3.6. 习题

1.	计算如下行列式$$\begin{array}{rlrlrl}& (1)\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right|& & (2)\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 0& 2\\ 1& 0& 1& 1\\ 2& 3& 0& 1\end{array}\right|& & (3)\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\\ 3& 4& 1& 2\\ 4& 1& 2& 3\end{array}\right|\end{array}$$
2.	用行列式的组合公式计算如下 $n$ 阶行列式$$\begin{array}{rlrl}& (1)\left|\begin{array}{cccccc}a& b& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& a& b& 0& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & \cdots & a& b\\ b& 0& \cdots & \cdots & 0& a\end{array}\right|& & (2)\left|\begin{array}{cccccc}x& -1& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& x& -1& 0& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & \cdots & x& -1\\ a_n& a_{n-1}& \cdots & \cdots & a_2& x+a_1\end{array}\right|\end{array}$$
3.	(a) 说明对 $m\times n$ 矩阵 $A$ 作的三种初等行变换均可以写成对 $A$ 左乘一个 $m$ 阶方阵 $P$$$A\to PA$$写出三种初等行变换对应的矩阵 $P$ 并计算其行列式 $\det P$. (b) 和初等行变换类似, 我们可以定义矩阵的三种初等列变换为 i. 交换两列: 将矩阵的两列交换位置 ii. 将矩阵中的一列乘以一个非零常数 iii. 将矩阵的一列乘以一个数加到另一列 说明对 $m\times n$ 矩阵 $A$ 作的三种初等列变换均可以写成对 $A$ 右乘一个 $n$ 阶方阵 $Q$$$A\to AQ$$写出三种初等列变换对应的矩阵 $Q$ 并计算其行列式 $\det Q$.
4.	设 $A$ 是如下分块上三角形式$$A=\left[\begin{array}{cc}B& C\\ 0& D\end{array}\right]$$这里 $B$ 是 $k\times k$ 矩阵, $C$ 是 $k\times (n-k)$ 矩阵, $D$ 是 $(n-k)\times (n-k)$ 矩阵. 证明 $\det A=\det B\det D$.
5.	设 $A$ 是 $m\times k$ 矩阵, $B$ 是 $k\times n$ 矩阵. 证明$$(AB{)}^T=B^T{A}^T$$类似地, 对于多个矩阵的乘积, $(A_1{A}_2\cdots A_l{)}^T=A_l^T\cdots A_2^T{A}_1^T$.
6.	利用 Laplace 展开定理计算$$\begin{array}{rlrl}& (1)\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 0& 2\\ 1& 0& 1& 1\\ 2& 3& 0& 1\end{array}\right|& & (2)\left|\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 2& 3& 4& 5& 6\end{array}\right|\end{array}$$
7.	Fibonacci 数为: $F_1=1,F_2=2,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n\ge 3)$. 证明 Fibonacci 数可以写成$$F_n=\left|\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 0& \cdots & 0\\ -1& 1& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& -1& 1& 1& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & -1& 1& 1\\ 0& 0& \cdots & \cdots & -1& 1\end{array}\right|$$
8.	设 $n$ 阶方阵 $A$ 的矩阵元 $a_{ij}=a_{ij}(x)$ 都是变量 $x$ 的可微函数. 证明$$\frac{d\det A}{dx}=\sum _{1\le i,j\le n}(-1{)}^{i+j}\frac{d{a}_{ij}}{dx}{A}_{ij}$$其中 $A_{ij}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列余子式.
9.	设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵, $B$ 是 $n\times m$ 矩阵. 考虑 $(m+n)\times (m+n)$ 阶方阵 $\left[\begin{array}{cc}{I}_m& A\\ B& I_n\end{array}\right]$, 这里 $I_m$ 是 $m$ 阶单位阵, $I_n$ 是 $n$ 阶单位阵. (a) 证明$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}{I}_m& 0\\ -B& I_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_m& A\\ B& I_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{I}_m& A\\ 0& I_n-BA\end{array}\right]\\ & \left[\begin{array}{cc}{I}_m& -A\\ 0& I_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_m& A\\ B& I_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{I}_m-AB& 0\\ B& I_n\end{array}\right]\end{array}$$ (b) 证明$$\det (I_m-AB)=\det (I_n-BA)$$ (c) 计算行列式$$\left|\begin{array}{cccc}1+a_1{b}_1& a_1{b}_2& \cdots & a_1{b}_n\\ a_2{b}_1& 1+a_2{b}_2& \cdots & a_2{b}_n\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_n{b}_1& a_n{b}_2& \cdots & 1+a_n{b}_n\end{array}\right|$$
10.	求下列矩阵的逆$$\begin{array}{rlrlr}& (1)\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]& & (2)\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 4& 2\\ 1& 0& 1& 1\\ 2& 3& 0& 1\end{array}\right]& \\ & (3){\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 0& 1& \cdots & 1\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]}_{n\times n}& & (4){\left[\begin{array}{cccccc}-2& 1& 0& 0& \cdots & 0\\ 1& -2& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& -2& 1& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& 0& \cdots & 1& -2\end{array}\right]}_{n\times n}& \end{array}$$
11.	设 $A$ 是 $n$ 阶幂零方阵, 即存在 $N$ 使得 $A^N=0$. 证明 $I_n-A$ 可逆.
12.	设 $A$ 是上三角方阵$$\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ 0& 0& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$且 $A$ 可逆. 证明 $A^{-1}$ 也是上三角方阵.
13.	设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵. 取出 $A$ 的第 $i_1,i_2,\cdots ,i_p$ 行和第 $j_1,j_2,\cdots ,j_p$ 列交叉位置上的元素构成的 $p$ 阶方阵的行列式$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{i_1{j}_1}& a_{i_1{j}_2}& \cdots & a_{i_1{j}_p}\\ a_{i_2{j}_1}& a_{i_2{j}_2}& \cdots & a_{i_2{j}_p}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i_p{j}_1}& a_{i_p{j}_2}& \cdots & a_{i_p{j}_p}\end{array}\right|$$称为 $A$ 的一个 $p$ 阶行列子式. 记 $A$ 的所有非零行列子式的最高阶数为 $p(A)$. 证明$$p(A)=\mathrm{rank}A$$
14.	设 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的秩为 $r$. 证明存在可逆 $m$ 阶方阵 $P$ 和可逆 $n$ 阶方阵 $Q$ 使得$$A=P\left[\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]Q$$$\left[\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ 是 $m\times n$ 阶矩阵, 左上角 $I_r$ 是 $r$ 阶单位阵. 这个结论称为矩阵的相抵标准型.