19.3. 基本类

在本节假设 $S=\mathrm{Spec}k$ 且 $k$ 可分闭域且 $n$ 和 $\mathrm{char}(k)$ 互素, 概形均为 $S$ 上的光滑概形, 层 $\mathcal{F}$ 均为 $\Lambda :=\underline{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$-模. 依旧考虑余 $c$ 维光滑对如下图其中 $i$ 是闭浸入且 $j:U:=X\backslash Z\to X$ 是开浸入. 根据上同调纯性和谱序列得到$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(Z,R^{2c}{i}^{!}\mathcal{F})\cong H_{Z,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2c+i}(X,\mathcal{F}).$$取 $i=0$ 得到 $\Gamma (Z,R^{2c}{i}^{!}\mathcal{F})\cong H_{Z,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2c}(X,\mathcal{F})$. 定义 $\Lambda (r):={\mathbf{\mu }}_n\otimes \cdots \otimes {\mathbf{\mu }}_n$, 则我们事实上可以取 $s_{Z/X}\in \Gamma (Z,R^{2c}{i}^{!}\Lambda (c))$ 使得其诱导同构 $\Lambda \to H_{Z,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2c}(X,\Lambda (c))$, 我们称其为基本类.

定理 19.3.0.1. 余 $c$ 维光滑对上存在唯一 $(Z,X)\mapsto s_{Z/X}$, 其中$$s_{Z/X}\in \Gamma (Z,R^{2c}{i}^{!}\Lambda (c)),$$使得

(a) 基本类 $s_{Z/X}$ 生成 $\Gamma (Z,R^{2c}{i}^{!}\Lambda (c))$;

(b) 若考虑光滑 $S$-对之间的态射 $\varphi :(Z^{\prime },X^{\prime })\to (Z,X)$, 则 ${\varphi }^{\ast }{s}_{Z/X}=s_{Z^{\prime }/X^{\prime }}$;

(c) 若有其中 $(Z,Y)$, $(Y,X)$ 和 $(Z,X)$ 分别是余维数 $a,b,c$ 的光滑 $S$-对, 则 $s_{Z/Y}\otimes s_{Y/X}=s_{Z/X}$ 且满足如下典范同构:$$\begin{array}{rl}\text{谱序列诱导同构 }\Rightarrow & H_{Z,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2a}(Y,R^{2b}{u}^{!}\Lambda (c))\cong H_{Z,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2c}(X,\Lambda (c));\\ \text{自由诱导同构 }\Rightarrow & H_{Z,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2a}(Y,R^{2b}{u}^{!}\Lambda (c))\cong H_{Z,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2a}(Y,\Lambda (a))\otimes H_{Y,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2b}(X,\Lambda (b)).\end{array}$$

证明. 忽略, 证明参考 [20] 定理 VI.6.1.

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推论 19.3.0.2. 考虑余 $c$ 维光滑对 $(Z,X)$, 则 $T_{Z/X}:=R^{2c}{i}^{!}\Lambda$ 典范同构于 $\Lambda (-c)$.

证明. 将定理 19.3.0.1(c) 的第一个同构两边张量 $\Lambda (-c)$ 即可.

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