9. 指标定理 (上)

在这一节中, 我们将前两节的内容整合起来, 证明 Atiyah–Singer 指标定理.

Dirac 算子的指标

在这一小节中, 设 $M$ 是紧 Riemann 流形, $E\to M$ 是带有 Riemann 或 Hermite 度量的超向量丛 (我们要求 $E^{+}\perp E^{-}$), 并考虑 $E$ 上的自伴随 Dirac 算子 $D$. 也就是说, 我们有$$D=\left(\begin{array}{cc}0& D^{-}\\ D^{+}& 0\end{array}\right),D^{-}=(D^{+}{)}^{\ast },$$其中 $D^{\pm }:E^{\pm }\to E^{\mp }$. 例如, (8.2) 给出的例子 $d+d^{\ast }$ 和 $\overline{\partial }+\overline{\partial }{}^{\ast }$ 都是自伴随 Dirac 算子.

定义 9.1. 自伴随 Dirac 算子 $D$ 的指标 (index) 是 $$\begin{array}{rl}\mathrm{ind}(D)& ={\dim }_{\mathrm{s}}\ker D\\ & =\dim \ker D^{+}-\dim \ker D^{-}\\ & =\dim \ker D^{+}-\dim \mathrm{coker}{D}^{+}.\end{array}$$

$D$ 的指标是有限的, 因为$$D^2=D^{+}{D}^{-}+D^{-}{D}^{+}$$是广义 Laplace 算子, 它是二阶椭圆算子, 而分析学告诉我们如下事实:

事实 9.2. 算子 $D^2$ 定义了 Hilbert 空间 ${\Gamma }_{L^2}(E)$ 上的一个无界算子. 它将整个空间分成无限个特征子空间的 Hilbert 直和, 每个特征子空间都是有限维的, 且由光滑截面构成. 特别地, 它的核是有限维的. 通过特征子空间分解, 我们能定义算子 $$K_t={\mathrm{e}}^{-t{D}^2}.$$它是一个迹类算子 (trace-class operator), 也就是说, 它的迹是有限的. 特别地, 它是紧算子.

定理的证明可参见 [LM89, 定理 III.3.8]. 这里的 $K_t$ 与 §7 中一样, 给出了热方程初值问题的解.

我们取 ${\Gamma }_{L^2}(E)$ 的标准正交基 $\{e_i{\}}_{i=1}^{\infty }$, 使得$$D^2{e}_i={\lambda }_i{e}_i,\text{从而}{\mathrm{e}}^{-t{D}^2}{e}_i={\mathrm{e}}^{-t{\lambda }_i}{e}_i.$$则每个 $e_i$ 都是光滑截面. 不难算出, 算子 $D^2$ 的热核是$$k_t(x,y)=\sum _i{\mathrm{e}}^{-t{\lambda }_i}{e}_i(x)\otimes e_i^{\ast }(y),$$(9.2.1)这里 $e_i^{\ast }$ 是 $E^{\vee }$ 的截面, 它等于 $e_i$ 的对偶基乘以 $\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M{)}^{-1}$, 从而它与 $e_i$ 的配对的积分等于 $1$.

定理 9.3 (McKean–Singer). 设 $k_t$ 是算子 $D^2$ 的热核. 则对任意 $t>0$, 都有 $$\mathrm{ind}(D)={\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\mathrm{e}}^{-t{D}^2}={\int }_M{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{k}_t(x,x)dx.$$

证明. 注意到 $D^2$ 是偶算子, 即它分别作用在两个空间 $V^{\pm }={\Gamma }_{L^2}(E^{\pm })$ 上. 记 $V_{\lambda }^{\pm }\subset V^{\pm }$ 是 $D^2$ 的 $\lambda$-特征子空间. 则复合映射 $$V_{\lambda }^{+}\stackrel{D^{+}}{⟶}{V}_{\lambda }^{-}\stackrel{D^{-}}{⟶}{V}_{\lambda }^{+}$$是乘以 $\lambda$. 因此, 当 $\lambda \ne 0$ 时, $V_{\lambda }^{+}\simeq V_{\lambda }^{-}$, 从而 $${\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}\left({\mathrm{e}}^{-t{D}^2}{|}_{V_{\lambda }}\right)={\mathrm{e}}^{-t{\lambda }^2}{\dim }_{\mathrm{s}}{V}_{\lambda }=0.$$这就说明 $${\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\mathrm{e}}^{-t{D}^2}={\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}\left({\mathrm{e}}^{-t{D}^2}{|}_{\ker D}\right)={\dim }_{\mathrm{s}}\ker D=\mathrm{ind}(D),$$这就证明了第一个等号. 第二个等号是因为, 由热核的表达式 (9.2.1), 有 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\mathrm{e}}^{-t{D}^2}& =\sum _i\pm {\mathrm{e}}^{-t{\lambda }_i}\\ & =\sum _i{\int }_M{\mathrm{e}}^{-t{\lambda }_i}{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}(e_i(x)\otimes e_i^{\vee }(x))dx\\ & ={\int }_M{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{k}_t(x,x)dx.\end{array}$$$\square$

也就是说, Dirac 算子的指标等于热核的迹. 我们将在表达式中令 $t\to 0$, 这样, §7 中所做的渐进展开就能派上用场.

Atiyah–Singer 指标定理

我们回到上一节的设定. 设 $M$ 是偶数维紧旋量流形, $E\to M$ 是复 Clifford 模. 定义 $W={\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cl}(M)}(S,E)$, 从而$$E\simeq S\otimes W.$$设 $D$ 是 $E$ 上的 Dirac 算子, 它对应的 Clifford 超联络 (8.26) 记为 ${\nabla }^E$. 由 (8.24), 可以将 ${\nabla }^E$ 写成$${\nabla }^E={\nabla }^S+{\nabla }^W$$的形式, 其中 ${\nabla }^S,{\nabla }^W$ 分别是 $S$ 和 $W$ 上的联络. 则 ${\nabla }^E$ 的曲率是$${\Omega }^E=({\nabla }^S+{\nabla }^W{)}^2={\Omega }^S+{\Omega }^W,$$(9.3.1)这是因为在 $S\otimes W$ 上, ${\nabla }^S{\nabla }^W+{\nabla }^W{\nabla }^S=[{\nabla }^S,{\nabla }^W]=0$.

我们考虑算子 $D^2$ 的热核 $k_t$ 在对角线上的幂级数展开$$k_t(x,x)\sim \frac{1}{(4\pi t{)}^{n/2}}\sum _{i=0}^{\infty }{t}^i{k}_i(x),$$其中 $k_i\in \Gamma (\mathrm{End}(E))$. 我们回忆上一节定义的同构$$\begin{gathered} \Gamma (\mathrm{End}(E))\simeq \Gamma (\mathrm{End}(S)\otimes \mathrm{End}(W))\simeq \Gamma (\mathrm{Cl}(M)\otimes {\mathrm{End}}_{\mathrm{Cl}(M)}(E)) \\ \stackrel{\sigma }{\underset{\simeq }{⟶}}\Gamma ({\wedge }^{\bullet }{T}^{\ast }M\otimes {\mathrm{End}}_{\mathrm{Cl}(M)}(E))\simeq {\Omega }^{\bullet }(M,{\mathrm{End}}_{\mathrm{Cl}(M)}(E)), \end{gathered}$$其中 $\sigma$ 是 (8.7) 中的映射. 因此, 我们得到相应的微分形式$$\sigma (k_i)\in {\Omega }^{\bullet }(M,{\mathrm{End}}_{\mathrm{Cl}(M)}(E)).$$

定理 9.4. 沿用上面的记号, 假设 ${\nabla }^W$ 是普通的联络. 则微分形式 $\sigma (k_i)$ 的最高次数是 $2i$, 且其 $2i$ 次的部分与 $$\hat{A}(M){\mathrm{e}}^{-{\Omega }^W}$$的 $2i$ 次部分相同, 其中 $\hat{A}(M)$ 称为 $\hat{A}$ 类 ($\hat{A}$-genus), 定义为 $$\hat{A}(M)={\det }^{1/2}\frac{\Omega /2}{\sinh \Omega /2},$$这里 ${\det }^{1/2}(-)$ 的意义是形式幂级数 $\exp \mathrm{tr}(2^{-1}\log (-))$.

这个定理将在下一节证明, 其证明方法就是利用 §7 中的 ${\Phi }_i$ 进行计算.

利用这个公式计算 $\mathrm{ind}(D)$, 就能得到指标定理. 事实上, 由 (9.3), 我们有$$\mathrm{ind}(D)={\int }_M{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{k}_t(x,x)dx\sim \frac{1}{(4\pi t{)}^{n/2}}\sum _{i\ge n/2}{t}^i{\int }_M{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{k}_i(x)dx,$$这里, 注意 $i<n/2$ 时 $k_i(x)$ 不含 $n$-形式, 故积分为 $0$. 在式中令 $t\to 0$, 得到$$\mathrm{ind}(D)=\frac{1}{(4\pi {)}^{n/2}}{\int }_M{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{k}_{n/2}(x)dx.$$(9.4.1)

定理中的 ${\mathrm{e}}^{-{\Omega }^W}$ 一项, 我们将它的迹定义为陈特征$$\mathrm{ch}(W)={\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\mathrm{e}}^{-{\Omega }^W}.$$(9.4.2)这一定义与 §6 中不同, 我们当时的定义是 ${\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\mathrm{e}}^{{\Omega }^W/2\pi \mathrm{i}}$. 从现在开始, 我们采用新的定义. 这一修改不会影响陈特征的加性和乘性

将 (9.4) 与 (9.4.1) 结合起来, 我们就证明了指标定理.

定理 9.5 (Atiyah–Singer 指标定理). 设 $M$ 是偶数维紧旋量流形, $E\simeq S\otimes W$ 是 $M$ 上的复 Clifford 模, $D$ 是 $E$ 上的 Dirac 算子. 则 $$\mathrm{ind}(D)=\frac{1}{(2\pi \mathrm{i}{)}^{n/2}}{\int }_M\hat{A}(M)\mathrm{ch}(W).$$

证明. 我们只需解释系数的变化. 这是因为, $k_{n/2}$ 的迹是在 $E$ 上取的, 但 ${\mathrm{e}}^{-{\Omega }^W}$ 的迹, 即陈特征, 却是在 $W$ 上取的. 这两种迹满足如下关系: 若 $V$ 是偶数维欧氏空间, $a\in \mathrm{Cl}(V)\otimes \mathbb{C}\simeq \mathrm{End}(S)$, 那么 $${\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}^S(a)=(-2\mathrm{i}{)}^{n/2}T(\sigma (a)),$$这里 $T$ 是 Березин 积分, $n=\dim V$. 这一公式不难验证 [BGV92, 命题 3.21]. 因此, 若 $E$ 是 $\mathrm{Cl}(V)$-模, $k\in \mathrm{End}(E)$, 那么 $${\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}^E(k)=(-2\mathrm{i}{)}^{n/2}{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}^W(T\sigma (k)).$$(9.5.1) $\square$

注 9.6. 定理的条件可以放宽: 事实上, $M$ 不必具有旋量结构, 只需可定向即可. 这是因为, $M$ 局部上总是具有旋量结构, 而热核的迹的积分可以在局部上计算. 此时, $W$ 也只能局部地定义, 但 $\mathrm{ch}(W)$ 在局部上定义好之后, 就自动变成了整体的微分形式.

下面, 我们介绍指标定理的几个有名的应用.

de Rham 算子

在这一小节中, 我们对 de Rham 算子 $D=d+d^{\ast }$ 应用指标定理, 来重新证明陈–Gauß–Bonnet 公式.

记号 9.7. 设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间, $v\in V$, $\alpha \in {\wedge }^{\bullet }V$. 记 $$b(v)\alpha =v\wedge \alpha +{\iota }_v\alpha ,c(v)\alpha =v\wedge \alpha -{\iota }_v\alpha ,$$其中 ${\iota }_v=Q(v,-)┘$ 是缩并. 将它们延拓到整个 Clifford 代数上, 我们得到了 ${\wedge }^{\bullet }V$ 的两个 Clifford 模结构 $$b,c:\mathrm{Cl}(V)\to \mathrm{End}({\wedge }^{\bullet }V).$$我们将 $c$ 给出的模结构视为默认的. 这样, 如果记 如果 ${\wedge }^{\bullet }V\otimes \mathbb{C}=E\simeq S\otimes W$, 那么对任意 $a\in \mathrm{Cl}(V)$, 都有 $$b(a)\in {\mathrm{End}}_{\mathrm{Cl}(V)}(E)\simeq \mathrm{End}(W),c(a)\in \mathrm{End}(S)\subset \mathrm{End}(E).$$

引理 9.8. 设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间, $n$ 为偶数. 则如果 $a\in \mathrm{Cl}(V{)}_2$ 为 $2$ 阶元素, 那么 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}^W(\exp b(a))& =(-2\mathrm{i}{)}^{n/2}{\det }^{1/2}(\frac{\sinh a/2}{a/2}\left)\mathrm{pf}\right(\frac{a}{2}),\\ {\mathrm{tr}}^W(\exp b(a))& =2^{n/2}{\det }^{1/2}\left(\cosh \frac{a}{2}\right).\end{array}$$

证明. 引理的证明是纯粹的计算 [BGV92, 引理 4.4]. 我们忽略计算过程.

$\square$

引理 9.9. 在 (9.3.1) 中, 在局部坐标下, 我们有 $${\Omega }^S=-\frac{1}{4}{\Omega }_{ij}{c}^i{c}^j,$$其中 ${\Omega }_{ij}={\Omega }_i^k{g}_{jk}$ 是 $M$ 的曲率形式, $c^i$ 是 $\mathrm{Cl}(M)\otimes \mathbb{C}\simeq \mathrm{End}(S)$ 的截面.

证明. 我们回忆 ${\nabla }^S$ 的定义 (8.23). 标架丛 $\mathrm{S}\mathrm{O}(T^{\ast }M)$ 的联络形式是 $${\omega }^{\mathrm{S}\mathrm{O}(T^{\ast }M)}=-\frac{1}{2}{\omega }_{ij}d{x}^i\wedge d{x}^j\in {\Omega }^1(M,\mathfrak{s}\mathfrak{o}(T^{\ast }M)).$$我们将 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(T^{\ast }M)$ 与 $\mathfrak{s}\mathfrak{p}\mathfrak{i}\mathfrak{n}(T^{\ast }M)\subset \mathrm{Cl}(T^{\ast }M)$ 等同起来 (8.9), 这个对应关系是 $$\mathfrak{s}\mathfrak{o}(T^{\ast }M)\ni d{x}^i\wedge d{x}^j\mapsto \frac{1}{2}{c}^i{c}^j\in \mathrm{Cl}(T^{\ast }M).$$由 ${\nabla }^S$ 的定义, 其联络形式就是 ${\omega }^{\mathrm{S}\mathrm{O}(T^{\ast }M)}$ 在这个对应下的像 $${\omega }^S=-\frac{1}{4}{\omega }_{ij}{c}^i{c}^j\in {\Omega }^1(M,\mathrm{End}(S)).$$如果我们取法坐标, 那么在原点处就有 $d{\omega }_{ij}=g_{jk}d{\omega }_i^k$, 从而 $${\Omega }^S=-\frac{1}{4}{\Omega }_{ij}{c}^i{c}^j\in {\Omega }^2(M,\mathrm{End}(S)).$$$\square$

下面, 设 $M$ 是 $n$ 维紧可定向流形, $n$ 为偶数. 设 $E={\wedge }^{\bullet }{T}^{\ast }M\otimes \mathbb{C}$, 它具有自然的超向量丛结构. 设 $D=d+d^{\ast }$ 是 $E$ 上的 Dirac 算子, 参见 (8.2).

我们回忆 Hodge 分解$${\Omega }^{\bullet }(M)=\mathrm{im}d\oplus \mathrm{im}{d}^{\ast }\oplus {\mathcal{H}}^{\bullet },$$其中 ${\mathcal{H}}^{\bullet }=\ker D^2$ 是所有调和微分形式的空间, 并且有 ${\mathcal{H}}^{\bullet }\simeq H^{\bullet }(M;\mathbb{C})$.

命题 9.10. $D$ 的指标等于 $M$ 的 Euler 数: $$\mathrm{ind}(D)=\chi (M).$$

证明. 通过 (9.3) 证明中的特征空间分解, 不难看出 $$\ker D=\ker D^2={\mathcal{H}}^{\bullet }.$$从而 $\mathrm{ind}(D)={\dim }_{\mathrm{s}}\ker D={\dim }_{\mathrm{s}}{\mathcal{H}}^{\bullet }=\chi (M)$.

$\square$

定理 9.11 (陈–Gauß–Bonnet 公式). 我们有 $$\chi (M)=(\frac{-1}{2\pi }{)}^{n/2}{\int }_M\mathrm{pf}(\Omega ).$$

证明. 采用之前的记号, 并记 $b^i=b(d{x}^i)$ 等等, 则 $E$ 的曲率形式是 $${\Omega }^E={\Omega }_i^j(e^i\wedge )\circ {\iota }_j,$$其中 $e^i$ 是 $d{x}^i$ 所对应的 $E$ 的截面, 映射 $(e^i\wedge )\circ {\iota }_j$ 的作用就是把 $E$ 的截面的 $d{x}^j$ 项取出, 并换成 $d{x}^i$. 继续计算下去, 我们有 $$\begin{array}{rl}{\Omega }^E& =\frac{1}{4}{\Omega }_{ij}(b^i+c^i)(b^j-c^j)\\ & =\frac{1}{4}{\Omega }_{ij}(b^i{b}^j-c^i{c}^j),\end{array}$$其中交叉项消失是由于 ${\Omega }_{ij}$ 关于 $i,j$ 的反对称性. 由 (9.9), 我们得到 $${\Omega }^W=\frac{1}{4}{\Omega }_{ij}{b}^i{b}^j.$$

因此, $$\begin{array}{rl}\hat{A}(M)\mathrm{ch}(W)& =\hat{A}(M){\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}^W(\exp (-{\Omega }^W))\\ & =\hat{A}(M){\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}^W(\exp b(\Omega ))\\ & =(-2\mathrm{i}{)}^{n/2}\mathrm{pf}(\frac{\Omega }{2})\\ & =(-\mathrm{i}{)}^{n/2}\mathrm{pf}(\Omega ).\end{array}$$从而由指标定理, $$\mathrm{ind}(D)=\chi (M)=\frac{1}{(2\pi \mathrm{i}{)}^{n/2}}{\int }_M(-\mathrm{i}{)}^{n/2}\mathrm{pf}(\Omega )=(\frac{-1}{2\pi }{)}^{n/2}{\int }_M\mathrm{pf}(\Omega ).$$$\square$

当然, 这一证明涉及的计算比以前的证明要复杂得多.

符号差算子

下面, 我们通过指标定理来证明 Hirzebruch 符号差定理.

我们仍令 $E={\wedge }^{\bullet }{T}^{\ast }M$, $D=d+d^{\ast }$, 但我们给 $E$ 一个不同的 ${\mathbb{Z}}_2$-分次. 为了定义这个分次, 我们需要做一些准备.

定义 9.12. 设 $V$ 是已定向的 $n$ 维欧氏空间, $e_1,\dots ,e_n$ 是一组符合定向的标准正交基. 我们定义手性算子 (chirality operator) $$\Gamma ={\mathrm{i}}^{\lceil n/2\rceil }{e}_1\cdots e_n\in \mathrm{Cl}(V)\otimes \mathbb{C}.$$其定义不依赖于基的选取. 注意到 ${\Gamma }^2=1$, 并且, 对任何 $v\in V$, 有反交换关系 $v\Gamma +(-1{)}^n\Gamma v=0$.

这个算子的记号来源于物理学家的 ${\gamma }^5$ 矩阵, 但物理学家考虑的 $V$ 是带有 $(1,3)$ 符号的内积的空间.

对我们而言, 这个算子可以用来描述 Hodge 对偶.

定义 9.13. 沿用上面的记号, 定义 Hodge $\ast$-算子 $$\ast =\Gamma \cdot :{\wedge }^{\bullet }V\to {\wedge }^{\bullet }V,$$其中 $\cdot$ 表示 Clifford 作用. 我们可以写下它在基上的作用: $$\ast (e_{i_1}\wedge \cdots \wedge e_{i_k})=(-1{)}^{\sigma }{\mathrm{i}}^{\lceil n/2\rceil }{e}_{j_1}\wedge \cdots \wedge e_{j_{n-k}},$$其中 $j_1,\dots ,j_{n-k}$ 表示 $1,\dots ,n$ 中除了 $i_1,\dots ,i_k$ 外的指标, $\sigma$ 是 $1,\dots ,n$ 的排列 $i_1,\dots ,i_k,j_1,\dots ,j_{n-k}$ 的奇偶性. 这个算子能作用在流形 $M$ 的微分形式上, 给出一个同构 $$\ast :{\Omega }^k(M,\mathbb{C})\to {\Omega }^{n-k}(M,\mathbb{C}).$$它是同构的原因是 ${\ast }^2=1$.

注意, 我们的 $\ast$-算子和通常的定义相差 $\mathrm{i}$ 的一个幂.

通过计算, 容易证明 $\ast$-算子满足以下公式.

引理 9.14. 设 $M$ 是 $n$ 维已定向流形.

•	若 $\alpha ,\beta \in {\Omega }^k(M,\mathbb{C})$, 则 $${\int }_M\alpha \wedge \ast \beta =(-1{)}^{k(k\pm 1)/2}{\mathrm{i}}^{\lceil n/2\rceil }{\int }_M⟨\alpha ,\beta ⟩\cdot \mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l},$$其中 $\pm$ 号与 $n$ 的奇偶性相反.
•	我们有 $$d^{\ast }=(-1{)}^{n+1}\ast d\ast .$$$\square$

定义 9.15. 我们定义 $E={\wedge }^{\bullet }{T}^{\ast }M$ 上的 ${\mathbb{Z}}_2$-分次如下: $$\{\begin{array}{l}{E}^{+}=\{\alpha \mid \ast \alpha =\alpha \},\\ E^{-}=\{\alpha \mid \ast \alpha =-\alpha \},\end{array}$$这里 $\alpha$ 表示 $E$ 的纤维中的元素, 不一定是齐次的.

在这个分次下, 对算子 $D=d+d^{\ast }$ 应用指标定理, 我们将得到 Hirzebruch 符号差定理.

我们回忆, 若 $M$ 是 $n$ 维流形, $4\mid n$, 则杯积给出了 $H^{n/2}(M;\mathbb{R})$ 上的双线性型, 其符号差 (正特征值的个数减去负特征值的个数) 定义为 $M$ 的符号差 $\sigma (M)$.

命题 9.16. 设 $M$ 是 $n$ 维已定向流形, $4\mid n$. 在上面的记号下, $$\mathrm{ind}(D)=\sigma (M).$$

证明. 与之前一样, $\ker D={\mathcal{H}}^{\bullet }$ 是调和形式的空间. 对 $k=0,1,\dots ,n/2-1$, 如果 $\{{\alpha }_i\}$ 是 ${\mathcal{H}}^k$ 的一组基, 那么 $\{{\alpha }_i\pm \ast {\alpha }_i\}$ 就构成 ${\mathcal{H}}^k\oplus {\mathcal{H}}^{n-k}$ 的一组基. 这说明 ${\dim }_{\mathrm{s}}({\mathcal{H}}^k\oplus {\mathcal{H}}^{n-k})=0$, 从而 $${\dim }_{\mathrm{s}}\ker D={\dim }_{\mathrm{s}}{\mathcal{H}}^{n/2}.$$而如果 $\alpha \in {\mathcal{H}}^{n/2}$ 满足 $\ast \alpha =\pm \alpha$, 那么上同调类 $[\alpha ]\cup [\alpha ]$ 与 $[M]$ 的配对是 $${\int }_M\alpha \wedge \alpha ={\int }_M⟨\alpha ,\ast \alpha ⟩\cdot \mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}=\pm {\int }_M|\alpha {|}^2\cdot \mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l},$$其正负号由 $\alpha$ 的分次决定, 从而 ${\dim }_{\mathrm{s}}{\mathcal{H}}^{n/2}=\sigma (M)$.

$\square$

定理 9.17 (Hirzebruch 符号差定理). 设 $M$ 是 $n$ 维已定向流形, $4\mid n$. 则 $$\sigma (M)=\frac{1}{(\pi \mathrm{i}{)}^{n/2}}{\int }_M{\det }^{1/2}\frac{\Omega /2}{\tanh \Omega /2}.$$这里, 积分号里的项也被称为 $L$ 类 ($L$-genus), 记作 $L(M)$.

证明. 注意到, $E$ 的分次实际上是由 $S$ 的分次诱导的, 因为 $S^{\pm }$ 实际上就是 $\Gamma$ 的作用的 $\pm 1$-特征子空间. 因此, $W$ 只有偶数次部分. 由 (9.8), 我们有 $$\begin{array}{rl}\hat{A}(M)\mathrm{ch}(W)& =\hat{A}(M){\mathrm{tr}}^W(\exp (-{\Omega }^W))\\ & ={\det }^{1/2}\left(\frac{\Omega /2}{\sinh \Omega /2}\right)2^{n/2}{\det }^{1/2}\left(\cosh \frac{\Omega }{2}\right)\\ & =2^{n/2}L(M).\end{array}$$$\square$

Dolbeault 算子

下面, 我们通过指标定理, 来计算全纯向量丛的 Euler 示性数.

在开始之前, 我们回忆复几何中的一些构造. 设 $M$ 是 Kähler 流形, 也就是一个复流形, 其切丛带有一个相容的 Hermite 度量. 我们有$$TM\underset{\mathbb{R}}{\otimes }\mathbb{C}\simeq T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M,$$这两个子丛是 $TM$ 上 “乘以 $\mathrm{i}$” 的操作的 $(\pm \mathrm{i})$-特征子空间. 我们有 $M$ 上 $(p,q)$-微分形式的空间$${\Omega }^{p,q}(M)=\Gamma (M,({\wedge }^p(T^{1,0}M{)}^{\vee })\wedge ({\wedge }^q(T^{0,1}M{)}^{\vee }\left)\right)\subset {\Omega }^{p+q}(M_{\mathbb{R}},\mathbb{C}),$$其中 $M_{\mathbb{R}}$ 是 $M$ 对应的实流形. 在局部坐标下, 我们将一个 $(p,q)$-形式写成$$\alpha ={\alpha }_{i_1\cdots i_p\overline{j}{}_1\cdots \overline{j}{}_q}d{z}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{z}^{i_p}\wedge d\overline{z}{}^{j_1}\wedge \cdots \wedge d\overline{z}{}^{j_q}$$的形式. 此时, de Rham 算子 $d$ 分成次数 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 部分, 记为$$\begin{array}{l}\partial :{\Omega }^{p,q}(M)\to {\Omega }^{p+1,q}(M),\\ \overline{\partial }:{\Omega }^{p,q}(M)\to {\Omega }^{p,q+1}(M),\\ d=\partial +\overline{\partial }.\end{array}$$

下面, 设 $E\to M$ 是一个全纯向量丛, 即转移映射是全纯映射的复向量丛. 和上面同理, 我们定义$${\Omega }^{p,q}(M,E)=\Gamma (M,({\wedge }^p(T^{1,0}M{)}^{\vee })\wedge ({\wedge }^q(T^{0,1}M{)}^{\vee })\otimes E)$$为 $E$-取值的 $(p,q)$-形式的空间. 此时, 只有 $\overline{\partial }$ 算子能够良好地定义. 链复形$$({\Omega }^{0,\bullet }(M,E),\overline{\partial })$$称为 $E$ 的 Dolbeault 链复形, 其上同调$$H_{\overline{\partial }}^{\bullet }(M,E)=H^{\bullet }({\Omega }^{0,\bullet }(M,E),\overline{\partial })$$称为 $E$ 的 Dolbeault 上同调. 事实上, 它与层上同调 $H^{\bullet }(M,\mathcal{O}(E))$ 同构, 这一结论称为 Dolbeault 定理.

和 de Rham 算子的情形类似, 我们定义$${\Delta }_{\overline{\partial }}=(\overline{\partial }+\overline{\partial }{}^{\ast }{)}^2=\overline{\partial }\overline{\partial }{}^{\ast }+\overline{\partial }{}^{\ast }\overline{\partial }.$$则$$\ker (\overline{\partial }+\overline{\partial }{}^{\ast })=\ker {\Delta }_{\overline{\partial }}\simeq H_{\overline{\partial }}^{\bullet }(M,E).$$另外, 我们还有$${\Delta }_{\overline{\partial }}=\frac{1}{2}\Delta ,$$其中 $\Delta$ 是 de Rham 算子定义的 Laplace 算子. 我们定义$$D=\sqrt{2}(\overline{\partial }+\overline{\partial }{}^{\ast }),$$则 $D^2=\Delta$, 从而 $D$ 是向量丛 ${\wedge }^{\bullet }(T^{0,1}M{)}^{\vee }\otimes E$ 上的 Dirac 算子. 相应地, 我们得到 Clifford 作用的坐标表达式$$c(d{z}^i)=-\sqrt{2}{\iota }^i,c(d\overline{z}{}^i)=\sqrt{2}(\overline{e}{}^i\wedge ).$$

和 de Rham 算子的情况一样, $D$ 的指标就是 Euler 数 $\chi (M,E)$.

命题 9.18. 沿用上面的记号, 我们有 $$\mathrm{ind}(D)=\chi (M,E)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\dim H_{\overline{\partial }}^i(M,E).$$$\square$

定理 9.19 (Hirzebruch–Riemann–Roch). 设 $M$ 是 $n$ 维 Kähler 流形, $E\to M$ 是全纯向量丛. 则 $$\chi (M,E)=\frac{1}{(-2\pi \mathrm{i}{)}^n}{\int }_M\mathrm{td}(M)\mathrm{ch}(E),$$其中 $\mathrm{td}(M)$ 是 Todd 类, 定义为 $$\mathrm{td}(M)=\det \frac{\Omega }{{\mathrm{e}}^{\Omega }-1}.$$

证明. 记 $\Lambda ={\wedge }^{\bullet }(T^{0,1}M{)}^{\vee }$. 与 (9.11) 的证明同理, 我们有 $$\begin{gathered} {\Omega }^{\Lambda }=\Omega {}_{\overline{i}}^j(\overline{e}{}^i\wedge )\circ {\iota }_j \\ =-\frac{1}{2}{\Omega }_{\overline{i}j}{c}^{\overline{i}}{c}^j. \end{gathered}$$由 (9.9), 知 $$\begin{array}{rl}{\Omega }^{\Lambda }-{\Omega }^S& =-\frac{1}{4}\sum _i{\Omega }_{\overline{i}i}(c^{\overline{i}}{c}^i+c^i{c}^{\overline{i}})\\ & =\frac{1}{2}\sum _i{\Omega }_{\overline{i}i}=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\Omega ,\end{array}$$其中最后一步来自于 (5.14) 的证明. 从而 $${\Omega }^W={\Omega }^{\Lambda \otimes E}-{\Omega }^S={\Omega }^E+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\Omega .$$由于 $TM{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\simeq TM\oplus \overline{TM}$, 我们有 $$\begin{array}{rl}\hat{A}(M_{\mathbb{R}})& =(-1{)}^{\ast }\hat{A}(TM{)}^2\\ & =(-1{)}^{\ast }\det \frac{\Omega /2}{\sinh \Omega /2}\\ & =(-1{)}^{\ast }\mathrm{td}(M)\det ({\mathrm{e}}^{\Omega /2}),\end{array}$$其中 $(-1{)}^{\ast }$ 的意思是将 $2k$-形式的部分乘以 $(-1{)}^{nk}$. 从而 $$\hat{A}(M){\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\mathrm{e}}^{-{\Omega }^W}=(-1{)}^{\ast }\mathrm{td}(M){\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\mathrm{e}}^{-{\Omega }^E}.$$$\square$

注 9.20. 这一公式的更常见的形式, 也是我们之前叙述的版本, 是 $$\chi (M,E)={\int }_M\mathrm{Td}(M)\mathrm{Ch}(E),$$其中 $\mathrm{Td}$ 和 $\mathrm{Ch}$ 是我们修改定义 (9.4.2) 之前的示性类, 也就是说, 把 $\mathrm{td}$ 和 $\mathrm{ch}$ 的定义中的 $\Omega$ 都换成 $-\Omega /2\pi \mathrm{i}$ 所得到的示性类. 由于只有 $2n$-形式能被积分, 所以积分的系数相差了 $(-2\pi \mathrm{i}{)}^n$.