3.2. $n$ 阶行列式

行列式的几何定义

考虑一个 $n \times n$ 矩阵 (也称为 $n$ 阶方阵) $A = ⎣ ⎡ a_{11} a_{21} \dots a_{n 1} a_{12} a_{22} \dots a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} \dots a_{nn} ⎦ ⎤$ 我们定义一个数称为它的行列式 $det A$ , 也记为 $det A = ∣ ∣ a_{11} a_{21} \dots a_{n 1} a_{12} a_{22} \dots a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} \dots a_{nn} ∣ ∣$

我们之前讨论了 $n = 2, 3$ 的情况及其几何含义

•	当 $n = 2$ 时 $∣ ∣ a_{11} a_{21} a_{12} a_{22} ∣ ∣ = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$
•	当 $n = 3$ 时 $∣ ∣ a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} ∣ ∣ = a_{11} ∣ ∣ a_{22} a_{32} a_{23} a_{33} ∣ ∣ - a_{12} ∣ ∣ a_{21} a_{31} a_{23} a_{33} ∣ ∣ + a_{13} ∣ ∣ a_{21} a_{31} a_{22} a_{32} ∣ ∣$

我们下面讨论一般 $n$ 的情况. 记 $R^{n}$ 的标准基为 $e_{1} = (1, 0, \dots, 0) e_{2} = (0, 1, \dots, 0) \dots e_{n} = (0, \dots, 0, 1)$ 我们记 $A$ 的行向量为 $α_{1} α_{2} α_{n} = (a_{11}, a_{12}, \dots, a_{1 n}) = a_{11} e_{1} + a_{12} e_{2} + \dots + a_{1 n} e_{n} = (a_{21}, a_{22}, \dots, a_{2 n}) = a_{21} e_{1} + a_{22} e_{2} + \dots + a_{2 n} e_{n} ⋮ = (a_{n 1}, a_{n 2}, \dots, a_{nn}) = a_{n 1} e_{1} + a_{n 2} e_{2} + \dots + a_{nn} e_{n}$

我们用外积的代数运算 (反对称和线性) 计算 $= = = = α_{1} \land α_{2} \land \dots \land α_{n} (a_{11} e_{1} + a_{12} e_{2} + \dots + a_{1 n} e_{n}) \land α_{2} \land \dots \land α_{n} a_{11} e_{1} \land α_{2} \land \dots \land α_{n} + \dots + a_{1 n} e_{n} \land α_{2} \land \dots \land α_{n} \dots D e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{n}$ 最后总是可以写成 $e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{n}$ 的一个倍数, 这个系数 $D$ 就定义为 $A$ 的行列式 $det A := D$

由这个构造可以看出, 当 $n = 2, 3$ 的时候, 行列式与面积元和体积元的定义是一致的. 我们可以把 $α_{1} \land α_{2} \land \dots \land α_{n}$ 理解为 $R^{n}$ 的 $n$ 个向量 $α_{1}, \dots, α_{n}$ 张成的 $n$ 维平行体的体积元, $e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{n}$ 是单位体积元. 因此行列式的几何含义是代表 $R^{n}$ 中平行体的体积 (带符号) .

行列式的组合定义

我们可以通过外积的代数运算给出行列式的一个具体的组合表达式. 由外积的反对称性, 特别有 $e_{i} \land e_{i} = 0$ , 我们可以看出把 $α_{1} \land α_{2} \land \dots \land α_{n}$ 展开成 $e_{i}$ 的过程中, 如要得到非零元素, 只能在 $α_{1}$ 中取一个 $e_{σ (1)}$ , 在 $α_{2}$ 中取一个 $e_{σ (2)}$ , $\dots$ , 在 $α_{n}$ 中取一个 $e_{σ (n)}$ , 并且 $σ (1), σ (2), \dots, σ (n)$ 各不相同. 这样一个取法 $σ$ 对应于集合 ${1, 2, \dots, n}$ 到自身的一个一一映射.

定义 3.2.1. 集合 ${1, 2, \dots, n}$ 到自身的一个一一映射称为一个 $n$ 元置换. 所有 $n$ 元置换的集合记为 $S_{n}$ (其包含 $n!$ 个元素) .

设 $σ$ 是一个 $n$ 元置换. 我们可以通过不断作两两对换把 $e_{σ (1)} \land e_{σ (2)} \land \dots \land e_{σ (n)}$ 调整为标准形式 $e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{n}$ . 在外积运算规则中每对换一次变号一次, 因此 $e_{σ (1)} \land e_{σ (2)} \land \dots \land e_{σ (n)} = (sign σ) e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{n}$ 这里 $sign σ = \pm 1$ 称为置换 $σ$ 的符号. 如果需要经过偶数次对换, 那么 $sign σ = 1$ , 这样的 $σ$ 称为偶置换; 如果需要经过奇数次对换, 那么 $sign σ = - 1$ , 这样的 $σ$ 称为奇置换. 可以证明, 虽然通过对换来调整为标准形式的方式不唯一, 但是需要的对换次数的奇偶性是不变的.

例子 3.2.2. 例如考虑置换 $σ : {1, 2, 3, 4, 5} \to {3, 5, 4, 1, 2}$ . 我们可以通过 3 次对换把 $e_{3} \land e_{5} \land e_{4} \land e_{1} \land e_{2}$ 调整为 $e_{1} \land e_{2} \land e_{3} \land e_{4} \land e_{5}$ : $e_{3} \land e_{5} \land e_{4} \land e_{1} \land e_{2} = - e_{3} \land e_{5} \land e_{1} \land e_{4} \land e_{2} = e_{3} \land e_{2} \land e_{1} \land e_{4} \land e_{5} = - e_{1} \land e_{2} \land e_{3} \land e_{4} \land e_{5}$ 因此 $σ$ 是奇置换, $sign σ = - 1$ . 这个外积计算过程也可以用下图来表示

定理 3.2.3. 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵, 矩阵元为 $a_{ij}$ , 则 $det A = σ \in S_{n} \sum sign σ i = 1 \prod n a_{iσ (i)}$ 这里 $S_{n}$ 是所有 $n$ 元置换的集合.

证明:

A

的行向量为

α_{1} α_{2} α_{n} = a_{11} e_{1} + a_{12} e_{2} + \dots + a_{1 n} e_{n} = a_{21} e_{1} + a_{22} e_{2} + \dots + a_{2 n} e_{n} ⋮ = a_{n 1} e_{1} + a_{n 2} e_{2} + \dots + a_{nn} e_{n}

我们有

= = α_{1} \land α_{2} \land \dots \land α_{n} σ \in S_{n} \sum a_{1 σ (1)} a_{2 σ (2)} \dots a_{n σ (n)} e_{σ (1)} \land e_{σ (2)} \land \dots \land e_{σ (n)} σ \in S_{n} \sum sign σ i = 1 \prod n a_{iσ (i)} e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{n}

比较行列式的外积定义, 我们得到

det A = σ \in S_{n} \sum sign σ i = 1 \prod n a_{iσ (i)}

.

$□$

注记. 在很多教材中, 通常从定理 3.2.3 中的组合公式出发来定义行列式.

例子 3.2.4. 考虑如下行列式 $∣ ∣ a_{1, 1} a_{2, 1} \dots a_{n - 1, 1} a_{n, 1} a_{1, 2} a_{2, 2} \dots a_{n - 1, 2} 0 \dots \dots \dots 00 a_{1, n - 1} a_{2, n - 1} \dots \dots \dots a_{1, n} 0 \dots 00 ∣ ∣$

我们按照组合公式来计算. 先看第 $n$ 行, 只能取 $a_{n, 1}$ . 取完后看第 $n - 1$ 行, 这时只能取 $a_{n - 1, 2}$ . 依次从下往上类推, 我们发现只有 $a_{1, n} a_{2, n - 1} \dots a_{n, 1}$ 这一项有贡献, 其对应于置换 $σ : {1, 2, \dots, n} \to {n, n - 1, \dots, 1} sign σ = (- 1)^{n (n - 1) /2}$ 因此 $∣ ∣ a_{1, 1} a_{2, 1} \dots a_{n - 1, 1} a_{n, 1} a_{1, 2} a_{2, 2} \dots a_{n - 1, 2} 0 \dots \dots \dots 00 a_{1, n - 1} a_{2, n - 1} \dots \dots \dots a_{1, n} 0 \dots 00 ∣ ∣ = (- 1)^{n (n - 1) /2} a_{1, n} a_{2, n - 1} \dots a_{n, 1}$

行列式的基本性质

命题 3.2.5. 把矩阵的某一行乘以一个系数, 则它的行列式的值也乘以同一个系数 $∣ ∣ a_{11} ⋮ λ a_{i 1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ λ a_{i 2} ⋮ a_{n 2} \dots ⋮ \dots ⋮ \dots a_{1 n} ⋮ λ a_{in} ⋮ a_{nn} ∣ ∣ = λ ∣ ∣ a_{11} ⋮ a_{i 1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ a_{i 2} ⋮ a_{n 2} \dots ⋮ \dots ⋮ \dots a_{1 n} ⋮ a_{in} ⋮ a_{nn} ∣ ∣$

证明: 由行列式的组合定义显然. 从几何角度, 这个性质对应于外积的线性性

α_{1} \land \dots \land (λ α_{i}) \land \dots \land α_{n} = λ α_{1} \land \dots \land α_{i} \land \dots \land α_{n}

□

命题 3.2.6. 交换矩阵的任意两行, 行列式差一个负号 $∣ ∣ a_{11} ⋮ a_{i 1} ⋮ a_{j 1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ a_{i 2} ⋮ a_{j 2} ⋮ a_{n 2} \dots ⋮ \dots ⋮ \dots ⋮ \dots \dots ⋮ \dots ⋮ \dots ⋮ \dots a_{1 n} ⋮ a_{in} ⋮ a_{jn} ⋮ a_{nn} ∣ ∣ = - ∣ ∣ a_{11} ⋮ a_{j 1} ⋮ a_{i 1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ a_{j 2} ⋮ a_{i 2} ⋮ a_{n 2} \dots ⋮ \dots ⋮ \dots ⋮ \dots \dots ⋮ \dots ⋮ \dots ⋮ \dots a_{1 n} ⋮ a_{jn} ⋮ a_{in} ⋮ a_{nn} ∣ ∣$

证明: 这个性质对应于外积的反对称性.

$□$

命题 3.2.7. 如果矩阵有两行一样, 则行列式为 $0$ .

证明: 假设第一行和第二行一样, 交换这两行

∣ ∣ a_{1} a_{1} ⋮ a_{2} a_{2} ⋮ \dots \dots ⋮ a_{n} a_{n} ⋮ ∣ ∣ = - ∣ ∣ a_{1} a_{1} ⋮ a_{2} a_{2} ⋮ \dots \dots ⋮ a_{n} a_{n} ⋮ ∣ ∣

由此可得

∣ ∣ a_{1} a_{1} ⋮ a_{2} a_{2} ⋮ \dots \dots ⋮ a_{n} a_{n} ⋮ ∣ ∣ = 0

□

命题 3.2.8. 如果某一行是另一行的倍数, 则行列式为 $0$ .

证明:

∣ ∣ ⋮ a_{1} ⋮ λ a_{1} ⋮ ⋮ a_{2} ⋮ λ a_{2} ⋮ ⋮ \dots ⋮ \dots ⋮ ⋮ a_{n} ⋮ λ a_{n} ⋮ ∣ ∣ = λ ∣ ∣ ⋮ a_{1} ⋮ a_{1} ⋮ ⋮ a_{2} ⋮ a_{2} ⋮ ⋮ \dots ⋮ \dots ⋮ ⋮ a_{n} ⋮ a_{n} ⋮ ∣ ∣ = 0

□

命题 3.2.9. 行列式对于任何一行具有如下加法性质 $∣ ∣ ⋮ a_{1} + b_{1} ⋮ ⋮ \dots ⋮ ⋮ a_{n} + b_{n} ⋮ ∣ ∣ = ∣ ∣ ⋮ a_{1} ⋮ ⋮ \dots ⋮ ⋮ a_{n} ⋮ ∣ ∣ + ∣ ∣ ⋮ b_{1} ⋮ ⋮ \dots ⋮ ⋮ b_{n} ⋮ ∣ ∣$

证明: 这个对应于外积的线性性

\dots \land (α + β) \land \dots = \dots \land α \land \dots + \dots \land β \land \dots

□

命题 3.2.10. 把某一行乘以一个数加到另一行, 行列式值不变.

证明:

= ∣ ∣ ⋮ a_{1} ⋮ b_{1} + λ a_{1} ⋮ ⋮ a_{2} ⋮ b_{2} + λ a_{2} ⋮ ⋮ \dots ⋮ \dots ⋮ ⋮ a_{n} ⋮ b_{n} + λ a_{n} ⋮ ∣ ∣ ∣ ∣ ⋮ a_{1} ⋮ b_{1} ⋮ ⋮ a_{2} ⋮ b_{2} ⋮ ⋮ \dots ⋮ \dots ⋮ ⋮ a_{n} ⋮ b_{n} ⋮ ∣ ∣ + ∣ ∣ ⋮ a_{1} ⋮ λ a_{1} ⋮ ⋮ a_{2} ⋮ λ a_{2} ⋮ ⋮ \dots ⋮ \dots ⋮ ⋮ a_{n} ⋮ λ a_{n} ⋮ ∣ ∣ = ∣ ∣ ⋮ a_{1} ⋮ b_{1} ⋮ ⋮ a_{2} ⋮ b_{2} ⋮ ⋮ \dots ⋮ \dots ⋮ ⋮ a_{n} ⋮ b_{n} ⋮ ∣ ∣

$□$

命题 3.2.11. 对角方阵的行列式是对角元的乘积 $∣ ∣ a_{11} 00 ⋮ 0 0 a_{22} 0 ⋮ 0 00 a_{33} ⋮ 0 \dots \dots \dots ⋱ \dots 000 ⋮ a_{nn} ∣ ∣ = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}$

证明: 由行列式的组合定义显然. 从几何角度,

a_{11} e_{1} \land a_{22} e_{2} \land \dots \land a_{nn} e_{n} = (a_{11} a_{22} \dots a_{nn}) e_{1} \land \dots \land e_{n}

□

命题 3.2.12. 上三角方阵的行列式是对角元的乘积 $∣ ∣ a_{11} 00 ⋮ 0 a_{12} a_{22} 0 ⋮ 0 a_{13} a_{23} a_{33} ⋮ 0 \dots \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} a_{3 n} ⋮ a_{nn} ∣ ∣ = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}$

证明: 由行列式的组合公式容易看出, 只有

a_{11} a_{22} \dots a_{nn}

有贡献, 对应的恒等置换是偶置换.

$□$

命题 3.2.13. $∣ ∣ a_{11} 00 ⋮ 0 a_{12} a_{22} a_{32} ⋮ a_{n 2} a_{13} a_{23} a_{33} ⋮ a_{n 3} \dots \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} a_{3 n} ⋮ a_{nn} ∣ ∣ = a_{11} ∣ ∣ a_{22} a_{32} ⋮ a_{n 2} a_{23} a_{33} ⋮ a_{n 3} \dots \dots ⋱ \dots a_{2 n} a_{3 n} ⋮ a_{nn} ∣ ∣$

证明: 由行列式的组合公式, 如果第一行不取

a_{11}

, 则后面一定有某个第

k

行 (

k > 1

) 需要取

a_{k 1} = 0

, 因此贡献为

0

. 故第一行只能取

a_{11}

. 由此可以证明命题.

$□$

初等变换计算行列式

上述关于行列式的性质给出了计算行列式的一般方法. 回顾矩阵的三种初等行变换:

1.	交换两行: 将矩阵的两行交换位置
2.	将矩阵中的一行乘以一个非零常数
3.	将矩阵的一行乘以一个数加到另一行

对于 $n$ 阶方阵, 对应于上述三种初等行变换

1.	行列式变号
2.	行列式乘以同一个非零常数
3.	行列式保持不变

我们可以用初等行变换把矩阵变成梯形. 对于 $n$ 阶方阵, 即变成上三角矩阵. 而上三角矩阵的行列式为对角元相乘. 因此我们通过初等变换把 $n$ 阶方阵约化为上三角矩阵的过程, 同时给出如何计算 $n$ 阶行列式.

例子 3.2.14. 计算以下 $3$ 阶行列式 $∣ ∣ 102 2 - 1 1 34 - 2 ∣ ∣$

将第一行乘以 $- 2$ 加到第三行: $∣ ∣ 102 2 - 1 1 34 - 2 ∣ ∣ = ∣ ∣ 100 2 - 1 - 3 34 - 8 ∣ ∣$ 将第二行乘以 $- 3$ 加到第三行: $∣ ∣ 100 2 - 1 - 3 34 - 8 ∣ ∣ = ∣ ∣ 100 2 - 1 0 34 - 20 ∣ ∣ = 1 \cdot (- 1) \cdot (- 20) = 20$ 即原行列式为 $20$

例子 3.2.15. 计算行列式 $∣ ∣ 2101 1 - 1 10 - 1 2 - 1 0 101 - 1 ∣ ∣$

将第一行和第二行交换: $∣ ∣ 2101 1 - 1 10 - 1 2 - 1 0 101 - 1 ∣ ∣ = - ∣ ∣ 1201 - 1 110 2 - 1 - 1 0 011 - 1 ∣ ∣$ 将第一行乘以 $- 2$ 加到第二行, 将第一行乘以 $- 1$ 加到第四行: $- ∣ ∣ 1201 - 1 110 2 - 1 - 1 0 011 - 1 ∣ ∣ = - ∣ ∣ 1000 - 1 311 2 - 5 - 1 - 2 011 - 1 ∣ ∣$ 将第二行和第三行交换: $- ∣ ∣ 1000 - 1 311 2 - 5 - 1 - 2 011 - 1 ∣ ∣ = ∣ ∣ 1000 - 1 131 2 - 1 - 5 - 2 011 - 1 ∣ ∣$ 将第二行乘以 $- 3$ 加到第三行, 将第二行乘以 $- 1$ 加到第四行: $∣ ∣ 1000 - 1 131 2 - 1 - 5 - 2 011 - 1 ∣ ∣ = ∣ ∣ 1000 - 1 100 2 - 1 - 2 - 1 01 - 2 - 2 ∣ ∣ = - 2 ∣ ∣ 1000 - 1 100 2 - 1 1 - 1 011 - 2 ∣ ∣$ 这里最后一个等式, 我们把第三行提出系数 $- 2$ . 将第三行加到第四行 $- 2 ∣ ∣ 1000 - 1 100 2 - 1 1 - 1 011 - 2 ∣ ∣ = - 2 ∣ ∣ 1000 - 1 100 2 - 1 10 011 - 1 ∣ ∣ = - 2 \cdot (- 1) = 2$ 由此我们得出原方阵的行列式 $∣ ∣ 2101 1 - 1 10 - 1 2 - 1 0 101 - 1 ∣ ∣ = 2$

例子 3.2.16. 我们给出上一个例子的另一个计算方法 $∣ ∣ 2101 1 - 1 10 - 1 2 - 1 0 101 - 1 ∣ ∣ = = = - ∣ ∣ 1201 - 1 110 2 - 1 - 1 0 011 - 1 ∣ ∣ = - ∣ ∣ 1000 - 1 311 2 - 5 - 1 - 2 011 - 1 ∣ ∣ - 1 \cdot ∣ ∣ 311 - 5 - 1 - 2 11 - 1 ∣ ∣ = - 3 ∣ ∣ - 1 - 2 1 - 1 ∣ ∣ + (- 5) ∣ ∣ 11 1 - 1 ∣ ∣ - 1 \cdot ∣ ∣ 11 - 1 - 2 ∣ ∣ - 3 \cdot 3 + (- 5) \cdot (- 2) - 1 \cdot (- 1) = 2$

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