16.2. 紧支的 Künneth 公式

定理 16.2.0.1. 考虑拟紧拟分离概形的纤维积其中 $f,g$ 为分离有限型映射. 设挠环 $\Lambda$ 和 $E\in D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 和 $K\in D(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$, 我们有$$R{f}_{!}E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}R{g}_{!}\ast K\cong R{c}_{!}(p^{-1}E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}{q}^{-1}K).$$

证明. 根据命题 15.2.0.3(iii) 和命题 15.2.0.4(ii) 得到$$\begin{array}{rl}& R{f}_{!}E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}R{g}_{!}K\\ & =R{f}_{!}(E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}{f}^{-1}R{g}_{!}K)\\ & =R{f}_{!}(E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}R{p}_{!}{q}^{-1}K)\\ & =R{f}_{!}(R{p}_{!}(p^{-1}E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}{q}^{-1}K))\\ & =R{c}_{!}(p^{-1}E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}{q}^{-1}K),\end{array}$$得到结论.

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推论 16.2.0.2. 对于上述纤维积, 设挠环 $\Lambda$ 和 $\Lambda$ 模 $\mathcal{E}$ 以及 $\mathcal{F}$, 则可以构造 Künneth 映射$$\underset{p+q=n}{⨁}{R}^p{f}_{!}\mathcal{E}{\otimes }_{\Lambda }{R}^q{g}_{!}\mathcal{F}\to R^n{c}_{!}(p^{-1}\mathcal{E}{\otimes }_{\Lambda }{q}^{-1}\mathcal{F}).$$若 $\mathcal{E}$ 和 $\mathcal{F}$ 其中有一个有 $\Lambda$-平坦的茎, 则 Künneth 映射即为如下谱序列从 $E_2^{0,n}$ 起的边际映射:$$E_2^{r,s}=\underset{\alpha +\beta =s}{⨁}\mathcal{T}o{r}_{-r}^{\underline{\Lambda }}(R^{\alpha }{f}_{!}\mathcal{E},R^{\beta }{g}_{!}\mathcal{F})\Rightarrow R^{r+s}{c}_{!}(p^{-1}\mathcal{E}{\otimes }_{\Lambda }{q}^{-1}\mathcal{F}).$$

证明. 注意到 Künneth 映射不难经过 Nagata 紧化来定义. 考虑高阶 Tor 谱序列$$E_2^{r,s}=\underset{\alpha +\beta =s}{⨁}\mathcal{T}o{r}_{-r}^{\underline{\Lambda }}(R^{\alpha }{f}_{!}\mathcal{E},R^{\beta }{g}_{!}\mathcal{F})\Rightarrow H^{r+s}(R{f}_{!}\mathcal{E}[0]{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}R{g}_{!}\mathcal{F}[0]),$$设 $\alpha$ 是上述谱序列从 $E_2^{0,n}$ 起的边际映射, 考虑复合其中同构 $\kappa$ 由定理 16.2.0.1 给出. 由于 $\mathcal{E}$ 和 $\mathcal{F}$ 其中有一个有 $\Lambda$-平坦的茎, 则 $\beta$ 也是同构, 故只需验证 $\beta \circ \kappa \circ \alpha$ 是 Künneth 映射. 只需经过基变换直和考虑紧支上同调的情况, 我们忽略这个无聊的验证.

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