3.5. 矩阵的逆

定义 3.5.1. 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵, 如果存在一个 $n$ 阶方阵 $B$ 使得 $A B = B A = I_{n}$ 其中 $I_{n}$ 是 $n$ 阶单位阵, 我们称 $A$ 是可逆的, 且 $B$ 是它的逆矩阵, 记作 $A^{- 1}$ .

注记. 只有方阵 (即 $n \times n$ 矩阵) 才可能谈逆矩阵. 对于一般的矩阵, 有一个推广的概念称为 “广义逆” (见广义逆节) , 它没有方阵的逆这样好的结构, 但是在解线性方程组方面有一些和逆相近的性质.

可逆矩阵的判别法

假设 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆, 则对 $A A^{- 1} = I_{n}$ 两边取行列式, 我们得到 $det A det A^{- 1} = 1$ , 因此 $det A^{- 1} = (det A)^{- 1}$ 特别的有 $det A \neq = 0$ . 因此 $A$ 可逆的一个必要条件是 $det A \neq = 0$ . 我们下面说明这也是充分条件.

命题 3.5.2. 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵, 则如下两个条件等价 $det A \neq = 0 ⟺ rank A = n$

证明: 我们可以通过初等行变换将

A

变成阶梯形矩阵

A^{'}

A^{'} = ∣ ∣ a_{11}^{'} 0 \dots 0 \dots a_{22}^{'} \dots 0 \dots \dots \dots \dots a_{1 n}^{'} a_{2 n}^{'} \dots a_{nn}^{'} ∣ ∣

由行列式在初等行变换下的变换性质可知

det A \neq = 0 ⟺ det A^{'} \neq = 0

由于

det A^{'} = a_{11}^{'} a_{22}^{'} \dots a_{nn}^{'}

, 我们可以看出

det A^{'} \neq = 0 ⟺ rank A^{'} = n

因此

det A \neq = 0 ⟺ det A^{'} \neq = 0 ⟺ rank A^{'} = n ⟺ rank A = n

$□$

命题 3.5.3. 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵且 $det A \neq = 0$ . 则对任意列向量 $b \in R^{n}$ , 线性方程组 $A x = b$ 有唯一解.

证明: 由

det A \neq = 0

, 我们有

n - rank A = 0

, 由定理 2.3.11 得到解的唯一性. 我们只需要证明解的存在性. 考虑增广矩阵

\overline{A} = [A b]

, 由

n = rank A \leq rank \overline{A} = \overline{A} 的行秩 \leq n

知

rank \overline{A} = rank A

. 由定理 2.3.11 知解存在.

$□$

定理 3.5.4. $A$ 是 $n$ 阶方阵, 则 $A$ 可逆当且仅当 $det A \neq = 0$ .

证明: 我们已经证明了必要性, 下面证明充分性.

假设 $det A \neq = 0$ . 考虑 $R^{n}$ 的标准基 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ . 由命题 3.5.3, 我们可以解出唯一的向量 $β_{i}$ 满足 $A β_{i} = e_{i} i = 1, \dots, n$

我们可以把这 $n$ 个方程写成一个矩阵的形式 $A [β_{1} β_{2} \dots β_{n}] = [e_{1} e_{2} \dots e_{n}]$ 记 $n$ 阶方阵 $B = [β_{1} β_{2} \dots β_{n}]$ . 则上述即为 $A B = I_{n}$ 我们下面证明 $B A = I_{n}$ 也成立.

由于

A B = I_{n}

, 两边取行列式我们知道

det B \neq = 0

. 把上述对

A

的论述用到

B

, 我们可以得到一个

n

阶方阵

C

使得

BC = I_{n}

. 因此

A = A I_{n} = A (BC) = (A B) C = I_{n} C = C

故

B A = BC = I_{n}

成立. 因此

B

是

A

的逆.

$□$

由上述定理证明我们不难看出, 如果 $A B = I_{n}$ 则必然有 $B A = I_{n}$ . 即 “左逆” 和 “右逆” 对方阵是一样的, 故统记为矩阵的逆 $A^{- 1}$ .

逆矩阵的计算

定理 3.5.4 的证明过程同时给出了逆矩阵的计算方法: 解线性方程组 $A β_{i} = e_{i}$ 则 $A$ 的逆矩阵为 $A^{- 1} = [β_{1} β_{2} \dots β_{n}]$

由于 $rank A = n$ , 我们可以通过初等行变换把 $A$ 变成 $∣ ∣ 10 \dots 0 * 1 \dots 0 \dots \dots \dots \dots * * \dots 1 ∣ ∣$ 进而从下往上作行变换消元变为单位阵 $∣ ∣ 10 \dots 0 01 \dots 0 \dots \dots \dots \dots 00 \dots 1 ∣ ∣$

把增广矩阵加入如上操作, 我们得到 $[A e_{i}] 行变换 ⟹ ∣ ∣ 10 \dots 0 01 \dots 0 \dots \dots \dots \dots 00 \dots 1 b_{1} b_{2} \dots b_{n} ∣ ∣$ 因此线性方程组的解为 $x_{1} = b_{1}, \dots, x_{n} = b_{n}$ , 即 $β_{i} = ⎣ ⎡ b_{1} ⋮ b_{n} ⎦ ⎤$

我们可以用这个方法同时解所有 $n$ 个线性方程组 $A β_{i} = e_{i}$ . 考虑扩大的增广矩阵 $[A e_{1} \dots e_{n}] = [A I_{n}]$ 我们对其作初等行变换将其变为 $[A I_{n}] 行变换 ⟹ [I_{n} B] = [I_{n} β_{1} \dots β_{n}]$ 则 $B$ 的第 $i$ 列即为线性方程组 $A β_{i} = e_{i}$ 的解.

定理 3.5.5. 设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵. 我们对 $n \times 2 n$ 矩阵 $[A I_{n}]$ 作初等行变换将其变为 $[A I_{n}] 行变换 ⟹ [I_{n} B]$ 则 $n$ 阶矩阵 $B$ 即为 $A$ 的逆.

这个定理给出了逆矩阵的具体计算方法.

例子 3.5.6. 计算矩阵 $⎣ ⎡ 121244156 ⎦ ⎤$ 的逆矩阵. 我们对扩展的增广矩阵作初等行变换 $⟹ ⟹ ⎣ ⎡ 121244156100010001 ⎦ ⎤ ⟹ ⎣ ⎡ 100202135 1 - 2 - 1 010001 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ 100220153 1 - 1 - 2 001010 ⎦ ⎤ ⟹ ⎣ ⎡ 100210 1 5/2 1 1 - 1/2 - 2/3 00 1/3 0 1/2 0 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ 100210001 5/3 7/6 - 2/3 - 1/3 - 5/6 1/3 0 1/2 0 ⎦ ⎤ ⟹ ⎣ ⎡ 100010001 - 2/3 7/6 - 2/3 4/3 - 5/6 1/3 - 1 1/2 0 ⎦ ⎤$

因此我们可以读出逆矩阵 $⎣ ⎡ 121244156 ⎦ ⎤^{- 1} = ⎣ ⎡ - 2/3 7/6 - 2/3 4/3 - 5/6 1/3 - 1 1/2 0 ⎦ ⎤$

伴随矩阵

逆矩阵也可以通过余子式直接求出. 回顾 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列余子式 $A_{ij}$ 定义为把 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列去掉后得到的 $n - 1$ 阶矩阵的行列式: $A_{ij} = ∣ ∣ a_{11} \dots a_{i 1} \dots a_{n 1} \dots \dots \dots \dots \dots a_{1 j} ⋮ a_{ij} ⋮ a_{nj} \dots \dots \dots \dots \dots a_{1 n} \dots a_{in} \dots a_{nn} ∣ ∣$ 由行列式关于第 $i$ 行的展开公式, 我们有 $j = 1 \sum n (- 1)^{i + j} a_{ij} A_{ij} = det A$ 实际上我们有更好的性质

命题 3.5.7. $n$ 阶方阵 $A$ 的余子式 $A_{ij}$ 满足 $j = 1 \sum n (- 1)^{i + j} a_{kj} A_{ij} = det A δ_{ki}$

证明: 对于

k = i

, 这个即是行列式关于第

i

行的展开公式. 下面我们考虑

k \neq = i

. 表达式

j = 1 \sum n (- 1)^{i + j} a_{kj} A_{ij}

可以解释为把矩阵

A

的第

i

行替换成第

k

行, 然后关于第

i

行作行列式展开. 替换后第

i

行的余子式保持不变. 即

∣ ∣ a_{11} \dots a_{k 1} \dots a_{k 1} \dots a_{n 1} a_{12} \dots a_{k 2} \dots a_{k 2} \dots a_{n 2} \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots a_{1 n} \dots a_{kn} \dots a_{kn} \dots a_{nn} ∣ ∣ 第 i 行展开 = j = 1 \sum n (- 1)^{i + j} a_{kj} A_{ij}

另一方面, 左边矩阵第

i

行和第

k

行相同, 故行列式为

0

. 因此

j = 1 \sum n (- 1)^{i + j} a_{kj} A_{ij} = 0

.

$□$

我们可以把公式 $j = 1 \sum n (- 1)^{i + j} a_{kj} A_{ij} = det A δ_{ki}$ 写成矩阵的样子 $⎣ ⎡ a_{11} a_{21} \dots a_{n 1} a_{12} a_{22} \dots a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} \dots a_{nn} ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ (- 1)^{i + 1} A_{i 1} (- 1)^{i + 2} A_{i 2} \dots (- 1)^{i + n} A_{in} ⎦ ⎤ = det A e_{i}$

假设 $A$ 可逆, 即 $det A \neq = 0$ , 则上述矩阵表达式说明线性方程组 $A β_{i} = e_{i}$ 的解即为 $β_{i} = \frac{1}{det A} ⎣ ⎡ (- 1)^{i + 1} A_{i 1} (- 1)^{i + 2} A_{i 2} \dots (- 1)^{i + n} A_{in} ⎦ ⎤$

定义 3.5.8. $n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 是一个 $n$ 阶矩阵, 其 $(i, j)$ 矩阵元为 $(- 1)^{i + j} A_{ji}$ , 即 $A^{*} = ⎣ ⎡ (- 1)^{1 + 1} A_{11} (- 1)^{2 + 1} A_{12} \dots (- 1)^{n + 1} A_{1 n} (- 1)^{1 + 2} A_{21} (- 1)^{2 + 2} A_{22} \dots (- 1)^{n + 2} A_{2 n} \dots \dots \dots \dots (- 1)^{1 + n} A_{n 1} (- 1)^{2 + n} A_{n 2} (- 1)^{n + n} A_{nn} ⎦ ⎤$

我们上述讨论实际上证明了如下命题.

定理 3.5.9. 设 $A$ 是 $n$ 阶可逆方阵, 则其逆矩阵为 $A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}$

例子 3.5.10. $2$ 阶方阵 $A = [a c b d]$ 的伴随矩阵为 $A^{*} = [d - c - b a]$ 因此 $A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*} = \frac{1}{a d - b c} [d - c - b a]$

例子 3.5.11. 矩阵 $⎣ ⎡ 121244156 ⎦ ⎤$ 的伴随矩阵为 $A^{*} = ⎣ ⎡ 4 - 7 4 - 8 5 - 2 6 - 3 0 ⎦ ⎤$ 计算知 $det A = - 6$ , 因此 $A^{- 1} = ⎣ ⎡ - 2/3 7/6 - 2/3 4/3 - 5/6 1/3 - 1 1/2 0 ⎦ ⎤$

Cramer 法则

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵且 $det A \neq = 0$ . 由命题 3.5.3, 对任意列向量 $b \in R^{n}$ , 线性方程组 $A x = b$ 有唯一解. 实际上, 由定理 3.5.4 我们知道 $A$ 可逆, 上述方程两边乘以 $A^{- 1}$ 可以得到解为 $x = A^{- 1} b$

由定理 3.5.9, 我们可以把上述解具体表示为 $x = \frac{1}{det A} A^{*} b$ 写成分量有 $x_{i} = \frac{1}{det A} j = 1 \sum n (- 1)^{i + j} A_{ji} b_{j}$

考虑矩阵 $A_{i} = ⎣ ⎡ a_{11} a_{21} \dots a_{n 1} \dots \dots \dots \dots a_{1, i - 1} a_{2, i - 1} \dots a_{n, i - 1} b_{1} b_{2} \dots b_{n} a_{1, i + 1} a_{2, i + 1} \dots a_{n, i + 1} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} \dots a_{nn} ⎦ ⎤$ $A_{i}$ 是把 $A$ 的第 $i$ 列替换成 $b$ 构成的方阵. 观察到 $A_{i}$ 的第 $k$ 行第 $i$ 列余子式与 $A$ 的第 $k$ 行第 $i$ 列余子式相同. 通过第 $i$ 列展开计算 $A_{i}$ 的行列式, 我们发现 $det A_{i} = j = 1 \sum n (- 1)^{i + j} A_{ji} b_{j}$ 由此我们证明了如下结论

定理 3.5.12 (Cramer 法则). 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵且 $det A \neq = 0$ . 则线性方程组 $A x = b$ 的解为 $x = ⎣ ⎡ det A_{1} / det A det A_{2} / det A ⋮ det A_{n} / det A ⎦ ⎤$ 其中 $A_{i}$ 是把 $A$ 的第 $i$ 列替换成 $b$ 构成的方阵.

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3.5. 矩阵的逆

可逆矩阵的判别法

逆矩阵的计算

伴随矩阵

Cramer 法则