1. | 判断下列集合是否构成 R3 上的线性子空间, 并说明理由: (a) | V1={(x,y,z)∈R3∣ x+y+z=0} | (b) | V2={(x,y,z)∈R3∣ x+y+z=1} | (c) | V3={(x,y,z)∈R3∣ x2+y2−z2=0} | (d) | V4={(x,y,z)∈R3∣ x=2y,z=3y} | (e) | V5={(x,y,z)∈R3∣ x≥0,y≥0} |
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2. | 判断下列函数集合是否构成线性空间并说明理由, 其中加法和数乘定义为函数的加法和数乘: (a) | V={f:R→R∣ f(0)=0} | (b) | V={f:R→R∣ f(x)=ax+b, a,b∈R} |
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3. | 设向量 v1=(1,2,3), v2=(0,1,2), v3=(−1,0,1). (a) | 判断向量组 {v1,v2,v3} 是否线性相关. 若线性相关, 找出线性相关的系数. | (b) | 判断 u1=(1,5,9) 是否可以表示为 v1, v2, v3 的线性组合. 若可以, 找出线性组合的系数. | (c) | 判断 u2=(4,7,11) 是否可以表示为 v1, v2, v3 的线性组合. 若可以, 找出线性组合的系数. |
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4. | 设 V 是 R 上所有次数不超过 2 的多项式构成的线性空间. (a) | 证明向量组 {1,x,x2} 线性无关. | (b) | 向量组 {1+x,1−x,x2} 是否线性相关? 说明理由 | (c) | 向量组 {1,x,x2,1+2x+3x2} 是否线性相关? 说明理由 | (d) | 设 p1(x)=1+x, p2(x)=1−x, p3(x)=x2. 多项式 q(x)=2x2+3x+4 是否可以表示为 p1(x),p2(x),p3(x) 的线性组合? 如果是, 请给出具体的线性组合表示. | (e) | 多项式 r(x)=x2−1 是否可以表示为 p1(x),p2(x),p3(x) 的线性组合? 如果是, 请给出具体的线性组合表示. |
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5. | 证明: 若向量组 {v1,v2,…,vn} 线性相关, 则向量组 {v1,v2,…,vn,vn+1} 也线性相关. |
6. | 设 V 是 R 上的线性空间, v1,v2,v3∈V. 已知 v1,v2 线性无关, 且 v3 不能表示为 v1,v2 的线性组合. 证明: v1,v2,v3 线性无关. |
7. | 设 V 是 R 上的线性空间, v1,v2,…,vn∈V. 证明: 若 v1,v2,…,vn 线性无关, 且 v1,v2,…,vn,u 线性相关, 则 u 可以表示为 v1,v2,…,vn 的线性组合. |
8. | 判断下列向量组是否构成 R4 的一组基: v1=(1,0,0,0),v2=(1,1,0,0),v3=(1,1,1,0),v4=(1,1,1,1). |
9. | 设 W 是 R3 中所有满足 x+2y−z=0 的向量 (x,y,z) 构成的子空间. 求 W 的一组基和维数. |
10. | 设 W 是 R4 中所有满足 x1+x2−x3+x4=0 和 2x1−x2+x3−2x4=0 的向量 (x1,x2,x3,x4) 构成的子空间. 求 W 的一组基和维数. |
11. | 设 Mm×n 是所有 m×n 矩阵构成的向量空间. 求 Mm×n 的一组基和维数. |
12. | 求下列向量组的秩和一个极大线性无关组: (a) | v1=(1,2,3),v2=(2,1,0),v3=(3,3,3). | (b) | v1=(1,0,1,0),v2=(0,1,0,1),v3=(1,1,1,1),v4=(2,1,2,1). |
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13. | 设向量组 α1,α2,α3 线性无关, 向量 β 可以由 α1,α2,α3 线性表示, 但不能由 α1,α2 线性表示. 判断向量组 {α1,α2,β} 是否构成 {α1,α2,α3,β} 的极大线性无关组, 并证明你的结论. |
14. | 设向量组 v1,v2,…,vs 可由向量组 u1,u2,…,ut 线性表示. 证明: rank{v1,v2,…,vs}≤rank{u1,u2,…,ut} |
15. | 设向量组 v1,v2,…,vs 和向量组 u1,u2,…,ut 等价. 证明: rank{v1,v2,…,vs}=rank{u1,u2,…,ut} |
16. | 求如下线性映射 T 在标准基下的矩阵表示: (a) | T:R2→R2 定义为 T(x,y)=(x+2y,3x−y). | (b) | T:R3→R2 定义为 T(x,y,z)=(x+y,y−z). | (c) | T:R2→R3 定义为 T(x,y)=(x,x+y,x−y). | (d) | T:R2→R2 定义为关于 x 轴的反射. | (e) | T:R2→R2 定义为关于直线 y=x 的反射. | (f) | T:R2→R2 定义为先绕原点逆时针旋转 4π 角, 再关于 x 轴反射. |
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