$ 均可导, 其导函数为$$\frac{f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})}{2\sqrt{y}},$$故不难看出 $Y$ 为一连续型随机变量, 其概率密度函数为$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})}{2\sqrt{y}},& y>0,\\ 0,& y\le 0.\end{array}$$特别是, 当 $X\sim \mathcal{N}(0,1)$ 时, 有$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{y}^{-1/2}{\mathrm{e}}^{-y/2},& y>0,\\ 0,& y\le 0,\end{array}$$此时我们称 $Y$ 服从自由度为 $1$ 的 ${\mathbf{\chi }}^2$ 分布.

例 4.1.3. 设 $X$ 为一连续型随机变量, 其值域为 $\left]-1,1\right[$ 的子集, 概率密度函数为 $f_X$, 而 $Y=\sqrt{1-X^2}$. 为了求出 $Y$ 的分布, 我们考察其分布函数 $F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)$. 不难看出对任意 $y<0$ 有 $\mathbb{P}(Y\le y)=0$, 而对任意 $y\ge 1$ 有 $\mathbb{P}(Y\le y)=1$. 当 $0\le y<1$ 时, 有$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(Y\le y)& =\mathbb{P}\left(\sqrt{1-X^2}\le y\right)=\mathbb{P}\left(X^2\ge 1-y^2\right)\\ & =\mathbb{P}\left(\left\{X\ge \sqrt{1-y^2}\right\}\cup \left\{X\le -\sqrt{1-y^2}\right\}\right)\\ & =\mathbb{P}\left(X\ge \sqrt{1-y^2}\right)+\mathbb{P}\left(X\le -\sqrt{1-y^2}\right)\\ & ={\int }_{\sqrt{1-y^2}}^1{f}_X(x)\mathrm{d}x+{\int }_{-1}^{-\sqrt{1-y^2}}{f}_X(x)\mathrm{d}x.\end{array}$$注意到上式右端在 $y\in \left[0,1\right[$ 时均可导, 其导函数为$$\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\cdot \left(f_X\left(\sqrt{1-y^2}\right)+f_X\left(-\sqrt{1-y^2}\right)\right).$$此外, $F_Y(y)$ 在 $y=0$ 与 $y=1$ 处均连续. 故不难看出 $Y$ 为一连续型随机变量, 其概率密度函数由$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\cdot \left(f_X\left(\sqrt{1-y^2}\right)+f_X\left(-\sqrt{1-y^2}\right)\right),& 0\le y<1,\\ 0,& y<0\text{或}y\ge 1.\end{array}$$给出.

接下来我们考虑一个更具体的特殊情况: 设函数 $g$ 定义在开区间 $\left]a,b\right[$ 上且为严格单调递增的连续函数 (允许 $a=-\infty$ 或 $b=+\infty$). 由基本的数学分析知识可知, $g$ 的值域也为某个开区间 $\left]\alpha ,\beta \right[$ (允许 $\alpha =-\infty$ 或 $\beta =+\infty$), 且存在定义在 $\left]\alpha ,\beta \right[$ 上的严格单调递增的反函数 $h$: $$h(g(x))=x,\forall x\in \left]a,b\right[.$$我们进一步假定 $h$ 在 $\left]\alpha ,\beta \right[$ 上处处可导.

我们利用前面给出的方法求解 $Y=g(X)$ 的分布函数. 由于 $X$ 为一连续型随机变量, 且对任意 $x\in \left]a,b\right[$, $g(x)\le y$ 当且仅当 $x\le h(y)$, 故 $y\in \left]\alpha ,\beta \right[$ 时, 有$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& =\mathbb{P}(g(X)\le y)\\ & ={\int }_{g(x)\le y}{f}_X(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_a^{h(y)}{f}_X(x)\mathrm{d}x,\end{array}$$接下来利用定积分换元公式做换元 $x=h(t)$, 可得 $\alpha <y<\beta$ 时有$$F_Y(y)={\int }_{\alpha }^y{f}_X(h(t))\cdot h^{\prime }(t)\mathrm{d}t,$$而 $y\le \alpha$ 时 $F_Y(y)=\mathbb{P}(g(X)\le y)=0$, $y\ge \beta$ 时 $F_Y(y)=\mathbb{P}(g(X)\le y)=1$. 此外, $\alpha$ 为有限实数时, $F_Y(y)$ 在 $y=\alpha$ 处连续; $\beta$ 为有限实数时, $F_Y(y)$ 在 $y=\beta$ 处连续. 综上可知 $Y$ 为一连续型随机变量, 其概率密度函数为$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{f}_X(h(y))\cdot h^{\prime }(y),& y\in \left]\alpha ,\beta \right[,\\ 0,& y\notin \left]\alpha ,\beta \right[.\end{array}.$$

上述推导过程同样可用于 $g$ 在 $\left]a,b\right[$ 上连续、严格递减且存在可导反函数的情形, 具体的推导步骤这里不再展开. 综上, 可得如下结论:

定理 4.1.4. 设 $X$ 为一连续型随机变量, $\left]a,b\right[$ 为一包含 $X$ 值域的开区间 (允许 $a=-\infty$ 或 $b=+\infty$), 函数 $g:\left]a,b\right[\to \mathbb{R}$ 连续、严格单调且值域为 $\left]\alpha ,\beta \right[$ (允许 $\alpha =-\infty$ 或 $\beta =+\infty$), 其反函数 $h:\left]\alpha ,\beta \right[\to \left]a,b\right[$ 处处可导. 则 $Y=g(X)$ 为一连续型随机变量, 其概率密度函数为$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{f}_X(h(y))\cdot |h^{\prime }(y)|,& y\in \left]\alpha ,\beta \right[,\\ 0,& y\notin \left]\alpha ,\beta \right[.\end{array}$$

连续型随机向量函数的分布

本小节中我们考虑二维连续型随机向量的函数的分布: 设 $(X,Y)$ 为连续型随机向量, 其概率密度函数 $f_{X,Y}$ 已知, $g$ 为二元实值函数, 其定义域包含 $(X,Y)$ 的值域. 我们想要考察 $Z=g(X,Y)$ 的概率分布.

与一维情形类似, 当函数 $g$ 的值域为可数集时, $Z=g(X,Y)$ 为一离散型随机变量, 只需计算其分布列即可完整描述其概率分布: $$p_Y(z)=\mathbb{P}(g(X,Y)=z)={\iint }_{g(x,y)=z}{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\forall z\in \mathbb{R}.$$而若 $g$ 的值域为不可数集, 则通常从 $Z=g(X,Y)$ 的分布函数入手: $$F_Z(z)=\mathbb{P}(g(X,Y)\le z)={\iint }_{g(x,y)\le z}{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$对于二维情况, 区域 $\{(x,y)\mid g(x,y)\le z\}$ 通常会更加复杂, 一般我们会考虑将其分解为可数个不相交的简单区域, 而后在这些简单区域上求解重积分, 最后求和. 此外, 也不要忘记检查 $Z$ 是否是连续型随机变量, 并进一步求它的概率密度函数来描述其概率分布. 我们用几个例子对此进行说明.

例 4.1.5 (独立变量最大值的分布). 设 $X,Y$ 相互独立, 我们希望考查 $Z=\max \{X,Y\}$ 的概率分布. 先暂时不假定 $X,Y$ 为连续型随机变量, 则 $Z$ 的分布函数为$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(Z\le z)& =\mathbb{P}(\max \{X,Y\}\le z)\\ & =\mathbb{P}(X\le z,\dots ,Y\le z)\\ & =\mathbb{P}(X\le z)\cdots \mathbb{P}(Y\le z)=F_X(z)\cdot F_Y(z),\end{array}$$其中第二步是因为 $\max \{x,y\}\le z$ 当且仅当 $x\le z$ 且 $y\le z$, 而第三步则用到了独立性.

下面进一步假定 $X,Y$ 均为连续型随机变量, 其概率密度函数分别为 $f_X$ 与 $f_Y$. 则此时 $Z$ 也是连续型随机变量, 其概率密度函数 $f_Z$ 可通过导函数的莱布尼兹律得到: $$f_Z(z)=f_X(z)F_Y(z)+F_X(z)f_Y(z).$$若 $X,Y$ 还服从同一个分布, 记它们的分布函数为 $F$, 概率密度函数为 $f$, 则有$$f_Z(z)=2F(z)f(z).$$

利用类似的方法, 读者可自行推导 $X_1,\dots ,X_n$ 相互独立时 $\max \{X_1,\dots ,X_n\}$ 以及 $\min \{X_1,\dots ,X_n\}$ 的分布.

例 4.1.6 (连续型随机向量的和的分布). 设 $(X,Y)$ 为连续型随机向量, 其联合概率密度函数为 $f_{X,Y}$, 令 $Z=X+Y$. 则 $Z$ 的分布函数为$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =\mathbb{P}(X+Y\le z)\\ & ={\iint }_{x+y\le z}{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left({\int }_{-\infty }^{z-x}{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left({\int }_{-\infty }^z{f}_{X,Y}(x,t-x)\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^z\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X,Y}(x,t-x)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}t,\end{array}$$其中第三步将重积分化为了累次积分, 而第四步则对积分 ${\int }_{-\infty }^{z-x}{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}y$ 进行了换元 $t=y+x$. 观察上式最右端即可看出 $Z$ 为连续型随机变量, 其概率密度函数为$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X,Y}(x,z-x)\mathrm{d}x,z\in \mathbb{R}.$$对上式中的积分做换元 $y=z-x$ 还能得到$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X,Y}(z-y,y)\mathrm{d}y,z\in \mathbb{R}.$$若 $X,Y$ 还相互独立, 则有$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)\mathrm{d}yz\in \mathbb{R}.$$上式也被称为卷积公式 (convolution formula) .

例 4.1.7. 设 $X_1,\dots ,X_n$ 相互独立且均服从参数为 $\lambda$ 的指数分布. 则$$\begin{array}{rl}{f}_{X_1+X_2}(z)=& {\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X_1}(x)f_{X_2}(z-x)\mathrm{d}x\\ =& \{\begin{array}{ll}{\int }_0^z{\lambda }^2\cdot {\mathrm{e}}^{-\lambda z}\mathrm{d}x={\lambda }^{2}z{\mathrm{e}}^{-\lambda z},& \text{若}z>0,\\ 0,& \text{若}z\le 0.\end{array}\end{array}$$以及$$\begin{array}{rl}{f}_{X_1+X_2+X_3}(z)=& {\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X_1+X_2}(x)f_{X_3}(z-x)\mathrm{d}x\\ =& \{\begin{array}{ll}{\int }_0^z{\lambda }^{3}x{\mathrm{e}}^{-\lambda z}\mathrm{d}x=\frac{{\lambda }^3}{2}{z}^2{\mathrm{e}}^{-\lambda z},& \text{若}z>0,\\ 0,& \text{若}z\le 0.\end{array}\end{array}$$重复上述递推过程, 不难得到$$f_{X_1+\cdots +X_n}(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\lambda }^n}{(n-1)!}{z}^{n-1}{\mathrm{e}}^{-\lambda z},& \text{若}z>0,\\ 0,& \text{若}z\le 0.\end{array}$$一般地, 给定正实数 $\alpha ,\beta$, 若随机变量 $Z$ 的概率密度函数为$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{z}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-\beta z},& \text{若}z>0,\\ 0,& \text{若}z\le 0,\end{array}$$(4.1.1)则称 $Z$ 服从参数为 $(\alpha ,\beta )$ 的 Gamma 分布 (Gamma distribution).

(${}^{\star }$) 连续型随机向量经过可逆变换后的分布

本小节中我们考虑这样一个情形: $\mathbf{X}=(X,Y)$ 为连续型随机向量, 其联合概率密度函数为 $f_{X,Y}:{\mathbb{R}}^2\to \left[0,+\infty \right[$. $\mathcal{D}$ 与 $\mathcal{R}$ 均为平面 ${\mathbb{R}}^2$ 的开子集, 且 $\mathcal{D}$ 包含 $(X,Y)$ 的值域. 映射 $\mathbf{g}:\mathcal{D}\to \mathcal{R}$ 为双射, 且 $\mathbf{g}$ 与其逆映射 ${\mathbf{g}}^{-1}$ 均连续可微. 令$$(U,V)=\mathbf{g}(X,Y).$$我们希望求解随机向量 $(U,V)$ 的联合分布.

由于 $\mathbf{g}$ 为双射且 $\mathbf{g}$ 与 ${\mathbf{g}}^{-1}$ 均连续可微, 故直观上 $(U,V)$ 应当是一个连续型随机向量, 这里我们直接求解 $(U,V)$ 的联合概率密度函数. 任取区间 $I,J\subseteq \mathbb{R}$, 并记$$B=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|\mathbf{g}(x,y)\in I\times J\right\},$$也就是说, $B$ 当中的点 $(x,y)$ 都是使得 $\mathbf{g}(x,y)$ 取值落在矩形区域 $I\times J$ 中的那些点. 则有$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}((U,V)\in I\times J)& =\mathbb{P}\left((X,Y)\in B\right)={\iint }_B{f}_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\iint }_{\mathcal{D}}{1}_B(x,y)\cdot f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\iint }_{\mathcal{R}}{1}_B\left({\mathbf{g}}^{-1}(u,v)\right)\cdot f_{X,Y}\left({\mathbf{g}}^{-1}(u,v)\right)\cdot \left|\det \mathrm{D}{\mathbf{g}}^{-1}(u,v)\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v.\end{array}$$这里对上式最右端的符号以及最后一个等号做一些说明: $\det$ 表示取行列式, $\mathrm{D}{\mathbf{g}}^{-1}(u,v)$ 表示向量值函数 ${\mathbf{g}}^{-1}$ 在点 $(u,v)$ 处的雅可比矩阵; 若记 ${\mathbf{g}}^{-1}$ 的两个分量为 $h_1,h_2$ (它们均为定义在 $\mathcal{R}$ 上的连续可微函数), 则$$\det \mathrm{D}{\mathbf{g}}^{-1}(u,v)=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial h_1(u,v)}{\partial u}& \frac{\partial h_1(u,v)}{\partial v}\\ \frac{\partial h_2(u,v)}{\partial u}& \frac{\partial h_2(u,v)}{\partial v}\end{array}\right|;$$此外, 我们还对上式第二行中的重积分进行了换元 $(x,y)={\mathbf{g}}^{-1}(u,v)$, 并利用了如下换元定理:

定理 4.1.8 (重积分换元定理). 设 $\mathcal{R}$ 和 $\mathcal{D}$ 均为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集, $\mathbf{\phi }$ 为 $\mathcal{R}\to \mathcal{D}$ 的双射, 且 $\mathbf{\phi }$ 与 ${\mathbf{\phi }}^{-1}$ 均连续可微, 则对于 $\mathcal{D}$ 上的任意可积函数 $f$, 有$${\int }_{\mathcal{D}}f(\mathbf{x})\mathrm{d}\mathbf{x}={\int }_{\mathcal{R}}f(\mathbf{\phi }(\mathbf{y}))\left|\det \mathrm{D}\mathbf{\phi }(\mathbf{y})\right|\mathrm{d}\mathbf{y}.$$

关于上述定理更详细的信息可参考 [10] 第 10.6 节, 而若读者对勒贝格积分没有了解, 则可参考 [11] 第 13.5 及 13.6 节给出的上述定理的黎曼积分版本.

我们继续上面的推导: $$\begin{array}{rl}\mathbb{P}((U,V)\in I\times J)& ={\iint }_{\mathcal{R}}{1}_B\left({\mathbf{g}}^{-1}(u,v)\right)\cdot f_{X,Y}\left({\mathbf{g}}^{-1}(u,v)\right)\cdot \left|\det \mathrm{D}{\mathbf{g}}^{-1}(u,v)\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ & ={\iint }_{\mathcal{R}}{1}_{I\times J}\left(u,v\right)\cdot f_{X,Y}\left({\mathbf{g}}^{-1}(u,v)\right)\cdot \left|\det \mathrm{D}{\mathbf{g}}^{-1}(u,v)\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ & ={\iint }_{I\times J}{f}_{U,V}(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v,\end{array}$$其中第二步是因为 ${\mathbf{g}}^{-1}(u,v)\in B$ 当且仅当 $(u,v)\in I\times J$, 而最后一步中我们令$$f_{U,V}(u,v)=\{\begin{array}{ll}{f}_{X,Y}\left({\mathbf{g}}^{-1}(u,v)\right)\cdot \left|\det \mathrm{D}{\mathbf{g}}^{-1}(u,v)\right|,& \text{若}(u,v)\in \mathcal{R},\\ 0,& \text{若}(u,v)\notin \mathcal{R}.\end{array}$$由于 $I,J$ 可以是任意的两个区间, 由连续型随机向量的定义可知, $(U,V)$ 为连续型随机向量, 其联合概率密度函数即为 $f_{U,V}$.

我们将以上结果总结为如下定理:

定理 4.1.9. 设 $(X,Y)$ 为连续型随机向量, 其联合概率密度函数为 $f_{X,Y}$. $\mathcal{D}$ 与 $\mathcal{R}$ 均为平面 ${\mathbb{R}}^2$ 的开子集, 且 $\mathcal{D}$ 包含 $(X,Y)$ 的值域. $\mathbf{g}:\mathcal{D}\to \mathcal{R}$ 为一双射, 且 $\mathbf{g}$ 与 ${\mathbf{g}}^{-1}$ 均连续可微. 则 $(U,V)=\mathbf{g}(X,Y)$ 为连续型随机向量, 其联合概率密度函数为$$f_{U,V}(u,v)=\{\begin{array}{ll}{f}_{X,Y}\left({\mathbf{g}}^{-1}(u,v)\right)\cdot \left|\det \mathrm{D}{\mathbf{g}}^{-1}(u,v)\right|,& \text{若}(u,v)\in \mathcal{R},\\ 0,& \text{若}(u,v)\notin \mathcal{R}.\end{array}$$(4.1.2)其中 $\mathrm{D}{\mathbf{g}}^{-1}(u,v)$ 表示 ${\mathbf{g}}^{-1}$ 在 $(u,v)$ 处的雅可比矩阵.

该定理的一个重要特殊情形是 $\mathbf{g}$ 为一可逆仿射变换, 也就是说存在可逆实方阵 $\mathbf{A}=\left[a_{ij}\right]$ 与实向量 $\mathbf{b}=(b_1,b_2)$ 使得 ¹$$\mathbf{g}(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+b_2\end{array}\right],\forall \mathbf{x}=(x_1,x_2)\in {\mathbb{R}}^2.$$此时有$$\det \mathrm{D}{\mathbf{g}}^{-1}(\mathbf{y})=\det \left({\mathbf{A}}^{-1}\right)=\frac{1}{\det \mathbf{A}},\forall \mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^2,$$故我们有如下推论:

推论 4.1.10. 设 $\mathbf{X}$ 为二维连续型随机向量, 其联合概率密度函数为 $f_{\mathbf{X}}$, $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ 为可逆实方阵, $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^2$ 为实向量. 则 $\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{b}$ 为连续型随机向量, 其联合概率密度函数为$$f_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y})=f_{\mathbf{X}}\left({\mathbf{A}}^{-1}(\mathbf{y}-\mathbf{b})\right)\cdot \frac{1}{|\det \mathbf{A}|},\forall \mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^2.$$(4.1.3)

定理 4.1.9 与推论 4.1.10 不难推广到一般的 $n$ 维连续型随机向量的情形.