6.1. 定义

定义和其他通常的层上同调区别不大, 所以我们长话短说.

引理 6.1.0.1. 对概形 $X$ 和 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 存在内射对象 $\mathcal{I}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 使得有单射 $\mathcal{F}\hookrightarrow \mathcal{I}$.

证明.. 任取 $x\in X$ 和在其上的几何点 $i_x:\bar{x}\to X$, 取内射 Abel 群满足 ${\mathcal{F}}_{\bar{x}}\hookrightarrow I(x)$. 则 $\mathcal{I}(x):=i_{x,\ast }I(x)$ 是内射的, 故取 $\mathcal{I}={\prod }_{x\in X}\mathcal{I}(x)$ 即可得到 $\mathcal{F}\hookrightarrow {\prod }_{x\in X}{\mathcal{F}}_{\bar{x}}\hookrightarrow \mathcal{I}$.

$\square$

定义 6.1.0.2. 对概形 $X$ 和 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 不难得知截面函子 $\Gamma (X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},-)$ 左正合. 由引理 6.1.0.1 知有内射预解 $\mathcal{F}\hookrightarrow {\mathcal{I}}^{\ast }$, 则定义 $X$ 上 $\mathcal{F}$ 的平展上同调为$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathcal{F}):=R^i\Gamma (X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\mathcal{F})=H^i\Gamma (X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},{\mathcal{I}}^{\ast }).$$

和我们之前定义的上同调理论类似, 我们也有如下基本结果:

命题 6.1.0.3. (i) 满足 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(X,\mathcal{F})=\Gamma (X,\mathcal{F})$;

(ii) 若 $\mathcal{I}$ 内射, 则当 $i>0$ 时 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathcal{I})=0$;

(iii) 短正合列 $0\to {\mathcal{F}}^{\prime }\to \mathcal{F}\to {\mathcal{F}}^{\prime \prime }\to 0$ 会诱导长正合列$$0\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(X,{\mathcal{F}}^{\prime })\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(X,\mathcal{F})\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(X,{\mathcal{F}}^{\prime \prime })\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X,{\mathcal{F}}^{\prime })\to \cdots .$$

注 6.1.0.4. (a) 若 $g:U\to X$ 平展, 则 $g^{-1}\circ \Gamma (U,-)=\Gamma (U,-)$, 故 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(U,\mathcal{F}{|}_U)=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(U,\mathcal{F})$;

(b) 对于 $f:X\to Y$, 因为有 $\mathcal{F}\to f_{\ast }{f}^{-1}\mathcal{F}$, 则诱导 $R\Gamma (Y,\mathcal{F})\to R\Gamma (X,f^{-1}\mathcal{F})$, 故可以诱导映射 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(Y,\mathcal{F})\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,f^{-1}\mathcal{F})$.