3.4. 筛法的单调原理

在前一节中, 我们发现之所以 Goldbach 问题上界的推导过程比较繁琐是因为集合 $\mathcal{A}$ 会受到筛法参数的影响. 但事实上我们是可以通过一些组合的手段来避免这些复杂的过程. 确切地说, 引入这种改良后我们就可以用将孪生素数问题的上界直接转化为 Goldbach 问题的上界. 而这种通用的方法被 Friedlander 和 Iwaniec [6] 称为单调原理 (monotonicity principle) .

3.4.1通用的上界筛

虽然这个原理主要被用来简化 Selberg 筛中的计算, 但实际上这个结论对一切上界筛都是奏效的. 现在我们就来构造一个抽象的上界筛. 从 Brun 筛和 Selberg 筛的两个例子中, 我们发现上界筛问题实质上就是去寻找一个满足 ${\lambda }_1^{+}=1$ 的实数列 ${\lambda }_d$ 使得:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)\le \sum _{d|P(z)}{\lambda }_d^{+}|{\mathcal{A}}_d|.$$(3.4.1)

由筛函数的定义可知, 当 ${\lambda }_d^{+}=\mu (d)$ 是两侧取等; 在 Brun 筛法中 ${\lambda }_d^{+}$ 在 $d$ 满足特定条件时取 $\mu (d)$, 反之取零; 而在 Selberg 筛中, 利用最小公倍数函数 $[a,b]$ 的性质可将二次型上界凑成:

$${\lambda }_d^{+}=\sum _{[d_1,d_2]=d}{\lambda }_{d_1}{\lambda }_{d_2}.$$

现在我们将命题 2.1.1 代入到 (3.4.1) 中, 便有:

$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)\le XT(z)+R,$$

其中:

$$T(z)=\sum _{d|P(z)}{\lambda }_d^{+}g(d),R=\sum _{d|P(z)}|{\lambda }_d^{+}r(d)|.$$

在前两节的实践中, 我们发现无论是 Goldbach 猜想还是孪生素数的 $\mathcal{A}$, 上界筛的 $R$ 处理起来不是问题. 所以实际上单调原理是专门用来处理上界主项 $T(z)$ 估计的.

3.4.2$T(z)$ 的对角化

现在我们设置:

$${\theta }_m^{+}=\sum _{d|m}{\lambda }_d^{+},$$

则根据 (3.4.1) 有:

$$\sum _{d|P(z)}{\lambda }_d^{+}|{\mathcal{A}}_d|=\sum _{d|P(z)}\sum _{\begin{array}{c}a\in \mathcal{A}\\ d|a\end{array}}{\lambda }_d^{+}=\sum _{a\in \mathcal{A}}\sum _{d|(a,P(z))}{\lambda }_d^{+}=\sum _{a\in \mathcal{A}}{\theta }_{(a,P(z))}.$$

这意味着 ${\theta }_1^{+}=1$ 且 ${\theta }_m^{+}\ge 0$. 通过 Möbius 反演公式, 我们也可以将 $T(z)$ 化成 ${\theta }_m^{+}$ 的线性组合:

$$\begin{array}{rl}T(z)& =\sum _{d|P(z)}g(d)\sum _{d=mt}\mu (t){\theta }_m^{+}=\sum _{m|P(z)}{\theta }_m^{+}g(m)\sum _{\begin{array}{c}t|P(z)\\ (t,m)=1\end{array}}\mu (t)g(t)\\ & =\sum _{m|P(z)}{\theta }_m^{+}g(m)\prod _{\begin{array}{c}p<z\\ p\nmid m\end{array}}(1-g(p){)}^{-1}=V(z)\sum _{m|P(z)}{\theta }_m^{+}g(m)\prod _{p|m}(1-g(p){)}^{-1}.\end{array}$$

再做化简, 即可发现:

$$T(z)=V(z)\sum _{m|P(z)}{\theta }_m^{+}h(m).$$(3.4.2)

有了这个公式后, 我们就可以引入单调原理了.

3.4.3单调原理

在孪生素数问题中, ${\mathcal{A}}_d$ 的密度函数满足:

$$g_2(p)=\{\begin{array}{ll}1/2& p=2\\ 2/p& p>2.\end{array}$$

当 $x$ 为大偶数时, Goldbach 问题对应的密度函数满足:

$$g_x(p)=\{\begin{array}{ll}1/p& p|x\\ 2/p& p\nmid x.\end{array}$$

我们发现 $g_x(d)\le g_2(d)$, 而通过单调原理我们也可以将两者的上界筛主项结合起来. 为了推广, 我们接下来考虑一般情况:

定理 3.4.3.1 (单调原理). 若 $({\lambda }_d^{+})为上下界筛、({\lambda }_d^{-})$ 为下界筛, 则当积性函数 $g^{\prime }(d)$ 和 $g(d)$ 满足 $0\le g^{\prime }(d)\le g(d)$ 时总有: $$\sum _{d|P(z)}{\lambda }_d^{+}{g}^{\prime }(d)\le \prod _{p<z}\frac{1-g^{\prime }(p)}{1-g(p)}\sum _{d|P(z)}{\lambda }_d^{+}g(d).$$$$\sum _{d|P(z)}{\lambda }_d^{-}{g}^{\prime }(d)\ge \prod _{p<z}\frac{1-g^{\prime }(p)}{1-g(p)}\sum _{d|P(z)}{\lambda }_d^{-}g(d).$$

证明. 由于对称性, 我们仅证明上界筛时的单调原理, 设: $$h^{\prime }(d)=\prod _{p|m}\frac{g^{\prime }(p)}{1-g^{\prime }(p)},V^{\prime }(z)=\prod _{p<z}(1-g^{\prime }(p)),T^{\prime }(z)=\sum _{m|P(z)}{\lambda }_d^{+}{g}^{\prime }(d),$$则沿用前面的符号, 可知: $$\begin{array}{rl}T(z)& \ge V(z)\sum _{d|P(z)}{\theta }_m^{+}\prod _{p|m}\frac{g^{\prime }(p)}{1-g(p)}=V(z)\sum _{m|P(z)}{\theta }_m^{+}{h}^{\prime }(m)\prod _{p|m}\underset{\ge 1}{\underbrace{\frac{1-g^{\prime }(p)}{1-g(p)}}}\\ & \ge V(z)\sum _{d|P(z)}{\theta }_m^{+}{h}^{\prime }(m)=\frac{V(z)}{V^{\prime }(z)}{V}^{\prime }(z)\sum _{m|P(z)}{\theta }_m^{+}{h}^{\prime }(m)\end{array}$$类似于上一节我们对 (3.4.2) 的推导, 我们知道: $$T^{\prime }(z)=V^{\prime }(z)\sum _{m|P(z)}{\theta }_m^{+}{h}^{\prime }(m)$$将此结论代入回上式, 即得结论.

$\square$

例 3.4.3.2. 对于偶数 $h$, 当$$g_h(d)=\{\begin{array}{ll}1/p& p|h\\ 2/p& p\nmid h\end{array}$$时总有: $$\sum _{d|P(z)}{\lambda }_d^{+}{g}_h(d)\le \prod _{\begin{array}{c}p|h\\ p>2\end{array}}\frac{p-1}{p-2}\sum _{d|P(z)}{\lambda }_d^{+}{g}_2(d).$$