24.1. 其他代数簇的计算

带奇点曲线的上同调

命题 24.1.0.1. 设 $X$ 是代数闭域 $k$ 上的射影曲线, 有一个结点 $x$, 设 $n$ 可逆, 则$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}& q=0,\\ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\oplus 2g+1}& q=1,\\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}& q=2,\\ 0& q\ge 3.\end{array}$$

证明. 取正规化 $f:X^{\nu }\to X$, 我们有短正合列 $0\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to f_{\ast }(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\to Q\to 0$. 不难得知 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(X,Q)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 且当 $i>0$ 时候 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,Q)=0$. 于是因为 $f$ 有限, 引长正合列得到不难得知 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 且 $f=0$, 故 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\oplus 2g+1}$. 而 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 也不难看出.

$\square$

注 24.1.0.2. 可以推广至 $n$ 个一般奇点的情况, 略去.

爆破的平展上同调

命题 24.1.0.3. 设 $X$ 是概形, 而 $Z\subset X$ 是有限型拟凝聚理想层定义的闭子概形. 考虑爆破:则对任何 $K\in D_{\mathrm{tor}}^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 都有好三角$$K\to R{i}_{\ast }(K{|}_Z)\oplus R{b}_{\ast }(b^{-1}K)\to R{c}_{\ast }(K{|}_E)\to K[1].$$

证明. 设 $K={\mathcal{F}}^{\ast }$. 由于 $i_{\ast }$ 正合, 得到 $R{i}_{\ast }(K{|}_Z)=i_{\ast }({\mathcal{F}}^{\ast }{|}_Z)$. 取内射预解 $b^{-1}{\mathcal{F}}^{\ast }\to {\mathcal{I}}^{\ast }$, 不难得知 $b_{\ast }{\mathcal{I}}^{\ast }\simeq R{b}_{\ast }(b^{-1}K)$. 根据紧合基变换得到 ${\pi }_{\ast }({\mathcal{I}}^{\ast }{|}_E)=(b_{\ast }{\mathcal{I}}^{\ast }){|}_Z\simeq R{\pi }_{\ast }(K{|}_E)$. 因此 $R{i}_{\ast }(K{|}_Z)\oplus R{b}_{\ast }(b^{-1}K)\to R{c}_{\ast }(K{|}_E)$ 即为$$i_{\ast }({\mathcal{F}}^{\ast }{|}_Z)\oplus b_{\ast }({\mathcal{I}}^{\ast })\to i_{\ast }(b_{\ast }({\mathcal{I}}^{\ast }){|}_Z).$$考虑伴随 ${\mathcal{F}}^{\ast }\to b_{\ast }{\mathcal{I}}^{\ast }$ 和 ${\mathcal{F}}^{\ast }\to i_{\ast }({\mathcal{F}}^{\ast }{|}_Z)$, 进而得到$${\mathcal{F}}^{\ast }\to i_{\ast }({\mathcal{F}}^{\ast }{|}_Z)\oplus b_{\ast }{\mathcal{I}}^{\ast }.$$只需要证明这个映射拟同构于上面那个的核. 只需要考虑茎, 对点在 $Z$ 的内外分别计算即可, 这个十分简单, 我们略去.

$\square$

推论 24.1.0.4. 设 $X$ 是概形, 而 $Z\subset X$ 是有限型拟凝聚理想层定义的闭子概形. 考虑爆破:则对任何 $K\in D_{\mathrm{tor}}^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 都有长正合列$$\cdots \to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p(X,K)\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p({\mathrm{Bl}}_{Z}X,b^{-1}K)\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p(Z,K{|}_Z)\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{p+1}(X,K)\to \cdots .$$

证明. 根据命题 24.1.0.3, 直接取 $R\Gamma$ 和上同调即可.

$\square$