1.5. 习题

1.

判断下列集合是否构成 上的线性子空间, 并说明理由:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

2.

判断下列函数集合是否构成线性空间并说明理由, 其中加法和数乘定义为函数的加法和数乘:

(a)

(b)

3.

设向量 , , .

(a)

判断向量组 是否线性相关. 若线性相关, 找出线性相关的系数.

(b)

判断 是否可以表示为 , , 的线性组合. 若可以, 找出线性组合的系数.

(c)

判断 是否可以表示为 , , 的线性组合. 若可以, 找出线性组合的系数.

4.

上所有次数不超过 的多项式构成的线性空间.

(a)

证明向量组 线性无关.

(b)

向量组 是否线性相关? 说明理由

(c)

向量组 是否线性相关? 说明理由

(d)

, , . 多项式 是否可以表示为 的线性组合? 如果是, 请给出具体的线性组合表示.

(e)

多项式 是否可以表示为 的线性组合? 如果是, 请给出具体的线性组合表示.

5.

证明: 若向量组 线性相关, 则向量组 也线性相关.

6.

上的线性空间, . 已知 线性无关, 且 不能表示为 的线性组合. 证明: 线性无关.

7.

上的线性空间, . 证明: 若 线性无关, 且 线性相关, 则 可以表示为 的线性组合.

8.

判断下列向量组是否构成 的一组基:

9.

中所有满足 的向量 构成的子空间. 求 的一组基和维数.

10.

中所有满足 的向量 构成的子空间. 求 的一组基和维数.

11.

是所有 矩阵构成的向量空间. 求 的一组基和维数.

12.

求下列向量组的秩和一个极大线性无关组:

(a)

(b)

13.

设向量组 线性无关, 向量 可以由 线性表示, 但不能由 线性表示. 判断向量组 是否构成 的极大线性无关组, 并证明你的结论.

14.

设向量组 可由向量组 线性表示. 证明:

15.

设向量组 和向量组 等价. 证明:

16.

求如下线性映射 在标准基下的矩阵表示:

(a)

定义为 .

(b)

定义为 .

(c)

定义为 .

(d)

定义为关于 轴的反射.

(e)

定义为关于直线 的反射.

(f)

定义为先绕原点逆时针旋转 角, 再关于 轴反射.