3.5. 通用的主项渐近展开式

前几节的研究表明, $G(x)$ 的渐近展开式与 $\kappa$ 的大小很有可能具有如下关系:

$$G(x)\sim C{\log }^{\kappa }x.$$(3.5.1)

通过初等的数论方法, 我们得到了特殊情况下 (3.5.1) 的证明. 但为了便于推广, 在本篇文章中我们将引入解析法来得到一般形式下 (3.5.1) 的证明.

3.5.1双边条件 ${\Omega }_2(\kappa )$

为了得到 Brun 筛的主项与误差项估计, 我们曾引入单边条件 $\Omega (\kappa )$ 来对筛法的维度进行刻画, 而在 Selberg 筛的场景下这个条件已经不能满足我们的需求了. 因此我们引入如下双边条件:

定义 3.5.1.1 (${\Omega }_2(\kappa )$). 当 $z\ge 2$ 时总有: $$\sum _{p<z}g(p)\log p=\kappa \log z+O(1)$$并且以下级数$$\sum _p{g}^2(p)\log p<\infty$$总是收敛.

很明显 ${\Omega }_2(\kappa )$ 蕴含 $\Omega (\kappa )$, 并且 $2\le w<z$ 时

$$\prod _{w\le p<z}(1-g(p){)}^{-1}=\frac{V(w)}{V(z)}={\left(\frac{\log z}{\log w}\right)}^{\kappa }\left\{1+O\left(\frac{1}{\log w}\right)\right\}.$$(3.5.2)

有了这些准备工作后我们就可以开始对 $G(x)$ 进行估计了.

3.5.2对数权重

通用的 (3.5.1) 最初由 Ankeny 和 Onishi 在 1964 年证明 [1]. 但由于他们的原始方法用到了涉及复分析的 Tauber 型定理, 所本节采用的是 Halberstam 和 Richert [7] 给出的初等方法来证明这个结论.

Halberstam 和 Richert 的思路可以追溯到 Chebyshev. 后者在研究素数计数函数 $\pi (x)$ 的渐近性质时引入了对数权重

$$\vartheta (x)=\sum _{p\le x}\log p$$

从而得到著名的 Chebyshev 不等式. 后来 $\vartheta (x)$ 也被用来证明素数定理. 因此我们也将在 $G(x)$ 的估计中引入

$$\sum _{d<x}{\mu }^2(d)h(d)\log d.$$

利用对数函数的性质, 我们知道:

$$\begin{array}{rl}\sum _{d<x}{\mu }^2(d)h(d)\log d& =\sum _{d<x}{\mu }^2(d)h(d)\sum _{p|d}\log p=\sum _{p<x}\log p\sum _{\begin{array}{c}d<x\\ p|d\end{array}}{\mu }^2(d)h(d)\\ & =\sum _{p<x}h(p)\log p\sum _{\begin{array}{c}t<x/p\\ p\nmid t\end{array}}{\mu }^2(t)h(t):=\sum _{p<x}h(p)\log p{G}_p\left(\frac{x}{p}\right),\end{array}$$

而当 $p<x$ 时我们总可以根据可否被 $p$ 整除将 $G(x)$ 中的 $d$ 分成两种情况来求和, 所以:

$$G(y)=G_p(y)+h(p)G_p\left(\frac{y}{p}\right).$$

对两侧同时乘 $1-g(p)$ 便有:

$$(1-g(p))G(y)=G_p(y)-g(p)\left[G_p(y)-G_p\left(\frac{y}{p}\right)\right].$$

现在代入 $y=x/p$ 即得:

$$G_p\left(\frac{x}{p}\right)=(1-g(p))G\left(\frac{x}{p}\right)+O\{g(p)G(x)\}.$$

将此结果向上回代, 即可根据条件 ${\Omega }_2(\kappa )$ 得知:

$$\begin{array}{rl}\sum _{d<x}{\mu }^2(d)h(d)\log d& =\sum _{p<x}g(p)\log pG\left(\frac{x}{p}\right)+O\{G(x)\}\\ & =\sum _{d<x}{\mu }^2(d)h(d)\sum _{p<x/d}g(p)\log p+O\{G(x)\}\\ & =\kappa \underset{T(x)}{\underbrace{\sum _{d<x}{\mu }^2(d)h(d)\log \frac{x}{d}}}+O\{G(x)\}.\end{array}$$

对两侧同时加上 $T(x)$, 即得恒等式:

$$(\kappa +1)T(x)=G(x)\log x\left\{1+O\left(\frac{1}{\log x}\right)\right\}.$$(3.5.3)

结合上面的定义, 我们可以将 $T(x)$ 化为

$$T(x)={\int }_1^{x}G(t)\frac{\mathrm{d}t}{t},$$

因此有

$$T^{\prime }(x)=\frac{G(x)}{x}=(\kappa +1)\frac{T(x)}{x\log x}\left\{1+O\left(\frac{1}{\log x}\right)\right\}.$$

继续化简可知

$$\frac{T^{\prime }}{T}(x)=\frac{\kappa +1}{x\log x}+R(x).$$

其中 $R(x)=O(1/x{\log }^{2}x)$, 对两侧积分即可发现存在常数 $c_0$ 使得:

$$\begin{array}{rl}\log T(x)& =(\kappa +1)\log \log x+c_0-{\int }_x^{\infty }R(t)\mathrm{d}t\\ & =\log (\log x{)}^{\kappa +1}+c_0+O\left(\frac{1}{\log x}\right).\end{array}$$

将这一点与 (3.5.3) 结合, 便可知存在 $C>0$ 使:

$$G(x)=C{\log }^{\kappa }x+O({\log }^{\kappa -1}x).$$(3.5.4)

至此我们完成了对 (3.5.1) 的证明. 接下来就只需要确定 $C$ 的值了.

3.5.3常数 $C$ 的确定

利用 Dirichlet 级数的性质, 我们知道:

$$\sum _{d\ge 1}\frac{{\mu }^2(d)h(d)}{d^s}=s{\int }_1^{\infty }\frac{G(t)}{t^{s+1}}\mathrm{d}t,$$

又因为 $\alpha >-1$ 时:

$$s{\int }_1^{\infty }\frac{{\log }^{\alpha }t}{t^{s+1}}\mathrm{d}t=s{\int }_0^{\infty }{u}^{\alpha }{e}^{-su}\mathrm{d}u=s^{-\alpha }\Gamma (\alpha +1),$$

所以当 $\kappa >0$ 时总有:

$$\sum _{d\ge 1}\frac{{\mu }^2(d)h(d)}{d^s}\sim \Gamma (\kappa +1)C{s}^{-\kappa }\sim \Gamma (\kappa +1)C{\zeta }^{\kappa }(s+1).$$

因此结合 Dirichlet 级数的 Euler 乘积之性质, 就能得到 $C$ 的无穷乘积表达式:

$$\begin{array}{rl}C& =\frac{1}{\Gamma (\kappa +1)}\prod _p(1+h(p)){\left(1-\frac{1}{p}\right)}^{\kappa }\\ & =\frac{1}{\Gamma (\kappa +1)}\prod _p(1-g(p){)}^{-1}{\left(1-\frac{1}{p}\right)}^{\kappa }.\end{array}$$

3.5.4结论

将上面的所有内容整合起来, 我们就得到了具有精确上界的 Selberg 筛法:

定理 3.5.4.1. 当 ${\Omega }_2(\kappa )$ 且 $2\le \xi \le z$ 时, 总有$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)<\Gamma (\kappa +1)\prod _p(1-g(p)){\left(1-\frac{1}{p}\right)}^{-\kappa }\frac{X}{{\log }^{\kappa }\xi }\left\{1+O\left(\frac{1}{\log \xi }\right)\right\}+\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<{\xi }^2\end{array}}{3}^{\omega (d)}|r(d)|.$$

将这个结论再与 (3.5.2) 结合, 便有

定理 3.5.4.2. 当 ${\Omega }_2(\kappa )$ 且 $0<c\le 1$ 时, 总有$$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)<XV(z)\left\{\frac{\Gamma (\kappa +1)}{e^{-\gamma \kappa }}{c}^{-\kappa }+O\left(\frac{c^{-\kappa -1}}{\log z}\right)\right\}+\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<z^{2c}\end{array}}{3}^{\omega (d)}|r(d)|.$$