6.2. 群上同调一瞥

几何人可以通过这里速成一下群的上同调理论.

定义 6.2.0.1. 设 $G$ 是拓扑群.

(i) 一个 Abel 群 $M$(赋予离散拓扑) 称为 $G$-模, 如果有连续作用 $G\times M\to M$;

(ii) 设 ${\mathrm{Mod}}_G$ 是 $G$-模构成的范畴. 根据 Tag 04JF, 范畴 ${\mathrm{Mod}}_G$ 有足够内射对象. 考虑左正合函子$${\Gamma }_G:{\mathrm{Mod}}_G\to \mathrm{AbGrps},M\mapsto M^G,$$定义群 $G$ 的 (连续) 上同调为 $H^i(G,M)=R^i{\Gamma }_G(M)$. 若 $G$ 是 Galois 群则成为 Galois 上同调.

命题 6.2.0.2. 对于群 $G$, 考虑群环 $\mathbb{Z}[G]$, 那么有自然的范畴等价 ${\mathrm{Mod}}_G\to {\mathrm{Mod}}_{\mathbb{Z}[G]}$. 设 $\mathbb{Z}$ 可以经过平凡 $G$ 作用来作为 $\mathbb{Z}[G]$ 模, 则 $H^i(G,M)\cong {\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}[G]}^i(\mathbb{Z},M)$.

证明.. 近乎平凡, 略去.

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定理 6.2.0.3 (Tate). 设 $M$ 是拓扑群并且赋予连续 $G$-作用. 考虑复形$$C_{\mathrm{cont}}^{\ast }(G,M):M\to {\mathrm{Maps}}_{\mathrm{cont}}(G,M)\to {\mathrm{Maps}}_{\mathrm{cont}}(G\times G,M)\to \cdots$$其中边界算子为当 $n=0$, 则 $m\mapsto (g\mapsto g(m)-m)$; 当 $n>0$ 时定义为$$\begin{array}{rl}d(f)(g_1,...,g_{n+1})& =g_1(f(g_2,...,g_{n+1}))\\ & +\sum _{j=1}^n(-1{)}^{j}f(g_1,...,g_j{g}_{j+1},...,g_{n+1})\\ & +(-1{)}^{n+1}f(g_1,...,g_n).\end{array}$$这样定义 Tate 连续上同调为 $H_{\mathrm{cont}}^i(G,M):=H^i(C_{\mathrm{cont}}^{\ast }(G,M))$. 则对于 $M\in {\mathrm{Mod}}_G$, 存在典范映射 $H^i(G,M)\to H_{\mathrm{cont}}^i(G,M)$. 并且当 $G$ 是离散群或者射有限群, 则为同构 $H^i(G,M)\cong H_{\mathrm{cont}}^i(G,M)$.

证明.. 映射 $H^i(G,M)\to H_{\mathrm{cont}}^i(G,M)$ 通过万有 $\delta$-函子不难诱导. 证明见 [22] 第二章. 我们在这里简单说说这个边界映射的一个看法, 这个其实就是分类叠 $\mathbf{B}G$ 上层的 Cech 上同调的边界映射.

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