5.1. 直像

跟 Zariski 下类似, 我们在此留下定义还有几个例子.

定义 5.1.0.1. 考虑概形映射 $f:X\to Y$, 设 $\mathcal{P}\in \mathrm{PreSh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 定义直像为$$f_{\ast }\mathcal{P}(U\to Y)=\mathcal{P}(U{\times }_{Y}X\to X).$$

命题 5.1.0.2. 概形映射 $f:X\to Y$, 设 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$.

(i) 必然有 $f_{\ast }\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$;

(ii) 对于 $g:Y\to Z$, 我们有 $(g\circ f{)}_{\ast }=g_{\ast }\circ f_{\ast }$;

(iii) 若视作函子 $f_{\ast }:\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\to \mathrm{Ab}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 则左正合.

证明.. 此乃定义, 略去.

$\square$

命题 5.1.0.3. 考虑概形映射 $f:X\to Y$ 和几何点 $\bar{y}=\mathrm{Spec}k\to Y$, 设 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$.

(i) 若 $f$ 是闭浸入, 则$$(f_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{y}}=\{\begin{array}{ccc}\{\ast \}& \text{当}& \bar{y}\notin X\\ {\mathcal{F}}_{\bar{y}}& \text{当}& \bar{y}\in X\end{array}$$其中 $\{\ast \}$ 指单点集;

(ii) 若 $f$ 是开浸入, 若 $\bar{y}\in X$, 则 $(f_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{y}}={\mathcal{F}}_{\bar{y}}$;

(iii) 如果 $f$ 是有限态射, 则$$(f_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{y}}=\prod _{\bar{x}:\mathrm{Spec}k\to X,f(\bar{x})=\bar{y}}{\mathcal{F}}_{\bar{x}}.$$若 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 则 $(f_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{y}}={⨁}_{\bar{x}:\mathrm{Spec}k\to X,f(\bar{x})=\bar{y}}{\mathcal{F}}_{\bar{x}}$.

证明.. (ii) 是平凡的;(iii) 颇为麻烦, 需要用到严格 Hensel 环的性质, 我们略去, 参考 Tag 03QP.

(i) 当 $\bar{y}\notin X$, 这是显然的. 下面考虑 $\bar{y}\in X$ 的情况. 考虑两个事实:

事实 1. 对任意两个平展态射 $U,U^{\prime }\to Y$, 设 $h:U_X\to U_X^{\prime }$ 是 $X$-态射, 则存在 $a:W\to U,b:W\to U^{\prime }$ 使得 $a_X:W_X\to U_X$ 是同构且 $h=b_X\circ (a_X{)}^{-1}$.

[事实 1 的证明] : 设 $M=U{\times }_Y{U}^{\prime }$ 和图像 ${\Gamma }_h\subset M_X$. 注意到 ${\Gamma }_h$ 是平展映射 ${\mathrm{pr}}_{1,X}:M_X\to U_X$ 一个截面的像, 故是开的. 则存在开子概形 $W\subset M$ 使得 $W\cap M_X={\Gamma }_h$. 故取 $a={\mathrm{pr}}_1{|}_W,b={\mathrm{pr}}_2{|}_W$ 即可.

事实 2. 对平展态射 $V\to X$, 存在一族平展态射 $U_i\to Y$ 和态射 $U_{i,X}\to V$ 使得 $\{U_{i,X}\to V\}$ 是 $V$ 的是 Zariski 覆盖.

[事实 2 的证明] : 不妨设 $Y,V$ 皆为仿射的, 则化为以下简单的交换代数: 假设环 $R$ 和理想 $I\subset R$, 设 $R/I\to S^{\prime }$ 平展, 则存在平展同态 $R\to S$ 使得 $S^{\prime }\cong S/IS$ 是 $R/I$-代数同构. 这是因为平展同态总可以写成 $S^{\prime }=(R/I)[x_1,...,x_n]/({\bar{f}}_1,...,{\bar{f}}_n)$ 其中 $\overline{\Delta }=\det \left(\frac{\partial {\bar{f}}_i}{\partial x_j}\right)$ 在 $S^{\prime }$ 里可逆. 只需要提升成某些 $f_1,...,f_n$ 且设$$S=R[x_1,...,x_n,x_{n+1}]/(f_1,...,f_n,x_{n+1}\Delta -1),$$其中 $\Delta =\det \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)$ 即可.

[回到原结论] . 注意到 $(f_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{y}}={\underrightarrow{\lim }}_{(U,\bar{u})}\mathcal{F}(U_X)$ 且 ${\mathcal{F}}_{\bar{y}}={\underrightarrow{\lim }}_{(V,\bar{v})}\mathcal{F}(V)$, 故 $\{(U,\bar{u})\}$ 在 $\{(V,\bar{v})\}$ 内共尾, 则得证.

$\square$