6.6. 平展上同调和极限一瞥

我们这里只给出叙述, 不给出证明, 详细细节参考 Tag 03Q4.

定义 6.6.0.1. 设 $I$ 是预序集, 考虑逆系统 $(X_i,f_{i^{\prime }i}{)}_I$. 一个在其上定义的层系统 $({\mathcal{F}}_i,{\phi }_{i^{\prime }i})$ 为满足

(i) 层 ${\mathcal{F}}_i\in \mathrm{Sh}(X_{i,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$;

(ii) 对 $i^{\prime }\ge i$, 有 $\mathrm{Sh}(X_{i,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 内的映射 ${\phi }_{i^{\prime }i}:f_{i^{\prime }i}^{-1}{\mathcal{F}}_i\to {\mathcal{F}}_{i^{\prime }}$

使得 ${\phi }_{i^{\prime \prime }i}={\phi }_{i^{\prime \prime }{i}^{\prime }}\circ f_{i^{\prime \prime }{i}^{\prime }}^{-1}{\phi }_{i^{\prime }i}$.

定理 6.6.0.2 (Tag 09YQ). 考虑定向逆系统 $(X_i,f_{i^{\prime }i}{)}_I$ 使得 $X_i$ 拟紧拟分离且 $f_{i^{\prime }i}$ 仿射. 对于其上定义的层系统 $({\mathcal{F}}_i,{\phi }_{i^{\prime }i})$, 假设 $f_i:X=\underleftarrow{\lim }{X}_i\to X_i$ 且 $\mathcal{F}:=\underrightarrow{\lim }{f}_i^{-1}{\mathcal{F}}_i$, 则有$$\underrightarrow{\lim }{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X_i,{\mathcal{F}}_i)\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathcal{F}).$$

注 6.6.0.3. 若只取层的极限, 则不需要转移映射仿射.