2.3. 线性方程组的解空间

我们这一节将系统讨论线性方程组的解空间的结构.

齐次线性方程组的解空间

考虑齐次线性方程组$$A\vec{x}=0$$这里 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵, $\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n$, 即$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$

该齐次线性方程组的所有解构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的子集, 记为$$K:=\{\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n|A\vec{x}=0\}.$$

命题 2.3.1. $K$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的线性子空间.

证明: 假设 ${\vec{x}}_1,{\vec{x}}_2\in K,\lambda \in \mathbb{R}$, 则$$A({\vec{x}}_1+{\vec{x}}_2)=A{\vec{x}}_1+A{\vec{x}}_2=0A(\lambda {\vec{x}}_1)=\lambda A{\vec{x}}_1=0$$即 ${\vec{x}}_1+{\vec{x}}_2\in K,\lambda {\vec{x}}_1\in K$. 故 $K$ 保持加法和数乘.

$\square$

设 ${\vec{u}}_1,\cdots ,{\vec{u}}_s$ 是 $K$ 的一组基, $s=\dim K$. 则 $K$ 中的元素 $\vec{x}$ 可以唯一地写成线性组合$$\vec{x}=c_1{\vec{u}}_1+\cdots +c_s{\vec{u}}_s,c_i\in \mathbb{R}$$这构成了齐次线性方程组 $A\vec{x}=0$ 的通解, 这里 $c_i$ 是任意常数.

例子 2.3.2. 考虑以下齐次线性方程组: $$\begin{array}{rl}{x}_1+2x_2-x_3+x_4-x_5& =0\\ 2x_1+4x_2-2x_3+3x_4-x_5& =0\\ -x_1-2x_2+x_3-2x_4+2x_5& =0\end{array}$$对应的增广矩阵的形式为$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& -1& 1& -1& 0\\ 2& 4& -2& 3& -1& 0\\ -1& -2& 1& -2& 2& 0\end{array}\right]$$

我们用初等变换来解方程$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& -1& 1& -1& 0\\ 2& 4& -2& 3& -1& 0\\ -1& -2& 1& -2& 2& 0\end{array}\right]⟹\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& -1& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1& 1& 0\end{array}\right]⟹\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& -1& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 2& 0\end{array}\right]\end{array}$$得到等价的方程组$$\begin{array}{rl}{x}_1+2x_2-x_3+x_4-x_5& =0\\ x_4+x_5& =0\\ 2x_5& =0\end{array}$$

由此可以解得$$x_5=0,x_4=0,x_1=x_3-2x_2$$其中 $x_2$ 和 $x_3$ 可以取任意数. 设 $x_2=c_1,x_3=c_2$, 则通解可以写成$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_2-2c_1\\ c_1\\ c_2\\ 0\\ 0\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]c_1,c_2\in \mathbb{R}$$

从而该齐次线性方程组的解空间是 $2$ 维的, 一组基为 ${\vec{u}}_1=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],{\vec{u}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$.

矩阵的秩与解空间维数

矩阵的行秩

我们把一个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 写成$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\vec{v}}_1\\ {\vec{v}}_2\\ ⋮\\ {\vec{v}}_m\end{array}\right]$$这里 ${\vec{v}}_i$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的行向量$${\vec{v}}_i=(a_{i1}{a}_{i2}\cdots a_{in})\in {\mathbb{R}}^n$$

定义 2.3.3. 矩阵 $A$ 的行秩定义为 $A$ 的行向量张成的线性空间的维数, 即$$A\text{的行秩}=\dim \mathrm{Span}\{{\vec{v}}_1,\cdots ,{\vec{v}}_m\}$$

命题 2.3.4. 对矩阵作初等行变换得到的行向量与原行向量是等价的. 特别的, 初等行变换不改变矩阵的行秩.

为了说明这个命题, 我们回顾矩阵的三种初等行变换

1.	交换两行: 将矩阵的两行交换位置.
2.	将矩阵中的一行乘以一个非零常数.
3.	将矩阵的一行乘以一个数加到另一行.

例如交换两行, 比如第 1 行和第 2 行, 容易看出线性等价$$\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,\cdots ,{\vec{v}}_m\}⟺\{{\vec{v}}_2,{\vec{v}}_1,\cdots ,{\vec{v}}_m\}$$例如将第 2 行乘以一个非零常数 $\lambda$, 我们有线性等价$$\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,\cdots ,{\vec{v}}_m\}⟺\{{\vec{v}}_1,\lambda {\vec{v}}_2,\cdots ,{\vec{v}}_m\}$$例如将矩阵的第 1 行乘以一个数加到第 2 行, 容易证明如下的线性等价$$\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,\cdots ,{\vec{v}}_m\}⟺\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2+\lambda {\vec{v}}_1,\cdots ,{\vec{v}}_m\}$$因此矩阵的行秩在初等行变换下是不变的.

由命题 2.2.3, 我们总是可以通过初等行变化将 $A$ 变为阶梯形$$A^{\prime }=\left[\begin{array}{cccccccccc}& & a_{1p_1}^{\prime }& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & a_{1n}^{\prime }\\ & & & & a_{2p_2}^{\prime }& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & a_{2n}^{\prime }\\ & & & & & & \cdots & \cdots & \cdots & ⋮\\ & & & & & & & a_{r{p}_r}^{\prime }& \cdots & a_{rn}^{\prime }\\ & & & & & & & & & \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\vec{v}}_1^{\prime }\\ {\vec{v}}_2^{\prime }\\ ⋮\\ {\vec{v}}_r^{\prime }\\ 0\end{array}\right]$$这里 $a_{1p_1}^{\prime },\cdots ,a_{r{p}_r}^{\prime }$ 均不为 $0$. 观察到行向量 ${\vec{v}}_1^{\prime },\cdots ,{\vec{v}}_r^{\prime }$ 是线性无关的. 实际上, 如果有$${\lambda }_1{\vec{v}}_1^{\prime }+{\lambda }_2{\vec{v}}_2^{\prime }+\cdots +{\lambda }_r{\vec{v}}_r^{\prime }=0$$则比较第 $p_1$ 列系数, 我们得到 ${\lambda }_1{a}_{1p_1}^{\prime }=0\Rightarrow {\lambda }_1=0$. 然后可以依此得到 ${\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_r=0$.

因此 $A^{\prime }$ 的行秩是 $r$. 由此我们证明了$$\text{A的行秩=A′的行秩=r}$$这给出了用初等行变换计算行秩的方法.

另一方面, 矩阵 $A^{\prime }$ 对应的齐次线性方程组为$$\begin{array}{rl}{a}_{1p_1}^{\prime }{x}_{p_1}+\cdots +\cdots +\cdots +a_{1p_n}^{\prime }{x}_n& =0\\ ⋮& \\ a_{1p_r}^{\prime }{x}_{p_r}+\cdots +a_{1p_n}^{\prime }{x}_n& =0\end{array}$$这里 $p_1<p_2<\cdots <p_r$. 因此 $x_{p_1},\cdots ,x_{p_r}$ 可以通过其他变量表达出来, 而其他变量可以取任意值. 总共有 $n-r$ 个自由变量, 因此解空间的维数是 $n-r$.

总结如上, 对于 $m\times n$ 矩阵 $A$, 通过初等行变换变成阶梯形矩阵 $A^{\prime }$, 可以看出$$\text{A的行秩=r，且{x∣Ax=0}解空间的维数=n−r。}$$

命题 2.3.5. 矩阵 $A$ 对应的齐次线性方程组解空间的维数为$$\text{A的列数（即未知变量数）}-\text{A的行秩。}$$

矩阵的列秩

我们把一个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 写成$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{u}}_1& {\vec{u}}_2& \cdots & {\vec{u}}_n\end{array}\right]$$这里 ${\vec{u}}_i$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中的列向量 ${\vec{u}}_i=\left[\begin{array}{c}{a}_{1i}\\ a_{2i}\\ ⋮\\ a_{mi}\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^m$.

定义 2.3.6. 矩阵 $A$ 的列秩定义为 $A$ 的列向量张成的线性空间的维数, 即$$A\text{的列秩}=\dim \mathrm{Span}\{{\vec{u}}_1,\cdots ,{\vec{u}}_n\}$$

命题 2.3.7. 对矩阵作初等行变换亦不改变矩阵的列秩.

需要注意的是, 初等行变换不改变行向量张成的空间, 但是会改变列向量张成的空间 (但是维数不变) . 这个命题成立是因为初等行变换不会改变列向量的线性相关性. 具体而言, 考虑$$A=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{u}}_1& {\vec{u}}_2& \cdots & {\vec{u}}_n\end{array}\right]\stackrel{\text{初等行变换}}{⟹}{A}^{\prime }=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{u}}_1^{\prime }& {\vec{u}}_2^{\prime }& \cdots & {\vec{u}}_n^{\prime }\end{array}\right]$$由于线性方程组在行变换下是等价的, 我们知道对任意的向量子集 $\{{\vec{u}}_{i_1},{\vec{u}}_{i_2},\cdots ,{\vec{u}}_{i_s}\}$, 矩阵 $\left[\begin{array}{cccc}{\vec{u}}_{i_1}& {\vec{u}}_{i_2}& \cdots & {\vec{u}}_{i_s}\end{array}\right]$ 对应的齐次线性方程组$$\left[\begin{array}{cccc}{\vec{u}}_{i_1}& {\vec{u}}_{i_2}& \cdots & {\vec{u}}_{i_s}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ ⋮\\ {\lambda }_s\end{array}\right]=0$$和矩阵 $\left[\begin{array}{cccc}{\vec{u}}_{i_1}^{\prime }& {\vec{u}}_{i_2}^{\prime }& \cdots & {\vec{u}}_{i_s}^{\prime }\end{array}\right]$ 对应的齐次线性方程组$$\left[\begin{array}{cccc}{\vec{u}}_{i_1}^{\prime }& {\vec{u}}_{i_2}^{\prime }& \cdots & {\vec{u}}_{i_s}^{\prime }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ ⋮\\ {\lambda }_s\end{array}\right]=0$$是等价的方程, 即$${\lambda }_1{\vec{u}}_{i_1}+\cdots {\lambda }_s{\vec{u}}_{i_s}=0\text{当且仅当}{\lambda }_1{\vec{u}}_{i_1}^{\prime }+\cdots {\lambda }_s{\vec{u}}_{i_s}^{\prime }=0$$由此可以证明: 如果列向量组 $\{{\vec{u}}_{k_1},{\vec{u}}_{k_2},\cdots ,{\vec{u}}_{k_r}\}$ 是 $A$ 的列向量的极大线性无关组, 则 $\{{\vec{u}}_{k_1}^{\prime },{\vec{u}}_{k_2}^{\prime },\cdots ,{\vec{u}}_{k_r}^{\prime }\}$ 是 $A^{\prime }$ 的列向量的极大线性无关组. 因此 $A$ 和 $A^{\prime }$ 的列秩相等. 证明细节留作练习.

我们通过初等行变化将 $A$ 变为阶梯型

$$A^{\prime }=\left[\begin{array}{cccccccccc}& & a_{1p_1}^{\prime }& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & a_{1n}^{\prime }\\ & & & & a_{2p_2}^{\prime }& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & a_{2n}^{\prime }\\ & & & & & & \cdots & \cdots & \cdots & ⋮\\ & & & & & & & a_{r{p}_r}^{\prime }& \cdots & a_{rn}^{\prime }\\ & & & & & & & & & \end{array}\right]$$这里 $a_{1p_1}^{\prime },\cdots ,a_{r{p}_r}^{\prime }$ 均不为 $0$. 很容易看出列向量$${\vec{u}}_{p_1}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{a}_{1p_1}^{\prime }\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]{\vec{u}}_{p_2}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{a}_{1p_2}^{\prime }\\ a_{2p_2}^{\prime }\\ ⋮\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]\cdots {\vec{u}}_{p_r}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{a}_{1p_r}^{\prime }\\ a_{2p_r}^{\prime }\\ ⋮\\ a_{r{p}_r}^{\prime }\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]$$构成 $A^{\prime }$ 列向量的极大线性无关组, 因此 $A^{\prime }$ 的列秩是 $r$.

因此通过初等行变换将 $A$ 变成阶梯型, 我们证明了如下结论$$\text{行秩}=r=\text{列秩}$$

命题 2.3.8. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩.

因此我们把这个行秩/列秩称为矩阵的秩, 记为$$\mathrm{rank}A.$$

我们把上述关于齐次线性方程组的解总结如下:

定理 2.3.9 (齐次线性方程组解的结构定理). 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵, $\mathrm{rank}A=r$.

•	如果 $r=n$, 则 $A\vec{x}=0$ 只有零解
•	如果 $r<n$, 则 $A\vec{x}=0$ 具有非零解, 且它的通解具有 $n-r$ 个独立参数

非齐次线性方程组的解空间

下面我们考虑非齐次线性方程组$$A\vec{x}=\vec{b}$$的解空间. 这里

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\vec{b}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]$$

由于$$\text{非齐次通解=非齐次特解+齐次通解}$$由命题 2.3.5, 我们已经知道了齐次方程组的通解结构 (解空间的维数即自由参数的个数为 $n-\mathrm{rank}A$) , 因此我们只需要讨论能否找到非齐次线性方程组的一个特解, 即解的存在性问题.

我们把矩阵 $A$ 写成列向量的样子$$A=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{u}}_1& {\vec{u}}_2& \cdots & {\vec{u}}_n\end{array}\right]$$则线性方程组可以写成$$x_1{\vec{u}}_1+\cdots +x_n{\vec{u}}_n=\vec{b}$$

如果线性方程组有解, 即存在 $x_1,\cdots ,x_n$ 使得$$x_1{\vec{u}}_1+\cdots +x_n{\vec{u}}_n=\vec{b}$$即 $\vec{b}$ 可以写成 $\{{\vec{u}}_1,\cdots ,{\vec{u}}_n\}$ 的线性组合. 则$$\{{\vec{u}}_1,\cdots ,{\vec{u}}_n\}\stackrel{\text{等价}}{⟺}\{{\vec{u}}_1,\cdots ,{\vec{u}}_n,\vec{b}\}$$

反之, 如果$$\{{\vec{u}}_1,\cdots ,{\vec{u}}_n\}\stackrel{\text{等价}}{⟺}\{{\vec{u}}_1,\cdots ,{\vec{u}}_n,\vec{b}\}$$则 $\vec{b}$ 可以通过 $\{{\vec{u}}_1,\cdots ,{\vec{u}}_n\}$ 线性表达, 即方程有解.

因此线性方程组有解当且仅当$$\{{\vec{u}}_1,\cdots ,{\vec{u}}_n\}\stackrel{\text{等价}}{⟺}\{{\vec{u}}_1,\cdots ,{\vec{u}}_n,\vec{b}\}$$即这两组向量张成的线性空间的维数是一样的. 由此我们证明了如下结论

命题 2.3.10. 非齐次线性方程组 $A\vec{x}=\vec{b}$ 有解当且仅当 $A$ 的列秩和增广矩阵 $\overline{A}=[A\vec{b}]$ 的列秩相等, 即$$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\overline{A}$$

我们把上述关于非齐次线性方程组的解总结如下:

定理 2.3.11 (非齐次线性方程组解的结构定理). 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵, $\mathrm{rank}A=r$. 考虑非齐次线性方程组 $A\vec{x}=\vec{b}$, 设 $\overline{A}$ 是增广矩阵.

•	$A\vec{x}=\vec{b}$ 有解当且仅当 $\mathrm{rank}\overline{A}=r$
•	假设 $\mathrm{rank}\overline{A}=r$ ∘ 如果 $r=n$, 则 $A\vec{x}=\vec{b}$ 有唯一解 ∘ 如果 $r<n$, 则 $A\vec{x}=\vec{b}$ 的解不唯一, 且它的通解具有 $n-r$ 个独立参数

例子 2.3.12. 考虑如下线性方程组$$\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ 2x+3y+5z=4\\ x+2y+4z=1\end{array}$$这组方程在之前的例子中计算过, 其通解为 $\{\begin{array}{l}x=2c+5\\ y=-2-3c\\ z=c\end{array}$ 这里 $c$ 是任意常数. 把其写作$$\text{通解为}\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right]$$这里 $\left[\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0\end{array}\right]$ 是线性方程组的一个特解, $c\left[\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right]$ 是对应齐次方程组的通解.

秩-零化度定理

我们讨论线性方阵组解的结构定理的几何解释.

定义 2.3.13. 设$$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$$是一个线性映射. 映射 $f$ 的像是 ${\mathbb{R}}^m$ 中的子集记为 $\mathrm{im}(f)$. 定义 $f$ 的核为 ${\mathbb{R}}^n$ 中如下子集$$\ker (f):=\{\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n|f(\vec{x})=0\}$$

设线性映射 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 对应的矩阵表达为$$f(\vec{x})=A\vec{x}\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n$$这里 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵, 记为$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

$f$ 的核通过矩阵 $A$ 等价表达为$$\ker (f):=\{\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n|A\vec{x}=0\}$$因此核的概念即刻画了齐次线性方程组的解$$\ker (f)=\{\text{齐次线性方程组Ax=0的解}\}$$由命题 2.3.1 知, $\ker (f)\subset {\mathbb{R}}^n$ 是线性子空间.

$f$ 的像也可以通过矩阵 $A$ 来刻画. 把 $A$ 写成列向量的样子$$A=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{\alpha }}_1& {\vec{\alpha }}_2& \cdots & {\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]\text{这里}{\vec{\alpha }}_j=\left[\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^m$$则 $\vec{y}\in \mathrm{im}(f)$ 当且仅当存在 $\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n$ 使得 $\vec{y}=A\vec{x}$. 写成 $A$ 的列向量的样子$$\vec{y}=x_1{\vec{\alpha }}_1+x_2{\vec{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\vec{\alpha }}_n$$即等价于 $\vec{y}$ 可以通过 $\{{\vec{\alpha }}_1,{\vec{\alpha }}_2,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$ 线性表达. 因此$$\mathrm{im}(f)=\mathrm{Span}\{{\vec{\alpha }}_1,{\vec{\alpha }}_2,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}$$特别的, $\mathrm{im}(f)\subset {\mathbb{R}}^m$ 也是线性子空间.

定理 2.3.14 (秩-零化度定理). 设 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 是一个线性映射. 则$$\dim \mathrm{im}(f)+\dim \ker (f)=n$$

证明: 由矩阵的秩的定义, 我们知道$$\dim \mathrm{im}(f)=\dim \mathrm{Span}\{{\vec{\alpha }}_1,{\vec{\alpha }}_2,\cdots ,{\vec{\alpha }}_n\}=\text{A的列秩}=\mathrm{rank}A$$由定理 2.3.9, $$\dim \ker (f)=n-\mathrm{rank}A=n-\dim \mathrm{im}(f)$$

$\square$

秩-零化度定理的几何是非常直观的. 我们可以把映射 $f$ 看作把 ${\mathbb{R}}^n$“压缩” 到它的像 $\mathrm{im}(f)$, 其中被 “压缩” 的部分是它的核 $\ker (f)$. 则 ${\mathbb{R}}^n$ 的维数是像的维数加上被压缩的维数, 即秩-零化度定理.

秩-零化度定理也可以表述在抽象的线性空间里.

定理 2.3.15 (秩-零化度定理). 设 $V,W$ 是有限维线性空间, $f:V\to W$ 是一个线性映射. 则$$\dim \mathrm{im}(f)+\dim \ker (f)=\dim V$$

这里像 $\mathrm{im}(f)\subset W$ 与核 $\ker (f)\subset V$ 的定义与上述类似. 通过选取一组基, 可以把定理 2.3.15 转化为定理 2.3.14 的情形, 具体细节留作练习.