2. 平展基本群简介

对于连通概形 $X$, 定义 $\mathrm{F}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}/X$ 为 $X$ 上的有限平展态射构成的范畴, 而 $\acute{\mathrm{E}}\mathrm{t}/X$ 为 $X$ 上的平展态射构成的范畴. 给定概形和几何点 $(X,\bar{x})$, 定义 (纤维) 函子$${\mathfrak{F}}_{\bar{x}}:\mathrm{F}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}/X\to \mathrm{Sets},(\pi :Y\to X)\mapsto {\mathrm{Hom}}_X(\bar{x},Y).$$我们寻求这个函子是否可表? 也就是说是否存在万有覆叠空间? 事实上不一定存在:

例 2.0.1. 考虑 $\mathbb{C}$ 上射影直线 ${\mathbb{A}}^1$, 存在有限平展映射 ${\mathbb{A}}^1\backslash \{0\}\to {\mathbb{A}}^1\backslash \{0\},x\mapsto x^n$, 那么注定没有像拓扑里的 $\exp :\mathbb{C}\to \mathbb{C}\backslash \{0\}$ 来表示万有覆盖!

但是可以退而求其次, 考虑射可表性: 可以证明 (但我不证明, 事实上 [20] 也没证明. 而 [18] 里有很多证明, 想看的读者可以看看) 存在有限平展覆盖组成的定向逆系统$$X^{\prime }=((X_i,f_i{)}_{i\in I},{\varphi }_{ij}:X_j\to X_i,f_i={\varphi }_{ij}\circ f_j,f_i\in {\mathfrak{F}}_{\bar{x}}(X_i))$$使得$$\mathrm{Hom}(X^{\prime },Y):=\underrightarrow{\lim }{\mathrm{Hom}}_X(X_i,Y)\to {\mathfrak{F}}_{\bar{x}}(Y),\sigma \mapsto \sigma (f_i)$$是同构. 事实上可以选取 $X_i/X$ 为 Galois 覆盖, 也就是说 $\mathrm{deg}(X_i/X)=\#{\mathrm{Aut}}_X{X}_i$, 见 [20] 注 5.4.

选取好 Galois 覆盖, 对于 ${\varphi }_{ij}:X_j\to X_i$ 可以诱导 ${\mathrm{Aut}}_X{X}_j\to {\mathrm{Aut}}_X{X}_i$ 如下: 注意到 ${\mathrm{Aut}}_X{X}_j\to {\mathfrak{F}}_{\bar{x}}(X_j),\sigma \mapsto \sigma (f_j)$ 是双射 (由于是 Galois 覆盖, 见 [18] 第三节), 则通过 $F(X_j)\to F(X_i),\alpha \mapsto {\varphi }_{ij}(\alpha )$ 即得到映射.

定义 2.0.2. 对于连通概形 $X$ 和几何点 $\bar{x}$, 考虑上述构造, 定义平展基本群为$${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x})=\underleftarrow{\lim }{\mathrm{Aut}}_X{X}_i$$赋予有限离散拓扑的射影极限拓扑.

定理 2.0.3. 考虑连通概形 $X$ 和几何点 $\bar{x}$.

(i) 函子 ${\mathfrak{F}}_{\bar{x}}$ 诱导出 $\mathrm{F}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}/X$ 到有限 ${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x})$-集的等价;

(ii) 取第二个几何点 ${\bar{x}}^{\prime }$, 我们有 ${\mathfrak{F}}_{\bar{x}}\cong {\mathfrak{F}}_{{\bar{x}}^{\prime }}$ 进而诱导 ${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x})\cong {\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,{\bar{x}}^{\prime })$, 并且和 (i) 契合;

(iii) 平展基本群有函子性, 并且和 (i) 交换;

(iv) 还可以定义平展基本群为 ${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x})=\mathrm{Aut}({\mathfrak{F}}_{\bar{x}})$.

证明. 这些都比较复杂, 秉承几何人的优良品质, 我们直接默认它们吧! 参考 Tag 0BND.

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注 2.0.4. 类似 (iv), 可以定义连接 $\bar{x},\bar{y}$ 的平展道路为 $\gamma \in {\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X;\bar{x},\bar{y}):=\mathrm{Isom}({\mathfrak{F}}_{\bar{x}},{\mathfrak{F}}_{\bar{y}})$, 会诱导$${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{y})\to {\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x}),\varphi \mapsto {\gamma }^{-1}\circ \varphi \circ \gamma .$$

例 2.0.5. (i) 对一个点 $X=\mathrm{Spec}(k)$ 和几何点 $\Omega$, 由定义知道 ${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\Omega )=\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)$;

(ii) 考虑 $\mathbb{C}$ 上的 $X={\mathbb{A}}^1\backslash \{0\}$, 则考虑 $x\mapsto x^n$ 得到$${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x})=\underleftarrow{\lim }{\mathrm{Aut}}_X{X}_i=\underleftarrow{\lim }{\mathbf{\mu }}_n(k)\cong \hat{\mathbb{Z}}\cong \prod _{\ell }{\mathbb{Z}}_{\ell };$$

(iii) 考虑代数闭域上的 $X={\mathbb{P}}^1$, 由 Riemann-Hurwitz 公式不难得到 $X$ 只有平凡的平展覆叠, 故 ${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x})=1$. 归纳可以得到 ${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}({\mathbb{P}}^n,\bar{x})=1$;

(iv) 事实上我们对 ${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}({\mathbb{A}}_k^1,\bar{x})$ 都一无所知, 其中 $k$ 是正特征域 (根据 Artin-Scheier 列, 起码不是平凡的群);

(v) 对于正规簇 $X$, 考虑一般点上的几何点 $\bar{x}$, 假设$$L=\bigcup \left\{\text{几何点内的有限可分扩张}K/K(X):X\text{在}K\text{内的正规化到}X\text{平展}\right\},$$则 ${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x})\cong \mathrm{Gal}(L/K(X))$, 参考 [18] 命题 3.3.6.

自然的, 我们也会考虑平展基本群和拓扑基本群有何种联系? 我们有以下重要的比较定理:

定理 2.0.6 (Riemann 存在定理). 设 $X$ 是 $\mathbb{C}$ 上的有限型概形, 则由范畴等价$$(\mathrm{F}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}/X)\to (\mathrm{FTopCov}/X^{\mathrm{an}}).$$特别的有 ${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x})\cong \widehat{{\pi }_1(X^{\mathrm{an}},x)}$, 为射有限完备化.

证明. 这个证明更加复杂, 我们也略去, 请参考 [12] 的定理 XII.5.1. 另见推论 18.2.0.7.

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这样我们就可以通过拓扑基本群来计算许多 $\mathbb{C}$ 上的有限型概形的平展基本群了.

注 2.0.7. (i) 对于 $X$ 为 $k$ 上几何连通的簇, 我们有正合列 (参考 [18] 命题 3.3.7):$$1\to {\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X_{k^{\mathrm{sep}}},\bar{x})\to {\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x})\to \mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)\to 1;$$

(ii) 对于 $X={\mathbb{P}}_{\mathbb{Q}}^1\backslash \{0,1,\infty \}$, 运用正合列得到$$1\to {\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X_{{\mathbb{Q}}^{\mathrm{al}}},\bar{x})\to {\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x})\to \mathrm{Gal}({\mathbb{Q}}^{\mathrm{al}}/\mathbb{Q})\to 1.$$嵌入 ${\mathbb{Q}}^{\mathrm{al}}\hookrightarrow \mathbb{C}$ 可以得到$${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X_{{\mathbb{Q}}^{\mathrm{al}}},\bar{x})\cong \widehat{⟨a,b,c|abc=1⟩}.$$而群 $\mathrm{Gal}({\mathbb{Q}}^{\mathrm{al}}/\mathbb{Q})$ 则十分复杂, 如果完全了解它就可以了解相当一部分的算术猜想和结果 (摘自 J. Milne 的讲义 [21]).