2.4. 习题

1.	计算如下两个矩阵 $A,B$ 的乘积 $AB$: $$\begin{array}{rlrlrlr}& (1)\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 4& 1\\ 5& 2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& 4& 1\\ 2& 1& 0\end{array}\right]& & (2)\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 4& 0& 1\\ 5& 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 1\\ 3& 4\end{array}\right]& & (3)\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}5& 6& 7& 8\end{array}\right]& \end{array}$$
2.	设 $n\times n$ 矩阵 $A,B$ 满足 $AB=BA$, 证明 $(A+B{)}^k=\sum _{i=0}^k\frac{k!}{i!(k-i)!}{A}^i{B}^{k-i}$. 举例说明如果 $AB\ne BA$, 那么这个公式不成立.
3.	考虑如下矩阵 $A$, 计算 $A^n$, 这里 $n$ 是正整数$$\begin{array}{rlrlrl}& (1)\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]& & (2)\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right]& & (3)\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\\ & (4)\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]& & (5)\left[\begin{array}{ccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& a_1{b}_3\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& a_2{b}_3\\ a_3{b}_1& a_3{b}_2& a_3{b}_3\end{array}\right]& & \end{array}$$
4.	求如下齐次线性方程组的通解$$\begin{array}{r}(1)\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\\ 3x_1+2x_2+x_3+x_4-3x_5=0\\ x_2+2x_3+2x_4+6x_5=0\\ 5x_1+4x_2+3x_3+3x_4-x_5=0\end{array}(2)\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-3x_4-x_5=0\\ x_1-x_2-2x_3-x_4=0\\ 4x_1-2x_2+6x_3+3x_4-4x_5=0\\ 2x_1+4x_2-2x_3+4x_4-7x_5=0\end{array}\end{array}$$
5.	如果 $m<n$, 证明如下齐次线性方程组一定有非零解$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}$$
6.	补充完整命题 2.3.7 的证明, 即矩阵的列秩在初等行变换下不变.
7.	求如下非齐次线性方程组的通解$$\begin{array}{rlrlr}& (1)\{\begin{array}{l}3x-2y+z=7\\ 2x+y-3z=9\\ x-y+2z=4\end{array}& & (2)\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-x_3+3x_4=-1\\ 2x_1-x_2+4x_3-x_4=13\\ -3x_1+4x_2+x_3+2x_4=6\\ x_1-x_2+2x_3+x_4=4\end{array}& \\ & (3)\{\begin{array}{l}3x_1-x_2+2x_3+x_4=9\\ x_1+4x_2-2x_3+3x_4=5\\ -x_1+2x_2+x_3-x_4=2\\ 5x_1+x_2-x_3+5x_4=10\end{array}& & (4)\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2+3x_3-4x_4=4\\ x_2-x_3+x_4=-3\\ x_1+3x_2-3x_4=1\\ -7x_2+3x_3+x_4=-3\end{array}& \\ & (5)\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-3x_3=-1\\ 2x_1+x_2-2x_3=1\\ x_1+x_2+x_3=3\\ x_1+2x_2-3x_3=1\end{array}& & & \end{array}$$
8.	当 $\lambda$ 取何值时, 如下线性方程组有解? 有唯一解? 并求其所有解$$\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_4=1\\ x_1+\lambda x_2+x_3=1\\ x_2+\lambda x_3+x_4=1\\ x_1+x_3+\lambda x_4=1\end{array}$$
9.	设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵, $\text{rank}A=n-1$. 证明齐次线性方程组 $A\vec{x}=0$ 的任意两个解成比例, 即相差一个数值因子.
10.	设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵, 且 $\text{rank}A=1$. 证明 $A$ 可以写成一个 $m\times 1$ 矩阵和一个 $1\times n$ 矩阵的乘积: $$A=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_n\end{array}\right]$$
11.	证明定理 2.3.15.