8. Dirac 算子

Dirac 算子的理论起源于量子力学. 为了在量子力学中引入狭义相对论, 需要对波函数的 Laplace 算子开平方而得到 Hamilton 算子. 如果波函数是普通的复值函数, 那么开平方的操作是不可能做到的. Dirac 因而提出, 波函数应该是取值于某个 ${\mathbb{C}}^n$ 的函数. 这个空间 ${\mathbb{C}}^n$ 被称为旋量空间 (spinor space). 在这个框架下, Dirac 的 Hamilton 算子自然地给出了 Clifford 代数在旋量空间中的表示.

Dirac 算子与 Clifford 代数

在这一节中, 设 $M$ 是 $n$ 维 Riemann 流形, $E\to M$ 是光滑向量丛.

定义 8.1. $E$ 上的一个 Dirac 算子 (Dirac operator) 是一个一阶微分算子 $D:\Gamma (E)\to \Gamma (E)$, 使得 $D^2$ 是广义 Laplace 算子.

例 8.2. 若 $E={\wedge }^{\bullet }{T}^{\ast }M$ 是微分形式的向量丛, 则 $d+d^{\ast }$ 是一个 Dirac 算子. 它的平方是 $$(d+d^{\ast }{)}^2=d{d}^{\ast }+d^{\ast }d,$$称为微分形式的 Laplace 算子. 它与 Levi-Civita 联络给出的 Laplace 算子相差一个曲率项. 这一关系称为 Weitzenböck 恒等式, 这里就不详述了. 再例如, 若 $M$ 是 Kähler 流形, $E$ 是全纯微分形式的向量丛, 则 $\overline{\partial }+\overline{\partial }{}^{\ast }$ 是一个 Dirac 算子. 此时, 相应的 Weitzenböck 恒等式被称为 Bochner–小平 (Kodaira) 恒等式.

下面, 设 $D$ 是 $E$ 上的一阶微分算子. 则在局部坐标系中, 它具有$$D=\sum _{k=1}^n{a}^k{\partial }_k+b$$的形式, 其中 $a^k,b\in \Gamma (\mathrm{End}(E))$. 从而$$D^2=\frac{1}{2}(a^i{a}^j+a^j{a}^i){\partial }_i{\partial }_j+(\text{一阶算子}),$$其中系数 $1/2$ 是因为 ${\partial }_i{\partial }_j$ 和 ${\partial }_j{\partial }_i$ 在求和时被重复计算了. 因此, $D$ 是 Dirac 算子等价于$$a^i{a}^j+a^j{a}^i=-2g^{ij}.$$这个关系启发了 Clifford 代数的定义.

定义 8.3. 设 $V$ 是 $n$ 维实向量空间, $Q$ 是 $V$ 上的二次型, 等同地看作对称双线性型. Clifford 代数定义为商代数 $$\mathrm{Cl}(V,Q)=\frac{T(V)}{v\cdot w+w\cdot v=-2Q(v,w)},$$其中 $T(V)={⨁}_{k\ge 0}{V}^{\otimes k}$ 是 $V$ 上的张量代数. 如果 $Q$ 非退化, 其标准型中有 $p$ 个正项和 $q$ 个负项, 我们就记 $${\mathrm{Cl}}_{p,q}(V)=\mathrm{Cl}(V,Q).$$我们记 $\mathrm{Cl}(V)={\mathrm{Cl}}_{n,0}(V)$.

不难看出, $\mathrm{Cl}(V,Q)$ 的维数是 $2^n$, 它的一组基是$$\{e_{i_1}\cdots e_{i_k}\mid i_1<\cdots <i_k\},$$其中 $\{e_i\}$ 是 $V$ 的一组基.

例 8.4. 我们有 $\mathrm{Cl}({\mathbb{R}}^2)\simeq \mathbb{H}$. 事实上, 记 $\mathrm{i},\mathrm{j}$ 为 ${\mathbb{R}}^2$ 的标准正交基, 则 Clifford 代数的定义给出的关系是 $${\mathrm{i}}^2={\mathrm{j}}^2=-1,\mathrm{i}\mathrm{j}+\mathrm{j}\mathrm{i}=0.$$

由于张量代数的 $\mathbb{Z}$-分次在 $\mathrm{Cl}(V,Q)$ 中得到保留, 后者也是 $\mathbb{Z}$-分次代数. 特别地, 我们有:

命题 8.5. Clifford 代数是超代数.

$\square$

定义 8.6. 一个 Clifford 模是指 Clifford 代数 $\mathrm{Cl}(V,Q)$ 在一个超向量空间 $E$ 中的表示. 也就是说, 我们有 (保持 ${\mathbb{Z}}_2$-分次的) 超代数同态 $$\mathrm{Cl}(V,Q)\to \mathrm{End}(E).$$

例 8.7. 超向量空间 ${\wedge }^{\bullet }V$ 具有自然的 $\mathrm{Cl}(V,Q)$-模的结构, 定义为 $$v\cdot \alpha =v\wedge \alpha -Q(v,-)┘\alpha (v\in V,\alpha \in {\wedge }^{\bullet }V),$$其中 $┘$ 表示缩并. 若取 $V$ 关于 $Q$ 的一组正交基 $\{e_1,\dots ,e_n\}$, 则上式可以写成 $$e_i\cdot (e_{i_1}\wedge \cdots \wedge e_{i_k})=\{\begin{array}{ll}{e}_i\wedge e_{i_1}\wedge \cdots \wedge e_{i_k},& i\notin \{i_1,\dots ,i_k\},\\ -Q(e_i)e_{i_2}\wedge \cdots \wedge e_{i_k},& i=i_1.\end{array}$$映射 $$\sigma :\mathrm{Cl}(V,Q)\stackrel{\cdot 1}{⟶}{\wedge }^{\bullet }V$$是超向量空间的同构, 称为符号映射 (symbol map).

旋量群

旋量群 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$ 的一个著名的性质是, 它是 $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$ 的双重覆叠 (在 $n\ge 3$ 时是万有覆叠). 也就是说, 我们有 Lie 群的正合列$$0\to {\mathbb{Z}}_2\to \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)\to \mathrm{S}\mathrm{O}(n)\to 0.$$通过 Clifford 代数, 我们可以得到旋量群的一个具体的构造.

定义 8.8. 设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间. 我们定义 Lie 代数 $$\mathfrak{s}\mathfrak{p}\mathfrak{i}\mathfrak{n}(V)=\mathrm{Cl}(V{)}_2$$为 Clifford 代数中分次为 $2$ 的部分, 其 Lie 括号就是 Clifford 代数中的交换子.

换言之, 如果 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的一组标准正交基, 那么$$\mathfrak{s}\mathfrak{p}\mathfrak{i}\mathfrak{n}(V)=\mathrm{span}\{e_i{e}_j\mid i\ne j\},$$这里, 注意到我们有反交换关系 $$e_i{e}_j=-e_j{e}_i.$$

命题 8.9. Lie 代数 $\mathfrak{s}\mathfrak{p}\mathfrak{i}\mathfrak{n}(V)$ 可以作用在 $V\subset \mathrm{Cl}(V)$ 上, 作用的方式是 $a\cdot v=[a,v]$. 这个作用诱导了 Lie 代数同构 $$\mathfrak{s}\mathfrak{p}\mathfrak{i}\mathfrak{n}(V)\simeq \mathfrak{s}\mathfrak{o}(V).$$

证明. 首先, 我们说明对应的映射 $\phi :\mathfrak{s}\mathfrak{p}\mathfrak{i}\mathfrak{n}(V)\to \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ 的像落在 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(V)$ 中. 取 $V$ 的标准正交基 $e_1,\dots ,e_n$. 则元素 $e_i{e}_j\in \mathfrak{s}\mathfrak{p}\mathfrak{i}\mathfrak{n}(V)$ 的作用是 $$\{\begin{array}{l}{e}_i\mapsto 2e_j,\\ e_j\mapsto -2e_i,\\ e_k\mapsto 0(k\ne i,j).\end{array}$$这一线性映射的矩阵是反对称矩阵. 这也说明 $\phi$ 是单射. 但 $\dim \mathfrak{s}\mathfrak{p}\mathfrak{i}\mathfrak{n}(V)=\dim {\wedge }^{2}V=\dim \mathfrak{s}\mathfrak{o}(V)$, 从而 $\phi$ 是到 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(V)$ 的同构.

$\square$

定义 8.10. $V$ 的旋量群 (spin group) 定义为 $$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(V)=\exp (\mathfrak{s}\mathfrak{p}\mathfrak{i}\mathfrak{n}(V)),$$其中 $\exp$ 是指在 $\mathrm{Cl}(V)$ 中的幂级数.

事实上, Lie 理论告诉我们, $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(V)$ 是一个以 $\mathfrak{s}\mathfrak{p}\mathfrak{i}\mathfrak{n}(V)$ 为 Lie 代数的连通 Lie 群, 它是 $\mathrm{Cl}(V)$ 的偶数阶元素的乘法群的 Lie 子群.

例 8.11. 设 $\{e_i\}$ 是 $V$ 的标准正交基. 则 $i\ne j$ 时, $(e_i{e}_j{)}^2=-1$. 因此 $$\exp (t{e}_i{e}_j)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{t^k}{k!}(e_i{e}_j{)}^k=\cos t+(\sin t)e_i{e}_j(t\in \mathbb{R}).$$特别地, 当 $\dim V=2$ 时, 我们得到了圆圈群 $$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(2)\simeq S^1.$$当 $\dim V=3$ 时, 我们可以将 $\mathrm{Cl}(V)$ 的子代数 $\mathrm{span}\{1,e_1{e}_2,e_2{e}_3,e_3{e}_1\}$ 和 $\mathbb{H}$ 等同起来. 此时, 旋量群就是单位四元数的乘法群: $$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)\simeq S^3\subset \mathbb{H},$$因为指数映射会把虚四元数映到单位四元数.

命题 8.12. 当 $\dim V\ge 2$ 时, $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(V)$ 是 $\mathrm{S}\mathrm{O}(V)$ 的双重覆叠.

证明. 考虑 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(V)$ 在 $V$ 上的作用: $$g\cdot v=gv{g}^{-1}(g\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(V),v\in V).$$我们说明, 这个作用诱导了到 $\mathrm{S}\mathrm{O}(V)$ 的双重覆叠. 首先, 这个 Lie 群表示对应的 Lie 代数表示就是 (8.9) 给出的同构. 因此, 对应的映射 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(V)\to \mathrm{S}\mathrm{O}(V)$ 是覆叠映射. 因为元素 $-1\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(V)$ 的作用是平凡的, 所以这个覆叠至少是二重的. 但 $\dim V\ge 3$ 时, $\mathrm{S}\mathrm{O}(V)$ 的基本群是 ${\mathbb{Z}}_2$, 所以这个覆叠至多是二重的; $\dim V=2$ 的情况可以直接计算而得出.

$\square$

当 $\dim V=1$ 时, 为了和上述结论保持一致, 我们可以重新定义$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(1)=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(V)=\{\pm 1\}\subset \mathrm{Cl}(V).$$

旋量

旋量 (spinor) 的名字是仿照向量 (vector) 的名字而造出来的. 这样命名的原因是, 旋量和向量有类似的性质, 它们的区别在于, 向量的旋转是在 $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$ 中完成的, 而旋量的旋转是在 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$ 中完成的, 因此, 旋量有时需要转两圈, 才能回到原来的位置.

例如, 手的角度 (旋转位置) 可以由一个单位旋量描述. 伸出右手, 掌心向上, 然后将手掌逆时针旋转一周. 这时, 手臂会处于一个不自然的位置. 接下来, 将手举过头顶, 不改变手的朝向. 这样, 手掌可以继续逆时针旋转一周 (从下向上看是顺时针), 然后恢复到正常的位置. 这一过程说明, 手需要旋转两周才能回到原来的位置.

事实上, 在三维空间中, 旋量构成的空间就是 $\mathbb{H}$, 而旋量群 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)$ 是单位四元数的乘法群, 它通过乘法作用在旋量空间上.

一般地说, 旋量空间 (spinor space), 即所有旋量构成的空间, 是旋量群 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$ 的一个表示, 并且, 这个表示无法通过 $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$ 的表示得到.

定理 8.13. 设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间.

•	若 $n$ 为偶数, 则存在一个 $2^{n/2}$ 维复 Clifford 模 $S$, 使得 $$\mathrm{Cl}(V)\otimes \mathbb{C}\simeq \mathrm{End}(S),$$这个同构与二者在 $S$ 上的作用相容. 并且, $\dim S^{+}=\dim S^{-}=2^{n/2-1}$.
•	若 $n$ 为奇数, 则存在一个 $2^{(n-1)/2}$ 维复 Clifford 模 $S$, 它不带有 ${\mathbb{Z}}_2$-分次, 使得作为普通 (非 ${\mathbb{Z}}_2$-分次) 的代数, 有 $$\mathrm{Cl}(V)\otimes \mathbb{C}\simeq \mathrm{End}(S)\oplus \mathrm{End}(S),$$这个同构与二者在 $S$ 上的作用相容.

在两种情况下, 超向量空间 $S$ 称为旋量空间 (spinor space).

在证明定理之前, 我们先给出这一结果的一些推论.

我们知道, 矩阵代数 $\mathrm{End}(S)$ 是单代数, 它唯一的不可约表示就是它在 $S$ 上的作用. 因此, 定理蕴涵了以下结论.

推论 8.14. 若 $n$ 为偶数, 则 $\mathrm{Cl}(V)$ 的所有复表示都具有 $$W\otimes S$$的形式, 其中 $W$ 是超向量空间, 带有平凡的 Clifford 作用.

$\square$

因为旋量群 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(V)$ 是 Clifford 代数的乘法子群, 所以, 定理也蕴涵了关于旋量群的表示的结论.

推论 8.15. 旋量空间 $S$ 是旋量群 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(V)$ 的一个表示. 当 $n$ 为偶数时, 它分裂成旋量群的两个不可约表示 $$S=S^{+}\oplus S^{-}.$$当 $n$ 为奇数时, $S$ 本身就是不可约的.

证明. 记 ${\mathrm{Cl}}^{+}(V)\subset \mathrm{Cl}(V)$ 为偶数阶元素构成的子代数, 则 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(V)\subset {\mathrm{Cl}}^{+}(V)$. 因为 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(V)$ 包含 ${\mathrm{Cl}}^{+}(V)$ 作为向量空间的一组基, 所以 ${\mathrm{Cl}}^{+}(V)$ 的不可约表示一定诱导 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(V)$ 的不可约表示. 当 $n$ 为偶数时, $${\mathrm{Cl}}^{+}(V)\otimes \mathbb{C}\simeq {\mathrm{End}}^{+}(S)\simeq \mathrm{End}(S^{+})\oplus \mathrm{End}(S^{-}),$$从而 $S$ 分裂为 ${\mathrm{Cl}}^{+}(V)$ 的两个不可约表示, 即 $S^{+}$ 和 $S^{-}$. 当 $n$ 为奇数时, 定理的证明 (在下方) 表明 $${\mathrm{Cl}}^{+}(V)\otimes \mathbb{C}\simeq \mathrm{End}(S).$$$\square$

定理 8.13 的证明. 取 $V$ 的标准正交基 $e_1,\dots ,e_n$. 若 $n$ 是偶数, 我们令 $$\begin{array}{rl}P& =\mathrm{span}(e_1-\mathrm{i}{e}_2,e_3-\mathrm{i}{e}_4,\dots ,e_{n-1}-\mathrm{i}{e}_n),\\ S& ={\wedge }^{\bullet }P.\end{array}$$则 $V\otimes \mathbb{C}=P\oplus \overline{P}$. 我们定义 $\mathrm{Cl}(V)\otimes \mathbb{C}$ 在 $S$ 上的作用如下: 对 $v\in V\otimes \mathbb{C}$, $s\in S$, 定义 $$v\cdot s=\{\begin{array}{ll}\sqrt{2}v\wedge s,& v\in P,\\ -\sqrt{2}Q(v,-)┘s,& v\in \overline{P},\end{array}$$其中记号的意义同 (8.7). 因为 $\dim \mathrm{Cl}(V)=2^n=(\dim S{)}^2$, 并且, 通过计算可以验证, $\mathrm{Cl}(V)$ 非零元素的作用都非零. 因此, 这个作用诱导了同构 $$\mathrm{Cl}(V)\otimes \mathbb{C}\simeq \mathrm{End}(S).$$

若 $n$ 是奇数, 记 $W=\mathrm{span}(e_1,\dots ,e_{n-1})$. 我们有 (非 ${\mathbb{Z}}_2$-分次的) 同构 $$\begin{array}{rl}(\mathrm{Cl}(W)\oplus \mathrm{Cl}(W))\otimes \mathbb{C}& \simeq \mathrm{Cl}(V)\otimes \mathbb{C},\\ (e_{i_1}\cdots e_{i_k},0)& \mapsto \frac{1}{2}(e_{i_1}\cdots e_{i_k}+(-1{)}^{\sigma }{\mathrm{i}}^{(n+1)/2}{e}_{j_1}\cdots e_{j_{n-k}}),\\ (0,e_{i_1}\cdots e_{i_k})& \mapsto \frac{1}{2}(e_{i_1}\cdots e_{i_k}-(-1{)}^{\sigma }{\mathrm{i}}^{(n+1)/2}{e}_{j_1}\cdots e_{j_{n-k}}),\end{array}$$其中 $j_1,\dots ,j_{n-k}$ 表示 $1,\dots ,n$ 中除了 $i_1,\dots ,i_k$ 外的指标, $\sigma$ 是 $1,\dots ,n$ 的排列 $i_1,\dots ,i_k,j_1,\dots ,j_{n-k}$ 的奇偶性.

$\square$

流形上的 Clifford 模

为了将 Clifford 代数的理论应用到 Dirac 算子上, 我们需要在流形上考虑余切空间的 Clifford 代数, 它们构成一个向量丛.

定义 8.16. 设 $M$ 是流形. $M$ 上的 Clifford 丛 $$\mathrm{Cl}(M)\to M$$是在点 $x\in M$ 处的纤维为 $\mathrm{Cl}(T_x^{\ast }M)$ 的代数丛. $M$ 上的一个 Clifford 模是一个超向量丛 $$E\to M,$$带有 Clifford 丛的作用.

为了将上一小节的理论应用到这一情形, 我们还需要将旋量空间也变成 $M$ 上的向量丛. 这需要 $M$ 具有一个旋量结构.

定义 8.17. 设 $E\to M$ 是秩为 $n$ 的可定向光滑实向量丛. $E$ 的一个旋量结构 (spin structure) 是一个 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$-主丛 $$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(E)\to M,$$使得它对应的 $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$-主丛与 $E$ 对应的 $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$-主丛同构. 流形 $M$ 的一个旋量结构是指余切丛 $T^{\ast }M$ 上的旋量结构. 带有一个旋量结构的流形称为旋量流形 (spin manifold).

旋量结构的存在性可以通过示性类来判断.

定理 8.18. 设 $E\to M$ 是秩为 $n$ 的可定向光滑实向量丛. 则 $E$ 上存在旋量结构, 当且仅当其第二 Stiefel–Whitney 类消失, 即 $$w_2(E)=0.$$

这一结论的证明可参见 [LM89, 定理 II.1.7].

定义 8.19. 设 $M$ 是旋量流形. 则 $M$ 上的旋量丛 (spinor bundle) $$S(M)\to M$$是一个复向量丛, 其纤维是由 $M$ 的旋量结构给出的旋量空间.

具体地说, 这一定义是这样完成的: $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$-主丛的转移映射是到 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$ 的映射, 而 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$ 可以映到 $\mathrm{End}(S)$, 给出旋量丛的转移映射.

当 $\dim M$ 是偶数时, 旋量丛是一个超向量丛 $S^{+}(M)\oplus S^{-}(M)$, 也是 $M$ 上的 Clifford 模. 由前几个小节的讨论, 我们得到下面的结论.

命题 8.20. 设 $M$ 是偶数维旋量流形. 则 $M$ 上的每个复 Clifford 模都具有 $$W\otimes S(M)$$的形式, 其中 $W$ 是超向量丛, 带有 Clifford 丛的平凡作用.

证明. 我们只指出下面的事实: 如果 $E\simeq W\otimes S$ 是 Clifford 代数 $\mathrm{Cl}(V)$ 上的模, 那么 $W\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cl}(V)}(S,E)$.

$\square$

Dirac 算子与 Clifford 超联络

现在, 我们可以让 Dirac 算子回到我们的视野了.

定义 8.21. 设 $E\to M$ 是光滑的超向量丛. $E$ 上的 Dirac 算子的定义和之前一样, 但我们额外要求 $D$ 是奇算子, 它把 $E^{\pm }$ 的截面分别变成 $E^{\mp }$ 的截面.

设 $D:\Gamma (E)\to \Gamma (E)$ 是 Dirac 算子. 则局部坐标下, $D$ 具有如下形式:$$D=\sum _k{a}^k{\partial }_k+b,$$其中系数 $a^k\in \Gamma ({\mathrm{End}}^{-}(E))$ 满足 Clifford 代数的关系. 因此, Clifford 丛 $\mathrm{Cl}(M)$ 可以通过这些 $a^k$ 作用在 $E$ 上, 这赋予了 $E$ 一个 Clifford 模的结构.

反过来, 在每个 Clifford 模上, 我们可以构造出相应的 Dirac 算子, 但常数项 $b$ 可以随意改变. 因此, 这些 Dirac 算子构成一个 $\Gamma ({\mathrm{End}}^{-}(E))$-齐性空间.

下面, 我们打算把一个 Clifford 模上的 Dirac 算子与 Clifford 超联络对应起来.

定义 8.22. Clifford 模 $E$ 上的 Clifford 超联络是指一个超联络 ${\nabla }^E$, 满足如下的 Leibniz 法则: 若 $a\in \Gamma (\mathrm{Cl}(M))$, $X\in \Gamma (TM),$ $s\in \Gamma (E)$, 则 $${\nabla }_X^E(a\cdot s)=({\nabla }_{X}a)\cdot s+(-1{)}^{|a|}a\cdot {\nabla }_X^{E}s,$$其中 $\nabla$ 是 Levi-Civita 联络. 这个关系可以更简洁地写成 $$[{\nabla }^E,a\cdot ]=\nabla a\cdot .$$

命题 8.23. 设 $M$ 是偶数维旋量流形. 则 Levi-Civita 联络诱导了旋量丛 $S=S(M)$ 上的 Clifford 超联络 ${\nabla }^S$.

证明. ${\nabla }^S$ 的构造如下: 标架丛 $\mathrm{S}\mathrm{O}(T^{\ast }M)$ 上的 Levi-Civita 联络诱导了主丛 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(M)$ 上的联络, 而由旋量丛 $S$ 的构造, 这个联络诱导了 $S$ 上的联络 ${\nabla }^S$. 为了验证 ${\nabla }^S$ 是 Clifford 超联络, 只需验证它诱导的 $\mathrm{End}(S)$ 上的联络与 Clifford 丛的 Levi-Civita 联络相同. 我们知道, $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)\subset {\mathrm{Cl}}^{+}(n)$ 包含了后者的一组基. 定义 $$\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)=\{1,e_1\}\cdot \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)\subset \mathrm{Cl}(n),$$则 $\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$ 包含 $\mathrm{Cl}(N)$ 的一组基. 事实上, Lie 群 $\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$ 有两个连通分支, 其单位元所在的分支就是 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$, 另一个分支包含于 ${\mathrm{Cl}}^{-}(n)$. 主丛 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(M)$ 诱导了 $\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$-主丛 $\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{n}(M)$, 它的联络就同时诱导了 $\mathrm{End}(S)$ 的联络和 Clifford 丛的联络.

$\square$

事实上, 超联络 ${\nabla }^S$ 在以下意义上是最本质的 Clifford 超联络.

命题 8.24. 设 $M$ 是偶数维旋量流形, $W\to M$ 是复超向量丛. 则有一一对应 $$\begin{array}{rl}\{W\text{上的超联络}\}& \leftrightarrow \{W\otimes S\text{ 上的 Clifford 超联络}\},\\ {\nabla }^W& \leftrightarrow {\nabla }^W\otimes 1+1\otimes {\nabla }^S.\end{array}$$

证明. 留给读者.

$\square$

下面, 我们构造 Clifford 超联络所对应的 Dirac 算子.

设 $M$ 是偶数维旋量流形, $E\to M$ 是 Clifford 模, 带有 Clifford 超联络 $\nabla$. 则在局部坐标下, 这个联络作用在 $E$ 的截面上时具有如下形式:$$\nabla =\sum _{i=1}^{n}d{x}^i\otimes {\partial }_i+\sum _{\alpha }d{x}^{\alpha }\otimes b_{\alpha },$$其中 $\alpha$ 是 $M$ 方向的多重指标 (我们不妨只考虑递增排列､无重复的多重指标), $b_{\alpha }$ 是 $\mathrm{End}(E)$ 的截面, 其奇偶性与 $|\alpha |$ 相反. 这里, 联络的一阶导数项是 $d{x}^i\otimes {\partial }_i$, 因为任何联络都满足这一点.

我们对应地定义 Dirac 算子$$D_{\nabla }=\sum _{i=1}^n(d{x}^i\cdot )\circ {\partial }_i+\sum _{\alpha }(d{x}^{\alpha }\cdot )\circ b_{\alpha },$$这里 $\cdot$ 表示 Clifford 作用, 例如 $d{x}^i$ 的作用就是我们之前的记号 $a^i$.

这一定义可以写成坐标无关的形式:

定义 8.25. 设 $M$ 是偶数维旋量流形, $E\to M$ 是 Clifford 模, 带有 Clifford 超联络 $\nabla$. 则 Dirac 算子 $D_{\nabla }$ 定义为 $$D_{\nabla }:\Gamma (E)\stackrel{\nabla }{⟶}{\Omega }^{\bullet }(M,E)\simeq \Gamma ({\wedge }^{\bullet }{T}^{\ast }M\otimes E)\stackrel{{\sigma }^{-1}}{\underset{\simeq }{⟶}}\Gamma (\mathrm{Cl}(M)\otimes E)\stackrel{\text{作用}}{⟶}\Gamma (E),$$其中 $\sigma$ 是 (8.7) 中的符号映射.

定理 8.26. 设 $M$ 是偶数维旋量流形, $E\to M$ 是复 Clifford 模. 则上述对应关系是一一对应: $$\begin{array}{rl}\{E\text{ 上的 Clifford 超联络}\}& \leftrightarrow \{E\text{ 上的 Dirac 算子}\},\\ \nabla & \leftrightarrow D_{\nabla }.\end{array}$$这里, 我们当然要求 Dirac 算子是与 $E$ 的 Clifford 模结构相容的.

证明. 我们已经给出了从左边集合到右边集合的映射. 我们还需要证明这个映射是双射. 我们回忆, 右边的集合是 $\Gamma ({\mathrm{End}}^{-}(E))$-齐性空间. 而 (8.20) 说明 $E$ 一定能写成 $E\simeq W\otimes S$ 的形式, 因此, 有超向量丛的同构 $$\mathrm{End}(E)\simeq \mathrm{End}(S)\otimes \mathrm{End}(W)\simeq \mathrm{Cl}(M)\otimes {\mathrm{End}}_{\mathrm{Cl}(M)}(E),$$其中 ${\mathrm{End}}_{\mathrm{Cl}(M)}(E)$ 表示 $E$ 作为 Clifford 模的自同态, 不要求保持 ${\mathbb{Z}}_2$-分次. 从而, 我们有同构 $$\begin{gathered} \Gamma ({\mathrm{End}}^{-}(E))\simeq {\Gamma }^{-}(\mathrm{Cl}(M)\otimes {\mathrm{End}}_{\mathrm{Cl}(M)}(E)) \\ \stackrel{\sigma }{\underset{\simeq }{⟶}}{\Gamma }^{-}({\wedge }^{\bullet }{T}^{\ast }M\otimes {\mathrm{End}}_{\mathrm{Cl}(M)}(E))\simeq {\Omega }^{-}(M,{\mathrm{End}}_{\mathrm{Cl}(M)}(E)). \end{gathered}$$如果这个映射将截面 $s$ 映到形式 $\omega$, 那么 $$D_{\nabla }+s=D_{\nabla +\omega }.$$因此, 我们只需要验证, $\nabla +\omega$ 是 Clifford 超联络当且仅当 $$\omega \in {\Omega }^{-}(M,{\mathrm{End}}_{\mathrm{Cl}(M)}(E)).$$我们将这一验证留给读者.

$\square$