13.2. 紧合基变换的叙述和证明

但平展上同调的紧合基变换类比没有这么容易.

引理 13.2.0.1. 对概形的紧合映射 $f:X\to S$ 和几何点 $\bar{s}\to S$, 对任意的 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 都有双射$$(f_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{s}}\to \Gamma (X_{\bar{s}},{\mathcal{F}}_{\bar{s}}).$$

证明. 这个需要 Hensel 对的一些结果, 见 Tag 0A3T.

$\square$

引理 13.2.0.2. 设 $\ell$ 是任一素数且 $A$ 是严格 Hensel 局部环, 设 $X\to \mathrm{Spec}(A)$ 紧合, 那么对于挠层 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 有$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X_0,\mathcal{F}{|}_{X_0}),$$其中 $X_0$ 是特殊纤维.

证明. 这个结论颇为复杂, 直接证明需要 Artin 逼近等技术, 我们略去. 读者可以用紧合基变换来推出它 (其实和紧合基变换等价). 而 [26] 内只证明了 ${\mathbb{F}}_{\ell }$-模层且 $X={\mathbb{P}}_A^1$ 的情况 (我们也只需要这个条件), 我们简述一下这种情况: 取 ${\mathbb{F}}_{\ell }$-模内射预解 $\mathcal{F}\hookrightarrow {\mathcal{I}}^{\ast }$, 可以证明 ${\mathcal{I}}^{\ast }{|}_{X_0}$ 是 $\mathcal{F}{|}_{X_0}$ 的右 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(X_0,-)$-零调的 (参考 Tag 0A5H), 于是 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X_0,\mathcal{F}{|}_{X_0})$ 可以由 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(X_0,\mathcal{F}{|}_{X_0})$ 得到, 再由引理 13.2.0.1 即可得到结论.

$\square$

注 13.2.0.3. 在复几何里有一个给予动机的类比 (证明见 [29] 定理 9.3):

$\bullet$ Ehresmann 定理. 设 $f:\mathcal{X}\to (B,0)$ 是微分流形之间的紧合浸没, 其中 $B$ 是可缩的流形且 $0$ 是其上的一个基点. 则存在微分同胚 $T:\mathcal{X}\cong {\mathcal{X}}_0\times B$ 使得对投影 $p:{\mathcal{X}}_0\times B\to B$ 满足 $p\circ T=f$. 因此在此种情况下有同伦等价 $\mathcal{X}\simeq {\mathcal{X}}_0$, 因此有相同的上同调.

定理 13.2.0.4 (紧合基变换). 设 $f:X\to Y$ 是概形间的紧合映射, 对任何概形映射 $g:Y^{\prime }\to Y$ 和纤维积对任何挠层 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 都有同构$$g^{-1}R{f}_{\ast }\mathcal{F}⟶R{f}_{\ast }^{\prime }(g^{\prime }{)}^{-1}\mathcal{F}.$$

证明. 我们需要如下几个步骤来得到证明.

$\bullet$ 步骤 1. 先证明不导出的情况对任意的 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 成立.

映射不难由伴随性给出, 同构只需要在茎上验证, 根据引理 13.2.0.1 即可得到结论.

$\bullet$ 步骤 2. 研究几个基变换的重要关系.

为了方便, 如果对任何 $S^{\prime }\to S$ 和基变换 $X{\times }_S{S}^{\prime }$ 和挠层 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 都满足定理的结论, 我们就称 $f:X\to S$ 和上同调的基变换交换. 则我们有如下结论:

$\bullet \bullet$ (a) 紧合映射 $f:X\to Y$ 和上同调的基变换交换当且仅当对任何素数 $\ell$ 和内射 ${\mathbb{F}}_{\ell }$-模层 $\mathcal{I}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 和任何 $Y^{\prime }\to Y$ 和定理的基变换 $X{\times }_Y{Y}^{\prime }$, 对任何 $q>0$ 都有层 $R^q{f}_{\ast }^{\prime }(g^{\prime }{)}^{-1}\mathcal{I}=0$.

这个不太困难, 首先设 $\mathcal{F}=\underrightarrow{\lim }\mathcal{F}[n]$, 根据定理 6.5.0.2 不难得出高阶直像和滤余极限交换, 而逆像本来就交换, 因此只需要假设 $\mathcal{F}$ 被某个 $n$ 零化. 取素数 $\ell |n$, 考虑$$0\to \mathcal{F}[\ell ]\to \mathcal{F}\to \mathcal{F}/\mathcal{F}[\ell ]\to 0,$$运用 5-引理, 只需对 $\mathcal{F}[\ell ],\mathcal{F}/\mathcal{F}[\ell ]$ 证明即可. 不断重复这一步骤, 则不妨设 $\mathcal{F}$ 被某个素数 $\ell$ 零化. 取 ${\mathbb{F}}_{\ell }$-模内射预解 $\mathcal{F}\hookrightarrow {\mathcal{I}}^{\ast }$, 只需证明对 ${\mathcal{I}}^{\ast }$ 运用步骤 1 即可.

$\bullet \bullet$ (b) 若 $f:X\to Y$ 有限, 则其和上同调的基变换交换.

这个基本上平凡, 运用 (a) 和推论 8.0.6 即可得到结果.

$\bullet \bullet$ (c) 对紧合映射 $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$, 若 $f,g$ 都和上同调的基变换交换, 则 $g\circ f$ 也是如此;

$\bullet \bullet$ (d) 对紧合映射 $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$, 若 $f,g\circ f$ 都和上同调的基变换交换且 $f$ 是满射, 则 $g$ 也是如此.

(b)(c) 证明类似, 运用相对 Leray 谱序列即可, 参考 Tag 0A4C 和 Tag 0A4D, 我们略去.

$\bullet$ 步骤 3. 将问题划归到 (相对) 射影空间.

根据命题 8.0.2, 我们可以考虑 Zariski 局部, 于是不妨设 $Y$ 仿射. 由 Chow 引理得到如下交换图:其中 $\pi$ 是 (H-) 射影满射且 $f^{\prime \prime }$ 是紧合映射. 根据步骤 2 的 (b), 则 $i$ 和上同调的基变换交换. 如果我们证明了对形如 ${\mathbb{P}}_S^n\to S$ 的映射也和上同调的基变换交换, 那么根据步骤 2 的 (c) 得到 $f^{\prime \prime },\pi$ 和上同调的基变换交换, 再根据步骤 2 的 (d), 我们就得到了 $f$ 和上同调的基变换交换. 因此问题划归到了形如 ${\mathbb{P}}_S^n\to S$ 的映射.

$\bullet$ 步骤 4. 将问题划归到 (相对) 射影直线.

注意到对于 $n>0$, 有有限满射$${\mathbb{P}}_S^1{\times }_S\cdots {\times }_S{\mathbb{P}}_S^1\to {\mathbb{P}}_S^n$$为 $((x_1:y_1),(x_2:y_2),\dots ,(x_n:y_n))\mapsto (F_0:\dots :F_n)$, 其中 $F_i$ 是 $x_i,y_i$ 的整系数多项式满足$$\prod _i(x_{i}t+y_i)=F_0{t}^n+F_1{t}^{n-1}+\dots +F_n.$$因此根据步骤 2 的 (c) 和 (d) 只需要考虑 ${\mathbb{P}}_S^1\to S$ 的情况.

$\bullet$ 步骤 5. 完成证明.

对任何 $g:T\to S$ 和 $\mathcal{F}$ 是 ${\mathbb{F}}_{\ell }$ 模层 (根据步骤 2 的 (a) 的证明, 只需考虑这种情况), 观察交换图只需要在茎上验证. 首先注意到对几何点 ${\bar{s}}^{\prime }\to S$, 根据引理 13.2.0.2 和推论 8.0.4 我们有$$(R^q{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}_{{\bar{s}}^{\prime }}=H^q({\mathbb{P}}_{{\mathcal{O}}_{S,{\bar{s}}^{\prime }}^{\mathrm{sh}}}^1,\mathcal{F}{|}_{{\mathbb{P}}_{{\mathcal{O}}_{S,{\bar{s}}^{\prime }}^{\mathrm{sh}}}^1})=H^q({\mathbb{P}}_{\kappa (s^{\prime }{)}^{\mathrm{sep}}}^1,\mathcal{F}{|}_{{\mathbb{P}}_{\kappa (s^{\prime }{)}^{\mathrm{sep}}}^1}).$$因此考虑几何点 $\bar{t}\to T$, 设 $\bar{s}=g(\bar{t})$, 考虑映射 $g^{-1}{R}^q{f}_{\ast }\mathcal{F}\to R^q{f}_{\ast }^{\prime }(g^{\prime }{)}^{-1}\mathcal{F}$ 的茎为$$H^q({\mathbb{P}}_{\kappa (s{)}^{\mathrm{sep}}}^1,\mathcal{F}{|}_{{\mathbb{P}}_{\kappa (s{)}^{\mathrm{sep}}}^1})\to H^q({\mathbb{P}}_{\kappa (t{)}^{\mathrm{sep}}}^1,\mathcal{F}{|}_{{\mathbb{P}}_{\kappa (t{)}^{\mathrm{sep}}}^1}).$$根据命题 11.2.0.8 即可得到结论.

$\square$

注 13.2.0.5. 对挠上同调的 $\mathcal{F}\in D^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 也对, 根据一般的紧合基变换和一个谱序列 (Tag 015J) 即可得到.

注 13.2.0.6. 在证明中我们使用了如下划归映射: 有限满射$${\mathbb{P}}_S^1{\times }_S\cdots {\times }_S{\mathbb{P}}_S^1\to {\mathbb{P}}_S^n$$为 $((x_1:y_1),(x_2:y_2),\dots ,(x_n:y_n))\mapsto (F_0:\dots :F_n)$, 其中 $F_i$ 是 $x_i,y_i$ 的整系数多项式满足$$\prod _i(x_{i}t+y_i)=F_0{t}^n+F_1{t}^{n-1}+\dots +F_n.$$这样写其实不太好, 因为坐标写法在代数闭域上才比较合适. 这里我们给出严谨的定义:

该映射被如下映射诱导:$$S[a_0,...,a_n]\to \underset{d\ge 0}{⨁}S[x_1,y_1{]}_d{\otimes }_S\cdots {\otimes }_{S}S[x_n,y_n{]}_d$$为$$a_j\mapsto \sum _{1\le i_1<\cdots <i_j\le n}\frac{x_{i_1}\cdots x_{i_j}}{y_{i_1}\cdots y_{i_j}}{y}_0\cdots y_n.$$