5.2. 逆像

定义 5.2.0.1. 考虑概形映射 $f:X\to Y$, 设 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 定义逆像为$$f^{-1}\mathcal{F}={\left((U\to X)\mapsto \underset{U\to X{\times }_{Y}V}{\underrightarrow{\lim }}\mathcal{F}(V\to Y)\right)}^{♯}.$$

命题 5.2.0.2. 考虑概形映射 $f:X\to Y$, 则

(i) 有伴随函子 $(f^{-1},f_{\ast })$;

(ii) 函子 $f^{-1}:\mathrm{Sh}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\to \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 和 $f^{-1}:\mathrm{Ab}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\to \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 正合;

(iii) 对几何点 $\bar{x}\to X$ 和 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 设 $\bar{y}=x\to X\to Y$, 则 $(f^{-1}\mathcal{F}{)}_{\bar{x}}\cong {\mathcal{F}}_{\bar{y}}$;

(iv) 对 $g:Y\to Z$, 有 $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$;

(v) 对平展映射 $V\to Y$, 有 $f^{-1}{h}_V=h_{X{\times }_{Y}V}$.

证明.. (i)(ii) 略去.(iv) 和 (v) 由伴随性和 Yoneda 引理显然. 考虑 (iii), 注意到$$\begin{array}{rl}(f^{-1}\mathcal{F}{)}_{\bar{x}}& =\underset{(U,\bar{u})}{\underrightarrow{\lim }}(f^{-1}\mathcal{F})(U)\\ & =\underset{(U,\bar{u})}{\underrightarrow{\lim }}\underset{a:U\to X{\times }_{Y}V}{\underrightarrow{\lim }}\mathcal{F}(U)\\ & =\underset{(V,a\circ \bar{u})}{\underrightarrow{\lim }}\mathcal{F}(V)={\mathcal{F}}_{\bar{y}}\end{array}$$即可.

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命题 5.2.0.3 (基变换). 考虑纤维积其中 $f$ 有限, 则 $f_{\ast }^{\prime }\circ (g^{\prime }{)}^{-1}=g^{-1}\circ f_{\ast }$.

证明.. 只需验证茎即可. 注意到纤维积, 对 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 考虑几何点 ${\bar{y}}^{\prime }:\mathrm{Spec}k\to Y^{\prime }$, 我们有$$\begin{array}{rl}(f_{\ast }^{\prime }(g^{\prime }{)}^{-1}(\mathcal{F}){)}_{{\bar{y}}^{\prime }}& =\prod _{{\bar{x}}^{\prime }:\mathrm{Spec}k\to X^{\prime },f^{\prime }\circ {\bar{x}}^{\prime }={\bar{y}}^{\prime }}((g^{\prime }{)}^{-1}(\mathcal{F}){)}_{{\bar{x}}^{\prime }}\\ & =\prod _{{\bar{x}}^{\prime }:\mathrm{Spec}k\to X^{\prime },f^{\prime }\circ {\bar{x}}^{\prime }={\bar{y}}^{\prime }}{\mathcal{F}}_{g^{\prime }\circ {\bar{x}}^{\prime }}\\ & =\prod _{\bar{x}:\mathrm{Spec}k\to X,f\circ \bar{x}=g\circ {\bar{y}}^{\prime }}{\mathcal{F}}_{\bar{x}}=(f_{\ast }\mathcal{F}{)}_{g\circ {\bar{y}}^{\prime }}=(g^{-1}{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}_{{\bar{y}}^{\prime }}\end{array}$$得到结论.

$\square$