17. ℓ-进上同调和有限性定理一瞥

我们来定义非挠层的上同调!

定义 17.0.1. 设 $X$ 是概形且 $\ell$ 是 (异于概形点剩余类域特征的) 素数, 定义 $\ell$-进上同调为 ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-模$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\mathbb{Z}}_{\ell }):=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z}).$$可以扩展到 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\mathbb{Q}}_{\ell }):=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\mathbb{Z}}_{\ell }){\otimes }_{{\mathbb{Z}}_{\ell }}{\mathbb{Q}}_{\ell }$.

引理 17.0.2. 设 $M={\underleftarrow{\lim }}_n{M}_n$ 其中 $M_n$ 是有限 $\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z}$, 则 $M$ 为有限生成 ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-模当且仅当 $M/\ell M$ 有限.

证明. 如果 $M$ 为有限生成 ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-模则显然 $M/\ell M$ 有限. 反之假设 $M/\ell M$ 有限, 要证明 $M$ 为有限生成 ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-模. 我们断言典范映射 $\gamma :M\to \hat{M}:={\underleftarrow{\lim }}_{n}M/{\ell }^{n}M$ 是同构.

因为 ${\ell }^{n}M$ 在 Hausdorff 空间 $M$ 内紧, 故闭集. 而 $\gamma (M)$ 在 $\hat{M}$ 内稠密且为紧集的像, 故 $\gamma$ 是满射, 因此只需要证明 $\gamma$ 是单的. 注意到 $\ker \gamma ={\bigcap }_{n=0}^{\infty }{\ell }^{n}M$, 故单射是显然的, 因此断言成立.

去连续 ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-线性满射 ${\mathbb{Z}}_{\ell }^{\oplus r}\twoheadrightarrow (\mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z}{)}^{\oplus r}\twoheadrightarrow M/\ell M$, 根据 Nakayama 引理不难提升到满射$${\mathbb{Z}}_{\ell }^{\oplus r}\twoheadrightarrow (\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z}{)}^{\oplus r}\twoheadrightarrow M/{\ell }^{n}M.$$故类似断言证明的拓扑叙述得到连续满射 ${\mathbb{Z}}_{\ell }^{\oplus r}\twoheadrightarrow \hat{M}$, 因此成立.

$\square$

定理 17.0.3 (有限性定理). 设 $X$ 是可分闭域 $k$ 上的紧合概形, 则对于任何 $i$ 都有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\mathbb{Z}}_{\ell })$ 是有限生成 ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-模.

证明. 根据上述引理, 只需证明有正合列$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\mathbb{Z}}_{\ell })\stackrel{\ell }{⟶}{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\mathbb{Z}}_{\ell })\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z}).$$考虑图表为两个短正合列. 我们记上下的短正合列为 (1) 而左右走向的正合列为 (2). 首先注意到 ${\underleftarrow{\lim }}_n{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\ell }^{n-1}\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z})=0$(因为转移映射全是 $0$), 根据短正合列 (1) 得到$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\mathbb{Z}}_{\ell })\cong \underset{n}{\underleftarrow{\lim }}{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\ell }^{n-1}\ell \mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z}).$$再根据正合列 (2) 得到$$\cdots \to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\ell \mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z})\stackrel{\ell }{⟶}{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z})\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z})\to \cdots .$$取极限即可 (不难验证, 见 [18] 引理 10.1.3).

$\square$