19.4. 上同调纯性和 Gysin 序列 II——特殊情况

固定可分闭域 $k$, 设 $S=\mathrm{Spec}k$, 设 $\Lambda :=\underline{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ 且 $n$ 都可逆.

定理 19.4.0.1 (上同调纯性). 考虑余 $c$ 维光滑对 $(Z,X)$, 则对于局部常值 $\Lambda$-模 $\mathcal{F}$ 有$$R^r{i}^{!}\mathcal{F}=\{\begin{array}{cc}{i}^{-1}\mathcal{F}(-c),& i=2c;\\ 0,& i\ne 2c.\end{array}$$因此谱序列得到对任何 $r\ge 0$ 都有典范同构 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{r-2c}(Z,\mathcal{F}(-c))\cong H_{Z,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(X,\mathcal{F})$.

证明. 根据定理 19.2.0.1 和推论 19.3.0.2 即可.

$\square$

推论 19.4.0.2 (Gysin 序列和 Gysin 映射). 考虑余 $c$ 维光滑对 $(Z,X)$, 则对于局部常值 $\Lambda$-模 $\mathcal{F}$ 有当 $0\le j\le 2c-2$ 时有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(X,\mathcal{F})\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(U,\mathcal{F})$, 且有正合列$$0\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2c-1}(X,\mathcal{F})\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2c-1}(U,\mathcal{F}{|}_U)\to H^0(Z,i^{-1}\mathcal{F}(-c))\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2c}(X,\mathcal{F})\to \cdots$$$$\cdots \to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{j-2c}(Z,i^{-1}\mathcal{F}(-c))\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(X,\mathcal{F})\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(U,\mathcal{F}{|}_U)\to \cdots .$$我们称 $i_{\ast }:H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(Z,i^{-1}\mathcal{F}(-c))\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{j+2c}(X,\mathcal{F})$ 为 Gysin 映射.

证明. 根据推论 19.2.0.3 和推论 19.3.0.2 即可.

$\square$

例 19.4.0.3. 固定代数闭域 $k$ 且 $n$ 在 $k$ 内可逆.

(i) 计算 ${\mathbb{A}}_k^m$ 的上同调. 根据 Kummer 列诱导长正合列和 $\mathrm{Pic}({\mathbb{A}}^1)=0$ 不难得到当 $r>0$ 时 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r({\mathbb{A}}_k^1,{\mathbf{\mu }}_n)=0$. 根据 Künneth 公式 16.1.0.1 得到当 $r>0$ 时 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r({\mathbb{A}}_k^m,\Lambda )=0$.

(ii) 计算 ${\mathbb{P}}_k^m$ 的上同调. 对 $({\mathbb{P}}_k^{m-1},{\mathbb{P}}_k^m)$ 用 Gysin 序列和归纳法不难得到$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r({\mathbb{P}}_k^m,\Lambda )=\{\begin{array}{cc}\Lambda (-r/2),& r\text{为偶数且}\le 2m,\\ 0,& \text{其他情况}.\end{array}$$