1.4. 线性映射与矩阵

集合的映射

两个集合 $X,Y$ 之间的一个映射$$f:X\to Y$$指的是一个对应法则, 将 $X$ 中的一个元素 $x$ 唯一对应到 $Y$ 中的一个元素 $y$, 记为 $y=f(x)$

设 $f:X\to Y$ 是一个映射. $X$ 的一个子集 $Z$ 在 $f$ 下的像, 指的是所有由 $Z$ 中的元素在映射 $f$ 下构成的 $Y$ 中元素的集合, 记为 $f(Z)\subset Y$ $$f(Z):=\{y\in Y|\text{存在 x∈Z 使得}y=f(x)\}$$

我们记 $\mathrm{im}(f):=f(X)$, 称为映射 $f$ 的像.

定义 1.4.1. 映射 $f:X\to Y$ 称为是一个满射, 如果$$\mathrm{im}(f)=Y$$即 $Y$ 中每个元素都通过 $f$ 对应于 $X$ 中某个元素.

映射 $f:X\to Y$ 称为一个单射, 如果对任意两个元素 $x_1,x_2\in X$$$x_1\ne x_2⟹f(x_1)\ne f(x_2)$$即不同的元素的像也一定是不同的.

$y\in Y$ 在映射 $f:X\to Y$ 下的原像定义为$$f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\}.$$

如果 $y\notin \mathrm{im}(f)$, 则 $f^{-1}(y)=\varnothing$ 是空集.

不难看出, $f:X\to Y$ 是单射当且仅当对任意 $y\in \mathrm{im}(f)$, $f^{-1}(y)$ 只含有一个元素.

定义 1.4.2. 映射 $f:X\to Y$ 称为是一一映射, 如果 $f$ 即是单射也是满射. 此时 $f$ 给出了集合 $X$ 和 $Y$ 之间的一个一一对应关系.

线性映射

下面我们考虑两个线性空间之间的映射. 由于线性空间上具有线性结构, 我们关注那些保持线性结构的映射. 这样的映射称为线性映射.

定义 1.4.3. 两个线性空间 $V,W$ 之间的映射 $f:V\to W$ 称为一个线性映射, 如果 $f$ 满足

•	保加法: 对任意的 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\in V$$$f({\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2)=f({\mathbf{v}}_1)+f({\mathbf{v}}_2),$$
•	保数乘: 对任意的 $\mathbf{v}\in V,\lambda \in k$ $$f(\lambda \mathbf{v})=\lambda f(\mathbf{v}).$$

特别的, $f$ 一定把零向量映到零向量.

例子 1.4.4. 考虑如下映射 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$, 记作 $(x,y)\mapsto f(x,y)$

•	$f(x,y)=x$. $f$ 是一个线性映射
•	$f(x,y)=2x+3y$. $f$ 是一个线性映射
•	$f(x,y)=2x+3y-1$. $f$ 不是一个线性映射
•	$f(x,y)=x^2+y$. $f$ 不是一个线性映射

例子 1.4.5. 设 $V=\mathbb{R}[x]$ 是一元多项式空间. 给定 $a\in \mathbb{R}$, 我们定义赋值映射$${\delta }_a:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R},{\delta }_a(f):=f(a)$$则 ${\delta }_a$ 是一个线性映射:

•	${\delta }_a(f+g)=f(a)+g(a)={\delta }_a(f)+{\delta }_a(g)$
•	${\delta }_a(\lambda f)=\lambda f(a)=\lambda {\delta }_a(f)$

例子 1.4.6. 类似的, 给定 $a_1,\cdots ,a_n\in \mathbb{R}$, 赋值映射$$\begin{array}{rl}\delta :\mathbb{R}[x]& \to {\mathbb{R}}^n\\ \delta (f)& :=(f(a_1),\cdots ,f(a_n))\end{array}$$是一个线性映射. 而映射$$\phi :\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R},\phi (f)=f(a_1)\cdots f(a_n)$$不是一个线性映射 ($n>1$) .

命题 1.4.7. 设 $f:V\to W$ 是一个线性映射, ${\mathbf{v}}_i\in V,{\lambda }_i\in k$. 则$$f({\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +{\lambda }_m{\mathbf{v}}_m)={\lambda }_{1}f({\mathbf{v}}_1)+\cdots +{\lambda }_{m}f({\mathbf{v}}_m).$$即 $f$ 保持线性组合的结构.

证明: $$\begin{array}{rl}f({\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +{\lambda }_m{\mathbf{v}}_m)\stackrel{\text{保加法}}{=}& f({\lambda }_1{\mathbf{v}}_1)+\cdots +f({\lambda }_m{\mathbf{v}}_m)\stackrel{\text{保数乘}}{=}{\lambda }_{1}f({\mathbf{v}}_1)+\cdots +{\lambda }_{m}f({\mathbf{v}}_m)\end{array}$$

$\square$

命题 1.4.8. 设 $V,W,U$ 是线性空间, $f:V\to W$ 和 $g:W\to U$ 是线性映射. 则复合 $g\circ f:V\to U$ 也是线性映射.

证明: 对任意 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\in V$, 由 $f,g$ 的线性性$$g(f({\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2))=g(f({\mathbf{v}}_1)+f({\mathbf{v}}_2))=g(f({\mathbf{v}}_1))+g(f({\mathbf{v}}_2))$$因此 $g\circ f$ 保加法. 类似可证 $g\circ f$ 保数乘.

$\square$

例子 1.4.9. $$f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,f(x,y)=(-y,x)$$是一个线性映射, 表示平面上逆时针旋转 $\frac{\pi }{2}$. $f$ 和它自己的复合$$f\circ f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,(x,y)\to (-x,-y)$$也是线性映射, 表示平面上逆时针旋转 $\pi$.

命题 1.4.10. 设 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 是 $V$ 的一组基. 则一个线性映射 $f:V\to W$ 完全由 $f$ 在 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 上的值决定.

证明: 假设 ${\mathbf{w}}_1=f({\mathbf{v}}_1),\cdots ,{\mathbf{w}}_n=f({\mathbf{v}}_n)$. 则对 $V$ 中任意向量 $\mathbf{v}$, 它可以唯一表达为线性组合$$\mathbf{v}={\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{v}}_n.$$则由 $f$ 的线性性, 我们得到$$f(\mathbf{v})={\lambda }_1{\mathbf{w}}_1+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{w}}_n$$被 ${\mathbf{w}}_1,\cdots ,{\mathbf{w}}_n$ 完全确定了.

$\square$

例子 1.4.11. ${\mathbb{R}}^n$ 中的一组基为$$\begin{array}{rl}{\vec{e}}_1& =(1,0,\cdots ,0)\\ {\vec{e}}_2& =(0,1,\cdots ,0)\\ & ⋮\\ {\vec{e}}_n& =(0,0,\cdots ,1)\end{array}$$设 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是线性映射并且 $f({\vec{e}}_i)=a_i$, 则$$f(\vec{x})=f(x_1{\vec{e}}_1+\cdots +x_n{\vec{e}}_n)=a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n$$

矩阵

下面我们讨论线性映射$$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$$我们说明这样一个线性映射可以通过矩阵来描述. 为了方便, 我们将 ${\mathbb{R}}^n$ 中的元素写成列向量$$\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^n$$${\mathbb{R}}^n$ 的一组标准基记为$${\vec{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],{\vec{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]\cdots {\vec{e}}_n=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]$$

线性映射 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 由一组基的值确定. 设$$f({\vec{e}}_1)=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right],f({\vec{e}}_2)=\left[\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{m2}\end{array}\right]\cdots f({\vec{e}}_n)=\left[\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ ⋮\\ a_{mn}\end{array}\right]$$则这些向量 $f({\vec{e}}_1),\cdots ,f({\vec{e}}_n)\in {\mathbb{R}}^m$ 决定了线性映射 $f$ 在所有 ${\mathbb{R}}^n$ 上的取值. 对于 ${\mathbb{R}}^n$ 中任意一个向量 $\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$, 我们有$$f(\vec{x})=f(x_1{\vec{e}}_1+\cdots +x_n{\vec{e}}_n)\stackrel{\text{线性性}}{=}{x}_{1}f({\vec{e}}_1)+\cdots +x_{n}f({\vec{e}}_n)$$代入 $f({\vec{e}}_i)$ 的值, 我们得到$$\begin{array}{rl}f(\vec{x})=& x_1\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{m2}\end{array}\right]\cdots +x_n\left[\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ ⋮\\ a_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n\end{array}\right]\end{array}$$

我们把 ${\mathbb{R}}^m$ 中的向量 $f({\vec{e}}_1),\cdots ,f({\vec{e}}_n)$ 排列在一起右边这个表达方式称为一个 $m\times n$ 的矩阵. $m$ 表示这个矩阵的行数, $n$ 表示这个矩阵的列数.

命题 1.4.12. 我们有一一对应$$\begin{array}{rl}\{\text{线性映射 Rn→Rm}\}& ⟺\{\text{m×n 的矩阵}\}\\ f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m& ⟺\left[\begin{array}{ccc}f({\vec{e}}_1)& f({\vec{e}}_2)\cdots & f({\vec{e}}_n)\end{array}\right]\end{array}$$

由上述讨论, 给定线性映射 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, 我们将它对应于矩阵 ($A$ 称为 $f$ 的矩阵表示) $$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$其中 $A$ 的第 $k$ 列对应于 $f({\vec{e}}_k),k=1,\dots ,n.$

反之, 给定矩阵$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$$A$ 的列向量决定了一个线性映射 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\stackrel{f}{\mapsto }\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n\end{array}\right]$$

例子 1.4.13. 线性映射 $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2,\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\mapsto \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$ 对应于矩阵$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$这是一个 $2$ 行 $3$ 列的矩阵, 即 $2\times 3$ 矩阵.

例子 1.4.14. $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$ 给出一个线性映射 $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$

$$f:\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\mapsto \left[\begin{array}{c}\cos \theta x_1-\sin \theta x_2\\ \sin \theta x_1+\cos \theta x_2\end{array}\right]$$