6.7. 平展上同调的拓扑不变性一瞥

定理 6.7.0.1 (平展上同调的拓扑不变性). 设 $f:X_0\to X$ 是万有同胚 (例如幂零理想层定义的闭浸入), 则

(i) 小平展景 $X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\to (X_0{)}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},V\mapsto V{\times }_X{X}_0$ 是同构;

(ii) 平展意象 $\mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 和 $\mathrm{Sh}((X_0{)}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 是同构;

(iii) 对任何 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 和任何 $q$ 都有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,\mathcal{F})\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X_0,\mathcal{F}{|}_{X_0})$.

证明.. (ii) 和 (iii) 由 (i) 可以得到. 而 (i) 比较复杂, 我们只给一瞥, 完整证明参考 Tag 03SI. 事实上可以 (不太容易地) 约化到幂零理想层定义的闭浸入且是仿射局部的情况. 也就是说对于幂零理想 $I\subset A$, 有 $A_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\cong (A/I{)}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$. 事实上对于平展 $A/I$-代数, 可以写为$$A/I[x_1,...,x_n]/({\bar{f}}_1,...,{\bar{f}}_n)$$且 $\det \left(\frac{\partial {\bar{f}}_i}{\partial x_j}\right)$ 可逆, 取一个提升得到 $A[x_1,...,x_n]/(f_1,...,f_n)$, 现在考察 $\det \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)$ 是否可逆. 不难得知由于 $I$ 幂零, 则 $A/I$ 内可逆的元素在 $A$ 上一定可逆.

$\square$