13.2. 紧合基变换的叙述和证明

但平展上同调的紧合基变换类比没有这么容易.

引理 13.2.0.1. 对概形的紧合映射 和几何点 , 对任意的 都有双射

证明. 这个需要 Hensel 对的一些结果, 见 Tag 0A3T.

引理 13.2.0.2. 是任一素数且 是严格 Hensel 局部环, 设 紧合, 那么对于挠层 其中 是特殊纤维.

证明. 这个结论颇为复杂, 直接证明需要 Artin 逼近等技术, 我们略去. 读者可以用紧合基变换来推出它 (其实和紧合基变换等价). 而 [26] 内只证明了 -模层且 的情况 (我们也只需要这个条件), 我们简述一下这种情况: 取 -模内射预解 , 可以证明 的右 -零调的 (参考 Tag 0A5H), 于是 可以由 得到, 再由引理 13.2.0.1 即可得到结论.

注 13.2.0.3. 在复几何里有一个给予动机的类比 (证明见 [29] 定理 9.3):

Ehresmann 定理. 设 是微分流形之间的紧合浸没, 其中 是可缩的流形且 是其上的一个基点. 则存在微分同胚 使得对投影 满足 . 因此在此种情况下有同伦等价 , 因此有相同的上同调.

定理 13.2.0.4 (紧合基变换). 是概形间的紧合映射, 对任何概形映射 和纤维积对任何挠层 , 都有同构

证明. 我们需要如下几个步骤来得到证明.

步骤 1. 先证明不导出的情况对任意的 成立.

映射不难由伴随性给出, 同构只需要在茎上验证, 根据引理 13.2.0.1 即可得到结论.

步骤 2. 研究几个基变换的重要关系.

为了方便, 如果对任何 和基变换 和挠层 都满足定理的结论, 我们就称 和上同调的基变换交换. 则我们有如下结论:

(a) 紧合映射 和上同调的基变换交换当且仅当对任何素数 和内射 -模层 和任何 和定理的基变换 , 对任何 都有层 .

这个不太困难, 首先设 , 根据定理 6.5.0.2 不难得出高阶直像和滤余极限交换, 而逆像本来就交换, 因此只需要假设 被某个 零化. 取素数 , 考虑运用 5-引理, 只需对 证明即可. 不断重复这一步骤, 则不妨设 被某个素数 零化. 取 -模内射预解 , 只需证明对 运用步骤 1 即可.

(b) 若 有限, 则其和上同调的基变换交换.

这个基本上平凡, 运用 (a) 和推论 8.0.6 即可得到结果.

(c) 对紧合映射 , 若 都和上同调的基变换交换, 则 也是如此;

(d) 对紧合映射 , 若 都和上同调的基变换交换且 是满射, 则 也是如此.

(b)(c) 证明类似, 运用相对 Leray 谱序列即可, 参考 Tag 0A4CTag 0A4D, 我们略去.

步骤 3. 将问题划归到 (相对) 射影空间.

根据命题 8.0.2, 我们可以考虑 Zariski 局部, 于是不妨设 仿射. 由 Chow 引理得到如下交换图:其中 是 (H-) 射影满射且 是紧合映射. 根据步骤 2 的 (b), 则 和上同调的基变换交换. 如果我们证明了对形如 的映射也和上同调的基变换交换, 那么根据步骤 2 的 (c) 得到 和上同调的基变换交换, 再根据步骤 2 的 (d), 我们就得到了 和上同调的基变换交换. 因此问题划归到了形如 的映射.

步骤 4. 将问题划归到 (相对) 射影直线.

注意到对于 , 有有限满射, 其中 的整系数多项式满足因此根据步骤 2 的 (c) 和 (d) 只需要考虑 的情况.

步骤 5. 完成证明.

对任何 模层 (根据步骤 2 的 (a) 的证明, 只需考虑这种情况), 观察交换图只需要在茎上验证. 首先注意到对几何点 , 根据引理 13.2.0.2 和推论 8.0.4 我们有因此考虑几何点 , 设 , 考虑映射 的茎为根据命题 11.2.0.8 即可得到结论.

注 13.2.0.5. 对挠上同调的 也对, 根据一般的紧合基变换和一个谱序列 (Tag 015J) 即可得到.

注 13.2.0.6. 在证明中我们使用了如下划归映射: 有限满射, 其中 的整系数多项式满足这样写其实不太好, 因为坐标写法在代数闭域上才比较合适. 这里我们给出严谨的定义:

该映射被如下映射诱导: