3.1. 面积元与体积元

面积

考虑平面上由向量 $u = (u_{1}, u_{2})$ 和 $v = (v_{1}, v_{2})$ 张成的平行四边形.

它的面积用这两个向量可以表示为 $面积 = ∣ u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1} ∣$

例子 3.1.1. 平行四边形

的面积为 $面积 = ∣3 \times 2 - 1 \times 1∣ = 5$

我们引入下面的记号表达

∣ ∣ u_{1} v_{1} u_{2} v_{2} ∣ ∣ := u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}

称为

2 \times 2

矩阵

A = [u_{1} v_{1} u_{2} v_{2}]

的行列式. 平行四边形面积为行列式

∣ ∣ u_{1} v_{1} u_{2} v_{2} ∣ ∣

的绝对值.

观察到如果交换两行 $∣ ∣ u_{1} v_{1} u_{2} v_{2} ∣ ∣ = u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1} ∣ ∣ v_{1} u_{1} v_{2} u_{2} ∣ ∣ = v_{1} u_{2} - v_{2} u_{1}$ 即 $∣ ∣ u_{1} v_{1} u_{2} v_{2} ∣ ∣ = - ∣ ∣ v_{1} u_{1} v_{2} u_{2} ∣ ∣$ 我们可以把 $∣ ∣ u_{1} v_{1} u_{2} v_{2} ∣ ∣$ 理解为带符号的面积. 这个符号和定向有关, 即两个向量的相互顺序.

如果我们把其中一个向量做伸缩, 那么面积也相应的伸缩. 因此我们有如下性质 $∣ ∣ λ u_{1} v_{1} λ u_{2} v_{2} ∣ ∣ = λ ∣ ∣ u_{1} v_{1} u_{2} v_{2} ∣ ∣ = ∣ ∣ u_{1} λ v_{1} u_{2} λ v_{2} ∣ ∣$

我们可以用一个代数方法来表述 $2 \times 2$ 矩阵的行列式. 对于两个向量 $u, v$ , 我们引入符号 $u \land v$ 称为它们的外积. 外积的基本运算规则是

•	反对称性: $u \land v = - v \land u$ , 特别有 $u \land u = 0$
•	线性性: $(u + v) \land w = u \land w + v \land w u \land (v + w) = u \land v + u \land w (λ u) \land v = λ (u \land v) = u \land (λ v)$

我们不详细讨论外积的构造, 我们通过一些例子来熟悉这个运算. 记 $R^{2}$ 的标准基为 $e_{1} = (1, 0) e_{2} = (0, 1)$ 对向量 $u = (u_{1}, u_{2}) = u_{1} e_{1} + u_{2} e_{2}, v = (v_{1}, v_{2}) = v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2},$ 其外积为 $u \land v = (u_{1} e_{1} + u_{2} e_{2}) \land v = u_{1} e_{1} \land v + u_{2} e_{2} \land v = u_{1} e_{1} \land (v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2}) + u_{2} e_{2} \land (v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2}) = u_{1} v_{2} e_{1} \land e_{2} + u_{2} v_{1} e_{2} \land e_{1} = (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) e_{1} \land e_{2}$

我们观察到 $u \land v = ∣ ∣ u_{1} v_{1} u_{2} v_{2} ∣ ∣ e_{1} \land e_{2}$ 因此外积不仅给出了一个便于记忆的行列式的计算方法, 而且给出了它的几何解释:

•	$u \land v$ 是 $u, v$ 张成的平行四边形的面积元
•	$e_{1} \land e_{2}$ 是单位向量 $e_{1}, e_{2}$ 张成的单位面积元

它们之间的比例就是平行四边形面积 (带符号) .

例子 3.1.2. 计算 $u = (2, 1), v = (1, - 1)$ 张成平行四边形面积

$∣ ∣ 21 1 - 1 ∣ ∣ = 2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1 = - 3$ 这里的负号是由于 $u, v$ 的定向顺序 (顺时针) 和 $e_{1}, e_{2}$ 的定向顺序 (逆时针) 相反. 平行四边形的面积为 $3$ .

体积

考虑空间中由向量 $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ , $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ 和 $w = (w_{1}, w_{2}, w_{3})$ 张成的平行六面体.

我们同样可以通过这 3 个向量的坐标来计算它的体积.

回顾与空间 $R^{3}$ 中的向量相关的基本构造:

•

长度: $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ 的长度 $∣ v ∣ := v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}$

•

点乘 (内积) : $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}), w = (w_{1}, w_{2}, w_{3})$ $v \cdot w := v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3}$

点乘 (内积) 的几何含义为

例如 $v \cdot v = ∣ v ∣^{2}$ .

•

叉乘: $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}), w = (w_{1}, w_{2}, w_{3})$ 的叉乘为 $v \times w := (v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2}, v_{3} w_{1} - v_{1} w_{3}, v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1})$ $v \times w$ 是 $R^{3}$ 中的向量, 其方向与 $v$ 和 $w$ 垂直, 指向按照右手拇指法则, 长度为 $v$ 和 $w$ 围成的平行四边形面积.

例子 3.1.3. 对于 $R^{3}$ 中的标准基

由平行六面体的体积公式: 体积=底面积

\times

高. 我们把

v, w

张成的面作为底面, 得到

体积 = u \cdot (v \times w) 的绝对值

同样, 我们可以把

u \cdot (v \times w)

理解为带符号的体积. 它的正负号和 3 个向量

u, v, w

的定向有关.

定义 3.1.4. 定义 $3 \times 3$ 矩阵的行列式为 $∣ ∣ u_{1} v_{1} w_{1} u_{2} v_{2} w_{2} u_{3} v_{3} w_{3} ∣ ∣ := u \cdot (v \times w)$

由

v \times w = (v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2}, v_{3} w_{1} - v_{1} w_{3}, v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1})

∣ ∣ u_{1} v_{1} w_{1} u_{2} v_{2} w_{2} u_{3} v_{3} w_{3} ∣ ∣ = u_{1} (v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2}) - u_{2} (v_{1} w_{3} - v_{3} w_{1}) + u_{3} (v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1})

叉乘满足反对称性: $v \times w = - w \times v 特别地 v \times v = 0$ 由此对于 $3 \times 3$ 的行列式, 如果对换其中任何两行则行列式的值差一个负号. 例如 $∣ ∣ u_{1} v_{1} w_{1} u_{2} v_{2} w_{2} u_{3} v_{3} w_{3} ∣ ∣ = - ∣ ∣ u_{1} w_{1} v_{1} u_{2} w_{2} v_{2} u_{3} w_{3} v_{3} ∣ ∣ = - ∣ ∣ v_{1} u_{1} w_{1} v_{2} u_{2} w_{2} v_{3} u_{3} w_{3} ∣ ∣$

特别地, 如果有两行向量相同, 则行列式为 $0$ $∣ ∣ u_{1} u_{1} w_{1} u_{2} u_{2} w_{2} u_{3} u_{3} w_{3} ∣ ∣ = 0$ 几何上, 当 $v = u$ 时, 平行六面体塌缩成一个二维面, 其体积为 $0$ .

如果我们把其中一个向量做伸缩, 那么体积也相应的伸缩. 即我们有如下性质 $∣ ∣ λ u_{1} v_{1} w_{1} λ u_{2} v_{2} w_{2} λ u_{3} v_{3} w_{3} ∣ ∣ = ∣ ∣ u_{1} λ v_{1} w_{1} u_{2} λ v_{2} w_{2} u_{3} λ v_{3} w_{3} ∣ ∣ = λ ∣ ∣ u_{1} v_{1} w_{1} u_{2} v_{2} w_{2} u_{3} v_{3} w_{3} ∣ ∣$

我们同样可以用外积来表示体积元和行列式. 对于 $R^{3}$ 中的 $3$ 个向量, 考虑它们的外积 $u \land v \land w$ 外积的代数运算法则和 $R^{2}$ 的情况一样, 满足:

•	反对称性: 交换任意两个向量差一个负号 $u \land v \land w = - v \land u \land w = - u \land w \land v = - w \land v \land u$
•	线性性: 关于各分量都具有线性性, 例如 $u \land (v_{1} + v_{2}) \land w = u \land v_{1} \land w + u \land v_{2} \land w$

记 $R^{3}$ 的标准基为 $e_{1} = (1, 0, 0) e_{2} = (0, 1, 0) e_{3} = (0, 0, 1)$ 对于向量 $u v w = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) = u_{1} e_{1} + u_{2} e_{2} + u_{3} e_{3} = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) = v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2} + v_{3} e_{3} = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) = w_{1} e_{1} + w_{2} e_{2} + w_{3} e_{3}$ 我们可以按照外积的运算法则来计算 $u \land v \land w$ $u \land v \land w = u_{1} e_{1} \land v \land w + u_{2} e_{2} \land v \land w + u_{3} e_{3} \land v \land w$ 其中 $e_{1} \land v \land w = = e_{1} \land (v_{2} e_{2} + v_{3} e_{3}) \land (w_{2} e_{2} + w_{3} e_{3}) (v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2}) e_{1} \land e_{2} \land e_{3}$ 因此 $= = = u \land v \land w u_{1} e_{1} \land v \land w + u_{2} e_{2} \land v \land w + u_{3} e_{3} \land v \land w u_{1} (v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2}) e_{1} \land e_{2} \land e_{3} + u_{2} (v_{1} w_{3} - v_{3} w_{1}) e_{2} \land e_{1} \land e_{3} + u_{3} (v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1}) e_{3} \land e_{1} \land e_{2} (u_{1} (v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2}) - u_{2} (v_{1} w_{3} - v_{3} w_{1}) + u_{3} (v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1})) e_{1} \land e_{2} \land e_{3}$

对比行列式的公式, 我们发现 $u \land v \land w = ∣ ∣ u_{1} v_{1} w_{1} u_{2} v_{2} w_{2} u_{3} v_{3} w_{3} ∣ ∣ e_{1} \land e_{2} \land e_{3}$ 这给出了 $3 \times 3$ 矩阵行列式的几何解释:

•	$u \land v \land w$ 是 $u, v, w$ 张成平行六面体的体积元
•	$e_{1} \land e_{2} \land e_{3}$ 是单位向量 $e_{i}$ 张成的单位体积元

它们之间的比例就是平行六面体体积 (带符号) , 即 $3 \times 3$ 矩阵的行列式 $∣ ∣ u_{1} v_{1} w_{1} u_{2} v_{2} w_{2} u_{3} v_{3} w_{3} ∣ ∣$

利用外积的反对称性: $u \land v \land w = - u \land w \land v = - v \land u \land w$ 我们很容易得出前述行列式的反对称性 $∣ ∣ u_{1} v_{1} w_{1} u_{2} v_{2} w_{2} u_{3} v_{3} w_{3} ∣ ∣ = - ∣ ∣ u_{1} w_{1} v_{1} u_{2} w_{2} v_{2} u_{3} w_{3} v_{3} ∣ ∣ = - ∣ ∣ v_{1} u_{1} w_{1} v_{2} u_{2} w_{2} v_{3} u_{3} w_{3} ∣ ∣$

利用外积的线性性, 例如 $u \land (λ v + μ q) \land w = λ u \land v \land w + μ u \land q \land w$ 我们得出行列式关于任一行的线性性 $∣ ∣ u_{1} λ v_{1} + μ q_{1} w_{1} u_{2} λ v_{2} + μ q_{2} w_{2} u_{3} λ v_{3} + μ q_{3} w_{3} ∣ ∣ = λ ∣ ∣ u_{1} v_{1} w_{1} u_{2} v_{2} w_{2} u_{3} v_{3} w_{3} ∣ ∣ + μ ∣ ∣ u_{1} q_{1} w_{1} u_{2} q_{2} w_{2} u_{3} q_{3} w_{3} ∣ ∣$

最后, 由行列式的具体公式 $∣ ∣ u_{1} v_{1} w_{1} u_{2} v_{2} w_{2} u_{3} v_{3} w_{3} ∣ ∣ = u_{1} (v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2}) - u_{2} (v_{1} w_{3} - v_{3} w_{1}) + u_{3} (v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1})$ 我们得到 $3$ 阶行列式和 $2$ 阶行列式之间的关系 $∣ ∣ u_{1} v_{1} w_{1} u_{2} v_{2} w_{2} u_{3} v_{3} w_{3} ∣ ∣ = u_{1} ∣ ∣ v_{2} w_{2} v_{3} w_{3} ∣ ∣ - u_{2} ∣ ∣ v_{1} w_{1} v_{3} w_{3} ∣ ∣ + u_{3} ∣ ∣ v_{1} w_{1} v_{2} w_{2} ∣ ∣$ 我们将看到一般的行列式都有类似的性质.

例子 3.1.5. $∣ ∣ 102 2 - 1 1 34 - 2 ∣ ∣ = = = 1 \cdot ∣ ∣ - 1 1 4 - 2 ∣ ∣ - 2 \cdot ∣ ∣ 02 4 - 2 ∣ ∣ + 3 \cdot ∣ ∣ 02 - 1 1 ∣ ∣ 1 \cdot (2 - 4) - 2 \cdot (0 - 8) + 3 \cdot (0 - (- 2)) - 2 + 16 + 6 = 20$

例子 3.1.6 (3 维空间叉乘的行列式表示). $R^{3}$ 中两个向量 $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}), w = (w_{1}, w_{2}, w_{3})$ 的叉乘 $v \times w = (v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2}, v_{3} w_{1} - v_{1} w_{3}, v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1})$ 可以表达为行列式 $v \times w = ∣ ∣ e_{1} v_{1} w_{1} e_{2} v_{2} w_{2} e_{3} v_{3} w_{3} ∣ ∣$ 这里行列式的第一行为 $R^{3}$ 的标准基. 虽然第一行的元素不是数字, 我们还是形式地用如上行列式的公式来计算. 可以看出 $∣ ∣ e_{1} v_{1} w_{1} e_{2} v_{2} w_{2} e_{3} v_{3} w_{3} ∣ ∣ = = ∣ ∣ v_{2} w_{2} v_{3} w_{3} ∣ ∣ e_{1} - ∣ ∣ v_{1} w_{1} v_{3} w_{3} ∣ ∣ e_{2} + ∣ ∣ v_{1} w_{1} v_{2} w_{2} ∣ ∣ e_{3} (v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2}, v_{3} w_{1} - v_{1} w_{3}, v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1}) = v \times w$

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