16.1. 一般的 Künneth 公式

考虑纤维积对于 $E\in D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 和 $K\in D(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$(无界导出范畴可以定义这些函子, 细节我们略去, 读者可以自行脑补成有界的), 注意到有典范映射$$\begin{array}{rl}& c^{-1}(R{f}_{\ast }E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}R{g}_{\ast }K)\\ & =p^{-1}{f}^{-1}R{f}_{\ast }E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}{q}^{-1}{g}^{-1}R{g}_{\ast }K\\ & \to p^{-1}E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}{q}^{-1}K\end{array}$$再取伴随即可得到映射$$R{f}_{\ast }E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}R{g}_{\ast }K\to R{c}_{\ast }(p^{-1}E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}{q}^{-1}K).$$

定理 16.1.0.1 (Künneth 公式). 考虑上述纤维积, 若 $\Lambda$ 挠环且 $f,g$ 紧合, 则有$$R{f}_{\ast }E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}R{g}_{\ast }K\cong R{c}_{\ast }(p^{-1}E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}{q}^{-1}K).$$

证明. 我们根据投影公式和紧合基变换得到$$\begin{array}{rl}& R{f}_{\ast }E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}R{g}_{\ast }K\\ & =R{f}_{\ast }(E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}{f}^{-1}R{g}_{\ast }K)\\ & =R{f}_{\ast }(E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}R{p}_{\ast }{q}^{-1}K)\\ & =R{f}_{\ast }(R{p}_{\ast }(p^{-1}E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}{q}^{-1}K))\\ & =R{c}_{\ast }(p^{-1}E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}{q}^{-1}K),\end{array}$$得到结论.

$\square$

注 16.1.0.2 (杯积). 考虑$$f^{-1}(R{f}_{\ast }F{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}R{f}_{\ast }L)=f^{-1}R{f}_{\ast }F{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}{f}^{-1}R{f}_{\ast }L\to F{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}L,$$伴随性得到$$R{f}_{\ast }F{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}R{f}_{\ast }L\to R{f}_{\ast }(F{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}L),$$称为杯积. 用此和 $R{f}_{\ast }E\to R{c}_{\ast }{p}^{-1}E$ 和 $R{g}_{\ast }K\to R{c}_{\ast }{q}^{-1}K$ 也可构造 Künneth 公式.