4.1. 基础概念

我们一般考虑小平展景 $X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$. 记 $\mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 是集合取值的平展层范畴, 而 $\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 是 Abel 群取值的平展层. 类似的预层范畴也为 $\mathrm{PreSh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 和 $\mathrm{PreAb}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$.

命题 4.1.0.1. 固定概形 $X$, 对于 $\mathcal{F}\in \mathrm{PreSh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 若 $\mathcal{F}$ 在限制到 Zariski 开覆盖时满足层条件, 且对于仿射平展覆盖 $V\to U$ 满足层条件, 则 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$.

证明. 详细细节参考 [20] 命题 II.1.5. 简单来说就是运用 Zariski 开覆盖上的条件会给出: 对于概形 $V={\coprod }_i{V}_i$, 我们有 $\mathcal{F}(V)={\prod }_i\mathcal{F}(V_i)$. 运用这个我们发现如果单个映射组成的平展覆盖 ${\coprod }_i{U}_i\to U$ 满足等化子条件, 那么 $\{U_i\to U\}$ 也满足等化子条件 (因为 ${\coprod }_i{U}_i{\times }_U{\coprod }_j{U}_j={\coprod }_{i,j}{U}_i{\times }_U{U}_j$). 根据仿射平展覆盖满足等化子条件, 我们轻易得到 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$ 也满足等化子条件, 其中 $I$ 有限且 $U_i$ 仿射. 对于一般情况, 需要证明相互契合, 追图细节略去.

$\square$

例 4.1.0.2 (结构层). 给定概形 $X$. 定义 ${\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 为 ${\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(U):=\Gamma (U,{\mathcal{O}}_U)$. 我们断言 ${\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 运用 4.1.0.1, 这其实就是环的忠实平坦下降: 设环同态 $f:A\to B$ 忠实平坦, 则有正合列:证明颇为经典, 分成三步:(a) 证明如果 $f$ 有一个截面, 则命题成立;(b) 证明如果存在另一个忠实平坦同态 $A\to A^{\prime }$ 使得命题对 $A^{\prime }\to A^{\prime }{\otimes }_{A}B$ 成立, 则也对 $A\to B$ 成立;(c) 发现 $B\to B{\otimes }_{A}B,b\mapsto b\otimes 1$ 存在截面 $b\otimes b^{\prime }\mapsto b{b}^{\prime }$.

例 4.1.0.3 (由概形表示的层). 给定概形 $X$. 取定 $Z$ 为 $X$-概形, 定义为 $h_Z:={\mathrm{Hom}}_X(-,Z)$. 事实上通过 (i) 的正合列也容易得到 $h_Z\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 下面有几个常用的例子:

(a) 定义 ${\mathbf{\mu }}_{n,X}(T)=\{\zeta \in \Gamma (T,{\mathcal{O}}_T):{\zeta }^n=1\}$, 即 ${\mathbf{\mu }}_{n,X}$ 被 ${\underline{\mathrm{Spec}}}_X{\mathcal{O}}_X[t]/(t^n-1)$ 表示;

(b) 定义 ${\mathbb{G}}_{a,X}(T)=\Gamma (T,{\mathcal{O}}_T)$, 即 ${\mathbb{G}}_{a,X}$ 是被 ${\mathbb{A}}_X^1$ 表示的函子;

(c) 定义 ${\mathbb{G}}_{m,X}(T)=\Gamma (T,{\mathcal{O}}_T^{\ast })$, 即 ${\mathbb{G}}_{m,X}$ 是被 ${\underline{\mathrm{Spec}}}_X{\mathcal{O}}_X[t,t^{-1}]$ 表示的函子;

(d) 定义 ${\mathrm{GL}}_{n,X}(T)={\mathrm{GL}}_n(\Gamma (T,{\mathcal{O}}_T))$, 即 ${\mathrm{GL}}_{n,X}$ 是被$${\underline{\mathrm{Spec}}}_X{\mathcal{O}}_X[\{x_{ij}{\}}_{1\le i,j\le n}][1/\det (x_{ij})]$$表示的函子.

例 4.1.0.4 (拟凝聚层). 给定概形 $X$. 考虑 $\mathcal{M}\in \mathrm{Sh}(X_{\mathrm{Zar}})$ 是拟凝聚的, 定义 ${\mathcal{M}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(\varphi :U\to X):=\Gamma (U,{\varphi }^{\ast }\mathcal{M})$. 运用 4.1.0.1 和更一般的正合列: 环同态 $f:A\to B$ 忠实平坦且 $M$ 为 $A$-模, 则有正合列即可得到 ${\mathcal{M}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$.

命题 4.1.0.5 (点上的层范畴). 对于 $X=\mathrm{Spec}k$, 有范畴等价$$\mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\to (\text{离散}\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)-\text{集}),\mathcal{F}\mapsto M_{\mathcal{F}}:=\underset{k^{\mathrm{sep}}\supset k^{\prime }/k\text{mbox}有限Galois}{\underrightarrow{\lim }}\mathcal{F}(\mathrm{Spec}{k}^{\prime }).$$

证明. 定义逆为 $M\mapsto {\mathcal{F}}_M:=(A\mapsto {\mathrm{Hom}}_G({\mathrm{Hom}}_{k-\mathrm{alg}}(A,k^{\mathrm{sep}}),M))$. 见 Tag 03QT.

$\square$

注 4.1.0.6. 类似的有范畴等价$$\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\to (\text{离散}\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)-\text{模}).$$