1.3. 基与维数

线性空间的基

线性空间中的元素可以通过一些更基本的向量来线性表达. 这个想法给出了 “基” 的概念.

定义 1.3.1. 线性空间 $V$ 的一组向量 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ 称为 $V$ 的一组基, 如果它们线性无关, 并且 $V$ 中的每个向量都可以通过它们来线性表达, 即$$V=\mathrm{Span}\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}.$$

我们只考虑有限个向量构成一组基的情况. 有时候还需要无穷个向量来构成一组基 (例如量子力学中的态空间) , 这个是泛函分析里讨论的内容. 我们这里不考虑无穷的情况.

考虑实线性空间 $V$. 如果 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ 构成 $V$ 的一组基, 那么 $V$ 中任一向量 $\mathbf{u}$ 可以唯一地写成$$\mathbf{u}={\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{v}}_n,{\lambda }_i\in \mathbb{R}$$反之, 给定实数 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$, 上述公式给出了 $V$ 中的一个向量. 由此我们证明了如下结论.

命题 1.3.2. 设 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ 是 $V$ 的一组基. 则映射$$\begin{array}{rl}\phi :{\mathbb{R}}^n& \to V\\ ({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)& \mapsto {\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{v}}_n\end{array}$$给出了 ${\mathbb{R}}^n$ 和 $V$ 之间的一一对应.

因此, 如果我们找到 $V$ 的一组基, 那么就可以用一串数字 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 来唯一的表示 $V$ 中的向量.

例子 1.3.3. ${\mathbb{R}}^3$ 中相互垂直的单位向量$$\vec{i}=(1,0,0)\vec{j}=(0,1,0)\vec{k}=(0,0,1)$$构成 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基. 任一向量 $(a,b,c)$ 可以表达为$$(a,b,c)=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$$因此向量 $(a,b,c)$ 可以通过 $a,b,c$ 这 $3$ 个数字来标记.

例子 1.3.4. 类似的, ${\mathbb{R}}^n$ 中的一组向量$$\begin{array}{rl}{\vec{e}}_1& =(1,0,\cdots ,0)\\ {\vec{e}}_2& =(0,1,\cdots ,0)\\ & \cdots \\ {\vec{e}}_n& =(0,0,\cdots ,1)\end{array}$$构成了 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组基, 称为 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准基.

例子 1.3.5. $V={\mathbb{R}}^2$ 中的向量 ${\vec{v}}_1=(1,0)$ 和 ${\vec{v}}_2=(1,1)$ 构成一组基. 对于向量 $\vec{u}=(a,b)$, 我们把它线性表达为$$(a,b)={\lambda }_1{\vec{v}}_1+{\lambda }_2{\vec{v}}_2=({\lambda }_1+{\lambda }_2,{\lambda }_2)$$这组基给出了一个一一对应$$\begin{array}{rl}\phi :{\mathbb{R}}^2& \to V\\ ({\lambda }_1,{\lambda }_2)& \mapsto {\lambda }_1{\vec{v}}_1+{\lambda }_2{\vec{v}}_2=({\lambda }_1+{\lambda }_2,{\lambda }_2)\end{array}$$

这里 $\phi$ 将基坐标 $(1,2)$ 对应到向量 $1{\vec{v}}_1+2{\vec{v}}_2$$$\phi :(1,2)\to 1{\vec{v}}_1+2{\vec{v}}_2=(3,2)$$

维数

自然有如下两个问题. 第一, 如何构造一组基? 第二, 注意到基的选取并不唯一, 那么不同的基之间是什么关系?

假设 $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 是 $V$ 的一组基, $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m\}$ 是 $V$ 的另一组基. 我们下面证明 $n=m$, 即不同基中的向量个数一定是一样的.

引理 1.3.6. 假设非零向量 $\mathbf{u}$ 可以由一组向量 $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 线性表达, 则存在 $i$ 使得$$\text{{v1,⋯,vn} 与{v1,⋯,vi−1,u,vi+1,⋯,vn}线性等价。}$$

证明: $\mathbf{u}={\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{v}}_n$. 不妨设 ${\lambda }_i\ne 0$, 则$${\mathbf{v}}_i=-\frac{1}{{\lambda }_i}\left({\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +{\lambda }_{i-1}{\mathbf{v}}_{i-1}-\mathbf{u}+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{v}}_n\right)$$因此$$\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}\subset \mathrm{Span}\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{i-1},\mathbf{u},{\mathbf{v}}_{i+1},\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$$

另一方面显然有$$\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{i-1},\mathbf{u},{\mathbf{v}}_{i+1},\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}\subset \mathrm{Span}\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$$

$\square$

命题 1.3.7. 假设 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m\}$ 线性无关, 并可以由一组向量 $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 线性表达. 则可以用 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m\}$ 替换掉 $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 中的某 $m$ 个向量并保持其与 $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 线性等价. 特别的, 我们有 $m\le n$.

证明: 由假设 ${\mathbf{u}}_1\in \mathrm{Span}\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$. 由引理 1.3.6 知存在某个 ${\mathbf{v}}_i$, 不妨设是 ${\mathbf{v}}_1$, 使得$$\mathrm{Span}\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}=\mathrm{Span}\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$$

下面考虑 ${\mathbf{u}}_2$. 由假设 ${\mathbf{u}}_2\in \mathrm{Span}\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$, 于是$${\mathbf{u}}_2={\lambda }_1{\mathbf{u}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{v}}_2+\cdots {\lambda }_n{\mathbf{v}}_n$$其中 ${\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 不能全为 $0$, 否则 ${\mathbf{u}}_2={\lambda }_1{\mathbf{u}}_1$ 与 ${\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2$ 线性无关的假设矛盾. 不妨设 ${\lambda }_2\ne 0$, 则由引理 1.3.6 知$$\mathrm{Span}\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}=\mathrm{Span}\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,{\mathbf{v}}_3\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}.$$

重复这个过程, 我们证明可以用 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m\}$ 替换掉 $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 中的 $m$ 个向量并保持线性等价性. 特别的必然有 $m\le n$.

$\square$

命题 1.3.8. 假设 $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 是 $V$ 的一组基, $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m\}$ 是 $V$ 的另一组基, 则 $n=m$.

证明: 由假设, $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 线性无关, 并且可以被 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m\}$ 线性表达. 由命题 1.3.7 知$$n\le m.$$同理知 $m\le n$. 因此 $n=m$.

$\square$

定义 1.3.9. 设 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 是线性空间 $V$ 的一组基, 则 $n$ 称为 $V$ 的维数, 记为$$\dim V=n.$$$V$ 称为一个 $n$ 维线性空间.

由命题 1.3.8 知, 这样定义的维数其实与基的选取没有关系, 是 $V$ 本身的性质. 当然也存在无穷维的线性空间, 我们这里只讨论有限维的情况.

例子 1.3.10. ${\mathbb{R}}^n$ 中的一组基为$$\begin{array}{rl}{\vec{e}}_1& =(1,0,\cdots ,0)\\ {\vec{e}}_2& =(0,1,\cdots ,0)\\ & ⋮\\ {\vec{e}}_n& =(0,0,\cdots ,1)\end{array}$$因此 ${\mathbb{R}}^n$ 的维数是 $n$.

例子 1.3.11. 微分方程$$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=0$$解构成的空间 $V$ 的一组基是 $\{\cos (x),\sin (x)\}$, 因此 $\dim V=2$.

命题 1.3.12. 设 $V$ 是 $n$ 维线性空间, $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 是 $n$ 个线性无关的向量. 则它们构成 $V$ 的一组基.

证明: 由定义, $V$ 存在一组基 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_n\}$. 由于 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 线性无关, 且可以由 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_n\}$ 线性表达, 由命题 1.3.7 知可以用 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 替换 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_n\}$ 中的 $n$ 个向量 (即全部替换) , 使得$$\mathrm{Span}\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}=\mathrm{Span}\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_n\}=V$$因此 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 是 $V$ 的一组基.

$\square$

因此在 $n$ 维空间里找一组基, 等价于找 $n$ 个线性无关的向量.

例子 1.3.13. ${\mathbb{R}}^3$ 中任意 $3$ 个不共面的向量 $\{{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2,{\vec{u}}_3\}$ 线性无关, 因此构成 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基.

命题 1.3.14. 设 $V$ 是一个 $n$ 维线性空间, $U$ 是线性子空间, 则$$\dim U=m\le \dim V=n$$并且 $U$ 的任意一组基 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m\}$ 可以扩展为 $V$ 的一组基 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m,{\mathbf{v}}_{m+1},\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$.

证明: 选 $U$ 的基 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m\}$, $V$ 的基 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$. 由于 $U\subset V$, 则 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m\}$ 线性无关且可以由 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 线性表达. 由命题 1.3.7 知 $m\le n$, 并且可以用 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m\}$ 替换 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ 中 $m$ 个向量构成 $V$ 的基, 从而扩展性得证.

$\square$

例子 1.3.15. 设 $H$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中过原点的一个平面, $L$ 是 $H$ 中过原点的一条直线. 则 $L\subset H\subset {\mathbb{R}}^3$$$\dim L=1<\dim H=2<\dim {\mathbb{R}}^3=3.$$

向量组的秩

定义 1.3.16. 设 $S$ 是 $V$ 的一组向量. 如果 $S$ 中的向量 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r\}$ 线性无关, 并且对任意 $\mathbf{u}\in S$, 向量 $\{\mathbf{u},{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r\}$ 均线性相关. 我们称 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r\}$ 是 $S$ 的一个极大线性无关组.

命题 1.3.17. $S$ 中的向量 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r\}$ 构成 $S$ 的一个极大线性无关组当且仅当它们是 $\mathrm{Span}S$ 的一组基. 因此$$r=\dim \mathrm{Span}S$$

证明: 假设 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r\}$ 是 $\mathrm{Span}\{S\}$ 的一组基. 则任意 $\mathbf{u}\in S$ 可以写成 $\mathbf{u}={\lambda }_1{\mathbf{u}}_1+\cdots {\lambda }_r{\mathbf{u}}_r$, 于是 $\{\mathbf{u},{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r\}$ 线性相关. 由 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r\}$ 是线性无关的, 因此它们是极大线性无关组.

反之, 假设 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r\}$ 是极大线性无关组. 则对任意 $\mathbf{u}\in S$, $\{\mathbf{u},{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r\}$ 是线性相关的, 即存在$${\lambda }_0\mathbf{u}+{\lambda }_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +{\lambda }_r{\mathbf{u}}_r=0$$这里 ${\lambda }_i$ 不全为 $0$. 如果 ${\lambda }_0=0$, 由 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r\}$ 线性无关知 ${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_r=0$, 矛盾. 故 ${\lambda }_0\ne 0$, 因此 $\mathbf{u}$ 可以由 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r\}$ 线性表达. 由 $\mathbf{u}$ 的任意性知 $S$ 中元素均可以由 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r\}$ 线性表达, 因此$$\mathrm{Span}S=\mathrm{Span}\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r\}.$$这说明 $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r\}$ 构成 $\mathrm{Span}S$ 的一组基.

$\square$

由此我们知道, 不同的极大线性无关组包含的向量个数是一样的, 都是 $S$ 张成的线性空间的维数. $S$ 的一组极大线性无关组刨除了 $S$ 中的冗余向量, 并保留了 $S$ 中包含的所有线性信息.

定义 1.3.18. 一组向量 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_m\}$ 的极大线性无关组的向量个数 $r=\dim \mathrm{Span}\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_m\}$ 称为向量组 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_m\}$ 的秩, 记为$$r=\mathrm{rank}\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_m\}.$$

一组向量的秩描述了它们张成线性空间的维数.

例子 1.3.19. 如果一组向量 $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_m\}$ 是线性无关的, 那么$$\mathrm{rank}\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_m\}=m.$$

例子 1.3.20. 考虑 ${\mathbb{R}}^3$ 中的一组向量$${\vec{v}}_1=(1,-1,0),{\vec{v}}_2=(0,1,-1),{\vec{v}}_3=(-1,0,1)$$它们满足$${\vec{v}}_1+{\vec{v}}_2+{\vec{v}}_3=0$$容易看出 $\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2\}$ 构成极大线性无关组. 比如 ${\vec{v}}_3$ 可以线性表达为 ${\vec{v}}_3=-{\vec{v}}_1-{\vec{v}}_2$. 同理 $\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_3\}$ 或者 $\{{\vec{v}}_2,{\vec{v}}_3\}$ 均是极大线性无关组. 这组向量的秩是 $2$.