13.1. 经典拓扑里的紧合基变换

定义 13.1.0.1. 连续映射 $f:X\to S$ 称为紧合的如果 $f$ 是万有闭的且 $\Delta :X\to X{\times }_{S}X$ 是闭映射. 如果 $f$ 紧合当且仅当紧集的逆像仍然是紧的, 我们称 $f$ 是拟紧合 (更多的参考 Tag 005M).

引理 13.1.0.2. 设 $f:X\to Y$ 是紧合映射, 则对于任何 $X$ 上的层 $\mathcal{F}$ 和点 $y\in Y$ 都有$$(R{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}_y\cong R\Gamma (X_y,\mathcal{F}{|}_{X_y}),$$其中 $X_y=f^{-1}(y)$.

证明. 我们需要如下结论 (参考 Tag 09V3):

$\bullet$ 设 $Z$ 是空间 $X$ 的紧子集使得任何两个 $Z$ 内的点都有 $X$ 内的不交开邻域包含它们, 则对层 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X)$ 都有 ${\underrightarrow{\lim }}_{U\supset Z}{H}^r(U,\mathcal{F})\cong H^r(Z,\mathcal{F}{|}_Z)$.

回到引理本身. 取内射预解用伴随性不难得到映射 $(R{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}_y\to R\Gamma (X_y,\mathcal{F}{|}_{X_y})$. 取内射预解 $\mathcal{F}\hookrightarrow {\mathcal{I}}^{\ast }$, 由于 ${\mathcal{I}}^{\ast }{|}_{X_y}$ 是 $\Gamma (X_y,-)$-零调的, 故 $R\Gamma (X_y,\mathcal{F}{|}_{X_y})$ 可被 $\Gamma (X_y,{\mathcal{I}}^{\ast }{|}_{X_y})$ 表示, 故只需证明同构$$\underset{V}{\underrightarrow{\lim }}{\mathcal{I}}^{\ast }(f^{-1}(V))\cong \Gamma (X_y,{\mathcal{I}}^{\ast }{|}_{X_y}).$$注意到如果 $X_y\subset U$ 是开邻域, 由于 $f$ 闭, 则设 $V=Y\backslash f(X\backslash U)$ 就得到 $f^{-1}(V)\subset U$, 进而此系统共尾, 因此根据上述结论即可得到结论.

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定理 13.1.0.3 (拓扑紧合基变换). 设 $f:X\to Y$ 是紧合的映射, 设 $g:Y^{\prime }\to Y$ 是连续映射, 考虑纤维积则对层 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X)$ 都有 $g^{-1}(R{f}_{\ast }\mathcal{F})\cong R{f}_{\ast }^{\prime }((g^{\prime }{)}^{-1}\mathcal{F})$.

证明. 取内射预解用伴随性不难得到所述映射, 故只需在茎上证明同构即可. 取 $y^{\prime }\in Y$ 在 $y\in Y$ 上, 根据引理 13.1.0.2 得到同构$$(R{f}_{\ast }^{\prime }((g^{\prime }{)}^{-1}\mathcal{F}){)}_{y^{\prime }}=R\Gamma ((f^{\prime }{)}^{-1}(y^{\prime }),(g^{\prime }{)}^{-1}\mathcal{F}{|}_{(f^{\prime }{)}^{-1}(y^{\prime })})$$和$$(R{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}_y=R\Gamma (f^{-1}(y),\mathcal{F}{|}_{f^{-1}(y)})$$于是同构是显然的, 故成立.

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