24.2. Abel 簇相关

Abel 簇的平展上同调

定理 24.2.0.1. 设 $A$ 为域 $k$ 上的阿贝尔簇而 $\ell$ 是一个与特征互素的素数. 那么

(i) 有同构 ${\bigwedge }^r{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(A,{\mathbb{Z}}_{\ell })\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(A,{\mathbb{Z}}_{\ell })$;

(ii) 考虑 Tate 模 $T_{\ell }A:=\underleftarrow{\lim }A[{\ell }^n]$, 有同构 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(A,{\mathbb{Z}}_{\ell })\cong (T_{\ell }A{)}^{\vee }$.

注 24.2.0.2. 复的情况下, 根据 GAGA 得知此对应为复环面, 而其奇异上同调环也是这样的结构, 细节参考 [15] 例 3.11.

考虑 Kummer 正合列 $0\to {\mathbf{\mu }}_{{\ell }^n}\to {\mathbb{G}}_m\to {\mathbb{G}}_m\to 0$. 考虑自由群 $N(A):=\mathrm{Pic}(A)/{\mathrm{Pic}}^0(A)$, 正合列诱导出$$0\to N(A)/{\ell }^{n}N(A)\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(A,{\mathbf{\mu }}_{{\ell }^n})\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(A,{\mathbb{G}}_m)[{\ell }^n].$$取逆极限得到$$0\to N(A)\otimes {\mathbb{Z}}_{\ell }\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(A,{\mathbb{Z}}_{\ell })\to T_{\ell }{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(A,{\mathbb{G}}_m).$$因为 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(A,{\mathbb{Z}}_{\ell })={\bigwedge }^2{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(A,{\mathbb{Z}}_{\ell })={\bigwedge }^2(T_{\ell }A{)}^{\vee }$, 故 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(A,{\mathbb{Z}}_{\ell })$ 内元素可以看作反对称双线性型 $T_{\ell }A\times T_{\ell }A\to {\mathbb{Z}}_{\ell }$(即为 Weil 配对). 而映射 $N(A)\otimes {\mathbb{Z}}_{\ell }\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(A,{\mathbb{Z}}_{\ell })$ 也可以由 Weil 配对给出, 略去讨论.

Abel 簇和 Jacobi 簇

引理 24.2.0.3. (i) Abel 簇之间的映射有 Tate 模决定;

(ii) 对光滑射影曲线 $C$ 及其 Jacobi 簇 $J$, 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(J,{\mathbb{Z}}_{\ell })\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(C,{\mathbb{Z}}_{\ell })$.

证明. (i) 略去;

(ii) 注意到对任何代数簇都有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=\mathrm{Pic}(X)[n]$, 且 $C\to J$ 诱导同构 ${\mathrm{Pic}}^0(J)\cong {\mathrm{Pic}}^0(C)$, 因此得到同构 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(J,\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z})\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(C,\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z})$. 取极限即可.

$\square$

定理 24.2.0.4. 设 $A$ 为阿贝尔簇, 那么存在其上光滑曲线 $C$ 的 Jacobi 簇 $J$ 使得有一个满射 $J\to A$, 即所有 Abel 簇都是 Jacobi 簇的商.

证明. 取嵌入 $A\hookrightarrow {\mathbb{P}}^n$, 根据多次 Bertini 定理会截出光滑曲线 $C\subset A$. 根据 Gysin 序列得到满射$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(C,\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z})\twoheadrightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2g-1}(A,\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z}(g-1)).$$再根据 Poincaré 对偶得到单射 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(A,{\mathbb{Z}}_{\ell })\hookrightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(C,{\mathbb{Z}}_{\ell })$. 由引理 (ii) 得到 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(J,{\mathbb{Z}}_{\ell })\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(C,{\mathbb{Z}}_{\ell })$ 且 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(J,{\mathbb{Z}}_{\ell })\cong (T_{\ell }J{)}^{\vee }$ 和 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(A,{\mathbb{Z}}_{\ell })\cong (T_{\ell }A{)}^{\vee }$. 因此得到满射 $T_{\ell }J\twoheadrightarrow T_{\ell }A$. 根据引理 (i) 得到满射 $J\to A$.

$\square$

Mordell-Weil 定理一瞥

用一些代数数论和平展上同调知识可以证明:

定理 24.2.0.5 (弱 Mordell-Weil 定理). 设 $A$ 是整体域 $K$ 上的一个阿贝尔簇, 设 $n$ 在 $K$ 内可逆, 那么 $A(K)/nA(K)$ 是有限的.

再用 Weil 的高度配对以及完全初等的泛函分析可以得到:

定理 24.2.0.6 (Mordell-Weil 定理). 设 $A$ 是整体域 $K$ 上的一个阿贝尔簇, 那么 $A(K)$ 是有限生成的.

这些证明可以参考笔记 MW.