1. 平展上同调简介

何为平展上同调? 举一个简单的例子, 取 $X$ 为 $\mathbb{C}$ 上的代数簇, 其解析化 $X^{\mathrm{an}}$ 可以对应奇异上同调 $H^i(X^{\mathrm{an}},\mathbb{Z})$ 满足

(i) 是有限生成 $\mathbb{Z}$ 模;

(ii) 群 $H^i(X^{\mathrm{an}},\mathbb{C})$ 有额外的结构;

(iii) 和代数链有关系.

所以平展上同调的目标就是定义一个类似奇异上同调的上同调理论 (满足类似性质的上同调称为 Weil 上同调理论, 还有其他的 Weil 上同调理论, 例如经典的 de Rham 上同调, 代数 de Rham 上同调和晶体上同调) 使其适用于更加一般的概形上去.

在平展上同调中, 我们会发现挠系数的上同调, 例如 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 系数的上同调可以比较好的模拟奇异上同调. 但会发现 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2({\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^1,\mathbb{Z})=0$ 而 $H^2({\mathbb{P}}^1(\mathbb{C}),\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ 并不能很好的模拟奇异上同调, 另一方面我们发现如下结果:

定理 1.0.1 (Serre). 不存在上同调理论 $H^{\ast }$ 使得 (i) 具有函子性;(ii) 满足 Kunneth 公式;(iii) 对所有椭圆曲线 $E$ 满足 $H^1(E)\cong {\mathbb{Q}}^2$.

基本思路. 取 $E$ 为超奇异椭圆曲线, 有一个事实是 $\mathrm{End}(E)\otimes \mathbb{Q}$ 是不分裂四元数代数. 根据 (i)(ii) 不难得到 $\mathrm{End}(E)$ 作用在 $E$ 上会诱导出 $\mathrm{End}(E)$ 在 $H^1(E)$, 进而诱导出代数同态 $\mathrm{End}(E)\otimes \mathbb{Q}\to {\mathrm{Mat}}_{2\times 2}(\mathbb{Q})$. 而根据基本的表示论, 这种同态一定不存在! 故而没有这种上同调理论.

$\square$

为了在非挠系数下也可以模仿奇异上同调, 我们会定义类似的 $\ell$-进上同调理论, 其中 $\ell$ 和特征 $p$ 互素 (不满足这个情况的需要晶体上同调理论):$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\mathbb{Z}}_{\ell })=\underleftarrow{\lim }{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z})\text{ 和 }{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\mathbb{Q}}_{\ell })=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\mathbb{Z}}_{\ell }){\otimes }_{{\mathbb{Z}}_{\ell }}{\mathbb{Q}}_{\ell },$$这样也可以得到比较好的模拟.

顺便一提, 类似代数拓扑一样, 在概形情况下也可以模拟拓扑的基本群. 给定概形和固定的几何点 $(X,\bar{x})$, 可以定义 ${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x})$ 为平展基本群, 其定义事实上是从代数拓扑里偷的, 运用了覆叠变换群和拓扑基本群的关系来定义, 十分合理. 当然之后还有更多的类似不变量, 例如高阶的平展同伦群等.

另一个发展平展上同调, 乃至 Grothendieck 发展代数几何的重要动机就是 Weil 猜想:

猜想 1.0.2 (Weil 猜想). 设 $X$ 是 ${\mathbb{F}}_q$ 上 $n$ 维光滑紧合几何整的簇, 设$$S_X(t)=\exp \left(\sum _{n>0}\frac{\#X({\mathbb{F}}_{q^n})}{n}{t}^n\right),$$则

(i) 函数 $S_X(t)$ 是有理函数, 即 $S_X(t)={\prod }_{i=0}^{2n}(-1{)}^{i+1}{S}_i(t)$, 其中 $S_i$ 是满足一定条件的整系数多项式;

(ii) 满足函数方程 $S_X(q^{-n}{t}^{-1})=\pm q^{nE/2}{t}^E{S}_X(t)$ 其中 $E$ 是 $X$ 欧拉示性数;

(iii) 所有零点和极点的绝对值为 $q^{j/2}$ 其中 $j\in \mathbb{Z}$;

(iv) 若 $X$ 提升为代数整数环 $R\subset \mathbb{C}$ 上的光滑射影簇 $Y$, 则对于 $i=0,...,2n$, 流形 $Y(\mathbb{C})$ 的 Betti 数为 $S_i(t)$ 的次数 $b_i$.

最后结果. (i) 由 Dwork 运用 $H^1$ 的有限生成性得到结果;

(ii) 由 Gorthendieck 运用 Poincaré 对偶得到;

(iii)(iv) 由 Deligne 证明.

$\square$

因此平展上同调是相当成功的上同调理论, 而本笔记就是为了在介绍基础理论的同时来阐述这些和代数拓扑, 复几何类似的结果和性质. 正如题所言, 这个笔记是作为几何人的笔者写的, 所以有很多我认为就算不知道也无妨, 或者自己就能推理的无聊细节 (主要集中在交换代数和点集拓扑) 就会被我略去 (当然大部分情况只是我懒得写了). 因此可能不适合其他方向的人观看, 推荐 [26] 里的 Tag 0BQ6 和 Tag 03N1, 扶磊教授的书 [18] 和 Milne 的传世经典 [20], 我们也会多次引用里面的某些细节.

前置知识: 至少是经典代数几何教材 [14] 的前三章, 还有光滑, 无分歧和平展映射的基本性质, 还有基本的导出范畴, 懂一些下降理论. 而会一些基本的代数拓扑和复几何更好, 你也会注意到平展上同调是研究概形的拓扑, 而凝聚上同调是研究概形的几何.